电 磁 学

1. 电 磁 学 朱炯明 上海师范大学 数理信息学院

2. 前 言 • 力学、热学、电磁学、光学、近现代物理 • 中学物理  大学物理 理论物理  … • 数学基础：微积分，重积分，曲面积分… • 教材：450 页（小字、带 * ） • 习题：350 道（一半 = 10 道/周） • 作业本：2本，每周交一次 • 评分：期末考试 70 %，平时 30 %（含期中） • 复习：每章小结，考试前不复习

3. 参 考 书 • 1. 《电磁学》赵凯华、陈熙谋 • 高等教育出版社 1978 • 2. 《电磁学》（第二版） 贾启民、郑永令 等 • 复旦大学出版社 2002 • 3. 《 Fundamentals of Physics 》（sixth edition） • David Halliday etc. 2001

4. The important thing is • never to stop • questioning. • --------- Albert Einstein

5. 我的BLOG地址： • http://blog.sina.com.cn/u/1250700362 • 电磁学各章小结： • http://mathsc.shnu.edu.cn/tsziliao/ • /dcx-xj/index.htm • 电磁学英文习题： • http://mathsc.shnu.edu.cn/tsziliao/ • /problems/problem.htm

6. 电磁学 • 第一章 静电场的基本规律 • 第二章 有导体时的静电场 • 第三章 静电场中的电介质 • 第四章 恒定电流和电路 • 第五章 恒定电流的磁场 • 第六章 电磁感应与暂态过程 • 第七章 磁介质 • 第八章 交流电路 • 第九章 时变电磁场和电磁波

7. 第一章 静电场的基本规律 • §1. 电荷 • §2. 库仑定律 • §3. 静电场 • §4. 高斯定理 • §5. 电场线 • §6. 电势

8. 电荷 §1.电荷 • 一.电荷的正负性： 正电荷 负电荷 （同性相斥，异性相吸） • 二.电荷的守恒性：孤立系统电荷的代数和在任何物 理过程中保持不变 • 三.电荷的量子性：最小量 e = 1.6  10  19库仑 • （分数电荷， ， ， • 夸克组成质子） • 四.电荷的传导性：绝缘体，导体，半导体 • （束缚电子，自由电子）

9. §2.库仑定律 • 一.库仑定律 • 二.电荷的单位 • 三.矢量式 • 四.迭加原理 • 五.例题

10. 一.库仑定律 • 点电荷：带电体，体积为零的几何点 • （ 理想模型，带电体线度 << 相互作用距离 ） • 库仑定律  大量实验 • 真空中，两个静止点电荷的相互作用规律 • （ 相互作用力：大小相等，方向相反 ） • 方向：沿连线，同号相斥，异号相吸 • 大小：正比于电量，反比于距离平方 表达式：

11. q2 r q1 库仑力 • 同号相斥 • 异号相吸

12. q2 r q1 同号相斥 • 同号相斥 • 异号相吸

13. q2 r q1 异号相吸 • 同号相斥 • 异号相吸

14. 二.电荷的单位 • 高斯制（from CGS 制） 取 k = 1 • 当 r = 1 厘米时，调节 q1= q2 使 F = 1 达因 • 定义此时 q1= q2 = 1 静库 • 国际制（from MKS 制 MKSA 制 or SI 制 ） • 先定义电流单位：安培 A • 由 q = It导出 1 库仑= 1 安培•秒　（导出单位） • 当 r = 1 米， q1 = q2 =1 库仑时，F = k牛顿 • 实验测得　 k = 9  10 9牛顿•米2 •库仑2 • 为方便，记 k = 1 / 40， 0= 8.9  1012 • 换算： 1 库仑= 3  10 9静库

15. 三.矢量式 • a　 　　 矢量（粗体，手写　　） • a = | a | 　 矢量的模，长度 • = a／| a | ( or) 单位矢量（长度为 1，a 方向 ） • q1 对q2 的作用力 • ( 1  2) • q2 对q1 的作用力 • ( 2  1) • q1 与q2 同号　q1q2 > 0　则　F12与　　 • 　　 同向 • q1 与q2 异号 q1q2 < 0　则　F12与 • 反向

16. q1 q2 F12 F12 F21 F21 三.矢量式 • q1 与q2同号　q1q2 > 0F12与　　同向 • q1 与q2异号 q1q2 < 0F12与　　反向

