數學評量 國立臺南師範學院數學教育系 謝 堅

1. 　　數學評量 • 國立臺南師範學院數學教育系 • 謝　　堅

2. 為什麼學校考試的試題，絕大多數都是我們(或學童)熟悉的題目？為什麼學校考試的試題，絕大多數都是我們(或學童)熟悉的題目？ • 為什麼老師們不喜歡出沒有見過(或不常見到)的題目? • 沒有見過的題目，漂亮的題目， 是怎麼冒出來的？

3. 困難，但是算過的題目。 • 簡單，但是沒有看過的題目。 • 簡單，但是文字描述很長的題目。 • 那些是學童無法得分的題目? • 為什麼學童害怕這些簡單的題目?

4. 如果要你命一份紙筆測驗，你會注意那些事項?如果要你命一份紙筆測驗，你會注意那些事項? • 你如何命一份紙筆測驗?

5. 參考課本、 習作、參考書的例題及習題，或參考書局光碟的題庫、 考古題等題目，再透過改數字，改情境， 轉化題型（填充題 改成選擇題）等方式命題。

6. 不參考任何試題(或者只是純參考， 但是不使用)，依據考試範圍的教學目標、重要的數學概念、上課時學童混淆的教材以及重點教材，憑空想題目。

7. 為什麼以前高中或大學聯考數學科的考題，讓部份大學數學系的教授在規定的時間內，無法答完所有的考題？為什麼以前高中或大學聯考數學科的考題，讓部份大學數學系的教授在規定的時間內，無法答完所有的考題？ • 為什麼現在國中升高中的基本學力測驗數學科的考題，所有大學數學系的教授都能在規定的時間內答完所有的考題，而且多數問題不必計算就能夠看到答案?

8. 基本學力測驗的命題方式，和以前聯考的命題方式，有那些改變?基本學力測驗的命題方式，和以前聯考的命題方式，有那些改變? • 準備數學基本學力測驗與準備以前數學科聯考： • 學童讀書的方式是否要改變? • 教師教學的方式是否要改變? • 評量命題的方式是否要改變？

9. 課本給一些例子，幫助學童抽象 • 數學概念。 • 課本給一些例題，幫助學童澄清 • 數學概念。 　 • 課本給一些習題，檢查學童是否 • 掌握該數學概念。 　

10. 參考書給一些例題，延伸課本的 • 數學概念。 　 • 參考書給一些習題，檢查該學童 • 是否掌握延伸的數學概念。 • 以前聯考數學試題，常由課本或參考書的例題或習題為出發點命題。

11. 現在基本學測數學科的試題： • 只要題目和參考書的題目雷同，一定不會變成學測的試題。 • 由概念或生活情境直接命題。

12. 如果試題以參考書的例題或習題為出發點，一路走來的學生，很容易抓到命題的脈動，不必回溯至原始的數學概念，就可以成功解題。如果試題以參考書的例題或習題為出發點，一路走來的學生，很容易抓到命題的脈動，不必回溯至原始的數學概念，就可以成功解題。 • 沒有一路走來的教授，必須由原始的概念出發，思考如何解題，因此必須花較多的思考時間，才能夠解題成功。

13. 算很多題目，對考試是否有幫助？ • 小範圍的考試 (例如月考) • vs • 大範圍的考試(例如基本學測)

14. 由概念出發的考題 • vs • 由課本或參考書轉化的考題

15. 全國統一的教科書 • vs • 一綱多本的教科書

16. 如何命一個沒有見過的新題目？ • 由數學概念開始思考： • 由日常生活情境開始尋找：

17. 由數學概念開始思考： • 嘗試創造與生活情境無關，但是可以澄清或延伸數學概念的考題。 • 嘗試尋找生活情境中有那些現象或問題，可以透過數學概念解題。

18. 由日常生活情境開始尋找： • 嘗試在日常生活中尋找有趣或有規律的現象，判斷這些現象可以評量那些數學概念，並將這些現象轉換成考題。

19. 已知『甲÷12.45＝599.8』。 • 將甲公升的水，每1.245公升裝一桶，儘量裝完，可以裝滿幾桶？ 還剩下幾公升的水？ • 將甲公升的水，每600公升裝一桶，儘量裝完，可裝滿幾桶？還剩下幾公升的水？

20. 評量的重點是除法原理（除數和餘數及商數的關係），情境是不存在的，命題者為了讓題目看起來有情境，刻意的創造出假情境。評量的重點是除法原理（除數和餘數及商數的關係），情境是不存在的，命題者為了讓題目看起來有情境，刻意的創造出假情境。 • 如果評量的重點是數學概念，在日常生活中又找不到相關的好情境，可以不理會情境嗎?

21. 甲＝１２.４５×５９９.８ • ＝１２.４５×５９９＋９.９６ • ＝１.２４５×５９９０＋９.９６ • ＝１.２４５×５９９０＋１.２４５×８ • ＝１.２４５×５９９８＋０ • 可以裝滿5998瓶，剩下0公升果汁。

22. 甲＝１２.４５×５９９.８ • ＝１２.４５×（６００－０.２） • ＝１２.４５×６００－２.４９ • ＝６００×１２＋６００×０.４５－２.４９ • ＝６００×１２＋２６７.５１ • 可以裝滿12瓶，剩下267.51公升果汁。

23. 某特製腳踏車前輪半徑是20公分，在腳踏車前輪上（半徑外緣）加裝一個燈泡，讓腳踏車往前行走時燈泡會發光，請將這個燈泡移動的軌跡畫下來。某特製腳踏車前輪半徑是20公分，在腳踏車前輪上（半徑外緣）加裝一個燈泡，讓腳踏車往前行走時燈泡會發光，請將這個燈泡移動的軌跡畫下來。 • 也可以改成選擇題。 • 此題是日常生活中可能存在的情境。

24. 一個邊長是10公分的正方體黏土，將這個正方體黏土揉成一個球， 請問下列敘述何者正確？

25. 球的直徑比10公分長，球的體積是1000立方公分。球的直徑比10公分長，球的體積是1000立方公分。 • 球的直徑比10公分長，但是球的體積不是1000立方公分。 • 球的直徑比10公分短，球的體積是1000立方公分。 • 球的直徑比10公分短，但是球的體積不是1000立方公分。

26. 有一棵神木，二十個大人手牽著手剛好可以圍繞神木一圈，請問神木的直徑大約是幾公分？有一棵神木，二十個大人手牽著手剛好可以圍繞神木一圈，請問神木的直徑大約是幾公分？ • 100公分。 • 500公分。 • 1000公分。 • 2000公分。

27. 上體育課或休閒時，你在籃球場打過籃球嗎？估算看看，籃球場的面積大約是這張考卷的多少倍？上體育課或休閒時，你在籃球場打過籃球嗎？估算看看，籃球場的面積大約是這張考卷的多少倍？ • 也可以考教室的面積是這張考卷的多少倍（學童可以同時看到教室與考卷)。

28. 數學是為了解決日常生活問題而產生的學問。 • 但是數學公式或數學模型無法解決日常生活中所有的問題，它們只能解決在某些限制下（透過定義或約定俗成）所形成的問題。 • 數學概念清楚，才能解決日常生活中的問題。

29. 將7塊蔥油餅平分給4個人，全部分完，每個人可以分到多少蔥油餅?將7塊蔥油餅平分給4個人，全部分完，每個人可以分到多少蔥油餅? • 7/4 • 1+3/4 • 1+1/2+1/4 • 那一個答案比較合理?

30. 14塊蔥油餅，平分給3個人， 每人可以分得幾塊？剩下幾塊？ • 這個問題的題意是否明確? 為什麼大家都能正確的算出答案?

31. 14÷3＝3......5 • 每人分到3塊，剩下5塊。 • 你是否會給分? • 這個答案滿足題意嗎? • 這個答案是約定俗成的共識嗎?

32. 14÷3＝4......2 • 請改寫問題，讓學童一定要寫出這個答案，否則不給分。 • 命題時，應該將題意描述清楚，或題意不必清楚，只要在課堂形成約定俗成解題的共識即可。

33. 14 ÷3＝4.5......0.5 每人分到4.5塊，剩下0.5塊。 • 14 ÷3＝4.6......0.2 每人分到4.6塊，剩下0.2塊。 • 14 ÷3≒4.67 每人大約分到4.67塊。 • 14 ÷3＝４2/3......0　 每人分到４又2/3塊，剩下0塊。

34. 14塊蔥油餅，平分給3個人，儘量分完，每個人可以分得幾塊？剩下幾塊？14塊蔥油餅，平分給3個人，儘量分完，每個人可以分得幾塊？剩下幾塊？ • 14÷3＝4......2