17. F1 F31 q2 q1 F21 q3 四.迭加原理 • 一点电荷同时受到多个点电荷的库仑力 • = 各个点电荷单独存在时的库仑力的矢量和 • 例如：q1 受到 q2、q3 的作用力 • F1= F21+ F31

18. y Q0 q1 0 q2 x 例题 1 • 已知：q1= 1  10 5库仑 位于 ( 0, 1 ) • q2=  1  10 5库仑 位于 ( 1, 0 ) • 求： Q0= 1  10 4库仑 位于 ( 1, 1 ) 受的力 • 解： F= F1 + F2= 9i 9j（牛） = 9 ( i j ) （牛） 方向：与 x轴夹角 = -45o

19. A O B C FCA FBA FOA 例题 2 • 三个相同的点电荷 q放在等边三角形顶点上，中心放一点电荷 q’，使每一点电荷的合力均为零，求 q和 q’ 的关系。 • 解： FO= FAO+ FBO+ FCO a • FA= FBA+ FCA+ FOA • ∴ q’ =  q /

20. §3.静电场 • 一.电场 • 二.电场强度 • 三.电场强度的计算 • 点电荷的场强 • 点电荷组的场强 • 连续分布电荷的场强 • 四.例题

21. 电 场 • 场：物理量在空间的分布 • 物理量： 标量场、矢量场 例如：温度场，速度场，引力场…… • 空间分布：( x, y, z ) 的函数 T( x, y, z ) • 电场 • 点电荷Q周围的空间每一点，q0受到 Q的作用力 • Q 电场E  q0

22. 电场强度 • 点电荷 Q周围的空间每一点， q0 受到 Q的作用力 • 描述电场性质的物理量不应依赖于试探电荷 q0 • 所以定义： E = F / q0电场强度 • 矢量场： E = • 点函数： E = E ( x, y, z ) = E ( r ) • 单位： 牛顿 / 库仑 • 点电荷 q 在电场 E中受力： F = qE • 均匀电场： E与 ( x, y, z ) 无关，常矢

23. E P r Q > 0 Q Q < 0 点电荷的场强 • Q：点电荷电量 • r ：点电荷到场点 P距离 • ：点电荷指向场点单位矢

24. 点电荷组的场强 • 场强的迭加原理： • 点电荷组的场强等于各点电荷的场强的矢量和 • 例1（p.9）

25. dE P r dq Q 连续分布电荷的场强 • 电荷元dq（无穷小，可视为点电荷）的电场元 • 连续分布带电体 Q的电场

26. P P r r dS dl 电荷元 • 体电荷： dq = dV • 面电荷： dq = dS • 线电荷： dq = dl

27. dE P a r 1  2 x dx 0 例题 • 均匀带电直线长L，电量q，线外一点P与直线距离a，与直线两端的连线与直线夹角分别为1和2。求P点场强。 • 解： 取坐标如图， dq = dl = ( q/L )dx x r, x,  三者关系？ r = a / sin x =  a ctg dx = (a / sin2 )d

28. r = a / sin x =  a ctg dx = (a / sin2 )d

29. 讨论 • (1) L >> a（ 或 L  ，q   ，但 不变 ） • 1 = 0，2 =  代入得 • Ex = 0，Ey=  / 20a • (2) L << a （点电荷） • sin 2  sin 1 = 0 Ex = 0， • cos 1  cos 2 = L / a Ey= q / 40 a2

30. dq r P z o dE 例题（p.12/[例2]） • 均匀带电圆盘，半径R，面密度，求轴线上场强。 • 解： 取柱坐标 • dq = dS =  r drd • 对称性 E= 0， E = Ez

31. 讨论 • (1) R >> z（ 离盘很近 或 盘很大） • (2) R <<z（ 离盘很远 或 盘很小） • （点电荷）

32. §4.高斯定理 • 一.电通量 • 通量 • E 通量 • 二.高斯定理 • 三.用高斯定理计算电场强度 • 四.例题

33. n dS vn v v dS S v 电通量 • 通量：单位时间通过 dS 的流体体积 • —— dS 的通量 d • d =dS vn = dS • 推广到任何矢量 A： = • E通量 • E、n： 是矢量、点函数，但 E 不是 • n：dS 的法线方向（两种取法），闭合面 向外

34. 高斯定理 • 点电荷 q 为中心的球面： E = q /  0 • 包围点电荷 q 的任意闭合面： E = q /  0 • 不包含电荷的任意闭合面： E = 0 • 点电荷组和连续分布电荷： E = q内/  0