35. 14塊蔥油餅，平分給3個人， 每人分得幾塊？剩下幾塊？(商數算到小數第一位並寫出餘數)。 • 14 ÷ 3 ＝ 4.6......0.2 每人分到 4.6 塊，剩下 0.2 塊

36. 14塊蔥油餅，平分給3個人，每人分得幾塊？(用四捨五入法取概數，商數算到小數第二位)。14塊蔥油餅，平分給3個人，每人分得幾塊？(用四捨五入法取概數，商數算到小數第二位)。 • 14 ÷ 3 ≒ 4.67 每人大約分到 4.67 塊

37. 14塊蔥油餅，平分給3個人，全部分完(沒有剩下)，每人分得幾塊？ • 14 ÷ 3＝４2/3...…0 • 14 ÷ 3＝４2/3 • 每人分到４又2/3塊。

38. 14塊蔥油餅，平分給3個人，儘量分完，每人分得幾塊？剩下幾塊?14塊蔥油餅，平分給3個人，儘量分完，每人分得幾塊？剩下幾塊? • 12塊蔥油餅，平分給3個人，全部分完，每人可以分得幾塊？ • 可以整除就問全部分完;不可以整除就問儘量分完。 • 你接受這種問法嗎?

39. 是否可以整除，在解題之前就已經知道，或在解題之後才知道?是否可以整除，在解題之前就已經知道，或在解題之後才知道? • 儘量分完與全部分完，是記錄格式的要求，與是否能夠整除無關。

40. 14塊蔥油餅，平分給3個人，儘量分完，每人分得幾塊？剩下幾塊?14塊蔥油餅，平分給3個人，儘量分完，每人分得幾塊？剩下幾塊? • 14 ÷ 3 ＝ 4 ......2 • 12塊蔥油餅，平分給3個人，儘量分完，每人分得幾塊？剩下幾塊? • 12 ÷ 3 ＝ 4 ...…0 • 餘0，也是答案中重要的資訊。

41. 14塊蔥油餅，平分給3個人，全部分完，每人可以分得幾塊？14塊蔥油餅，平分給3個人，全部分完，每人可以分得幾塊？ • 14 ÷ 3 ＝４2/3 • 12塊蔥油餅，平分給3個人，全部分完，每人可以分得幾塊？ • 12 ÷ 3 ＝ 4

42. 當全國使用同一套數學課本時， 數學問題的題意不清，不會引起太大的困擾，因為大家很容易形成解題的共識。 • 當全國使用多種數學課本時，學測的命題者必須出一些大家沒有見過的數學問題，為了將問題的情境描述清楚，題目會變的很長。

43. 基本學力的界定： • 基本： • 就層次而言，指的是基礎、核心、重要的，而非高深、外圍或細微末節的。 • 就範圍而言， 指的是完整、周延的，而非偏狹或殘缺的。

44. 學力： • 指學習者經由一段時間的系統化教育所獲得的能力，而非學習者天生或自然成長而來的能力。 • 指學習者學後的成就，及其展現為學、待人、處事之個種能力。

45. 成就測驗： • 檢驗學生學習的成果。 • 性向測驗： • 檢驗學生未來的學習能力（預測學生未來的表現） 。 • 基本學測是一種成就測驗。

46. 基本學測數學科測驗是以認知能力層次為橫軸，以國民中學數學學習內容為縱軸，形成雙向細目分析表作為數學科測驗編製的依據。基本學測數學科測驗是以認知能力層次為橫軸，以國民中學數學學習內容為縱軸，形成雙向細目分析表作為數學科測驗編製的依據。 • 基本學測數學科測驗將學生的認知能力分成概念建構、基本運算、概念理解及推理應用能力四大類。

47. 雙向細目表: • 雙向細目表是測驗編製的藍圖和命題的依據，它是以認知能力和學習內容為兩個軸，分別說明各項評量目標。 • 建立雙向細目表可以幫助命題者釐清認知能力和學習內容的關係，以確保測驗能反映教材的內容，並能夠真正評量到預期之學習結果。

48. 民國90年基本學測數學科試題： • 將學生的認知能力分為概念建構、基本運算、概念理解及推理應用能力四大類。

49. (一)概念建構能力： • （1）事實辨識： • 數學術語與符號的辨識、舉例與再現。 • (2)觀察描述： • 就觀察對象的屬性作質、量的描述、排序或歸類。

50. (3) 約估實測： • 對數值、長度、面積、體積、重量、時間等的估計或使用適當的工具測量。