35. 点电荷q 为中心的球面 • 设球面半径为 r，在球面处 结果与半径r 无关

36. dS2 dS1 dS q r2 r1 包围点电荷 q的任意闭合面 • 以q 为中心，小锥体，截出 • dS1 ：以 r1 为半径的球面上 • dS ：任意闭合面上 • dS2 ：以 r2 为半径的球面上

37. e1 q e3 e2 不包含电荷的任意闭合面 • E 1+ E2= q /0 • E 3’+ E2= q /0 •  E 1= E3’ • 又 E 3’=  E 3 •  E = E 1+ E3 • = E 1  E 3’ = 0 • （ 注意： E 1= E3’≠ 0 ） S3’ S1 S3 S2

38. 点电荷组和连续分布电荷 • qi在 S 面外： E i = 0 • qi 在 S 面内： E i = qi /  0 • 点电荷组： • 连续分布电荷： • 结论（高斯定理）

39. 用高斯定理计算电场强度 • 结论（高斯定理）： • 电场中任一闭合曲面的电通量等于该曲面内电荷的代数和除以0 。 • 对称性：如球、圆柱、大平面等 • 适当选取闭合面 —— 高斯面 • 高斯面上的场强 或为零或为常数 • 零： E 与 dS 垂直，则 • 常数：对称性， E 为常数，且 E 与 dS 同向，则

40. S1 S2 en1 en2 P  例题（p.19/[例1]） • 无限大平面，均匀带电，面密度  ，求电场。 • 解： 取高斯面过P点如图 • E = E1+ E2+ E侧 • 对称，E  带电平面 •  E侧= 0 • 对称， S1、S2上 E 大小相等，方向相反 • E = E1+ E2 = ES1 + ES2 = 2ES = q内 /  0 =  S/  0 •  E=  / 2 0

41. 讨论 • (1) 与 p.12/[例2] R >> z比较，一致 • (2) 真正无限大不存在，但 P 离平面很近时，可近似 • (3) •  带电平面，背离平面 •  > 0 时，E 与 • 同向 •  < 0 时，E 与 • 反向 • (4) E = E内 + E外 • 若 q外= 0，E外= 0，q内不变 • 两式均正确，但下式求不出 E内

42. r P 例题（p.40/1-4-3） • 无限长直线，均匀带电，线密度，求电场。 • 解：取高斯面过 P点如图（ P 点距直线 r） l •  E=  / 2 0 r • 讨论： • (1) 真正无限长不存在，但 P 离直线很近时，可近似 • (2)  > 0 时，E 与 • 同向 •  < 0 时，E 与 • 反向

43. E P r R O E o r R 例题（p.21/[例2]） • 半径为 R 球面，均匀带电 q，求电场。 • 解：取高斯面过 P点如图（球外）

44. R P r O E o r R 例题（p.22/[例3]） • 半径为 R 的球体，均匀带电 q，求电场。 • 解：取高斯面过 P点如图（球内）

45. §5.电场线 • 一.电场线（电力线）—— 有向曲线 • 每一点的切线方向代表该点电 场强度方向 • 曲线密集处电场强度较大 • 二.电场线的性质 • 源于正电荷（或 ），终于负电荷（或 ），无电荷处不中断 可用高斯定理证，E > 0 ,  q > 0 • 不闭合（电势高指向电势低）

46. E S S 电场线密度 • 电场线条数 —— 电通量 • 通过面元 S 的电场线条数 N • N = K(S  E) = KSEcos • = KSE • ( S= Scos 与 E 垂直 ) • E = E  S = N（ 取 K = 1 ） • 电场线密度 —— 电场强度 • N/S= KE = E（ 取 K = 1 ）

47. §6.电势 • 一.静电场的环路定理 • 点电荷的电场力做的功 • 任何静电场力做的功 • 静电场的环路积分必为零 • 二.电势和电势差 • 电势（电位）, 电势差（电压） • 点电荷的电势 • 三.电势的计算（两种方法），例 • 四.等势面 • 五.电势与场强的微分关系

48. E dl P2 q dr P1 r r’ r2 r1 Q 点电荷的电场力做的功 • 点电荷 Q 的电场中，电荷 q 运动 • 元位移 d l过程中电场力的元功 注意：功只与始末位置 r1，r2 有关，而与路径无关

49. 任何静电场力做的功 • 迭加原理 （比如：点电荷组的电场） • 注意： • 功只与始末位置 P1 ，P2 有关，而与路径 L 无关 • —— 有位性（有势性），静电场是位场（势场）

50. B A 静电场的环路积分必为零 • 单位正电荷，q = 1，F = qE = E L2 L1