第三章 直线、平面的相对位置

1. 第三章 直线、平面的相对位置 南昌理工学院 机械制图教研室

2. 目 录  概述 3.1 平行关系 3.1.1 直线与平面平行 3.1.2 平面与平面平行 3.2 相交关系 3.2.1 直线与平面相交 3.2.2 一般位置直线与一般位置平面相交 3.2.3 两平面相交 3.3 综合举例 举例一 举例二 举例三 举例四  本章小结 结束放映

3. 概 述 本章主要学习直线与平面和两平面间的相对位置的投影特点及作图，是学习后续内容的基础。本章总的要求是：掌握特殊位置的直线于平面之间和两平面之间各种相对位置的投影特点及其作图方法 本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容： 1)平行关系：直线与平面平行， 两平面平行。 2)相交关系：直线与平面相交， 两平面相交。

4. 定理: 若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。 3.1 平行关系 3.1.1 直线与平面平行

5. 由于ef∥ad，ef∥ad，即EF∥AD，且AD是ABC平面上的一直线，所以，直线EF平行于ABC平面。

6. l′ d′ l d [例1]过已知点k，作一条水平线平行于△ABC平面。 步骤： b′ k′ 1）在ABC平面内作一水平线AD； a′ e′ 2）过点K作 KL∥AD； X a k c 3）直线KL 即为所求。 b

7. [例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。 作图步骤： 1）作cm∥ab； 2）根据CM在平面SCF内，作出cm； 3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。

8. 3.1.2 平面与平面平行 两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。 因为：AB∥DE，BC∥EF， 所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。

9. l d l d ［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。 解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。 作图步骤： b 1）作KL∥BC (kl∥bc, kl∥bc); a c k X 2）作KD∥AC (kd∥ac,kd∥ac); b c a 3）平面KDL即为所求。 k

10. 3.2 相交关系 3.2.1 直线与平面相交 1 利用积聚性求交点 当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。

11. ⑴ 平面为特殊位置 [例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 空间及投影分析 平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与mn 的交点即为K点的V 投影。 作 图 1)求交点。 2)判别可见性。 由V投影可知，km 段在平面上方，故H投影上km为可见。 还可通过重影点判别可见性。

12. 直线EF为正垂线时

13. k k ［例1］求直线MN 与铅垂面P 的交点。 解:平面P为铅垂面，PH有积聚性，故mn与PH的交点k 即为交点K 的H 投影。 由于交点K必在直线MN上，故可用在直线上取点的方法，由k求出k。 规定：在求用迹线表示的平面的交点和交线时，不必分辨可见性。

14. ［例2］求直线MN与四棱柱表面ABCD和ABEF的交点。［例2］求直线MN与四棱柱表面ABCD和ABEF的交点。 解：ABCD为水平面，其V投影有积聚性；ABEF为铅垂面，其H投影有积聚性，故本题可用平面的积聚性求解。 作图步骤： 1）求mn 与abcd 的交点k ； 2）根据k，在mn上求得点k，则点K(k,k )就是MN与ABCD的交点； 3）求mn与abef的交点l； 4）根据l，在mn上求得点l，则点L(l,l )就是MN与ABEF的交点； 5）因直线MN穿通四棱柱，所以线段KL之间部分的投影均为不可见。

15. 3.2.2 一般位置直线与一般位置平面相交 一般位置直线与一般位置平面相交，其投影都没积聚性，则采用换面法： 将一般位置直线或平面变成投影面的垂直线或垂直面，在新的投影体系中利用积聚性直接求得交点的投影。然后利用所得交点的投影返回到原体系当中，即可求的平面与直线的交点。

16. ［例3］求一般位置直线MN与一般位置平面ABC的交点。［例3］求一般位置直线MN与一般位置平面ABC的交点。 解：根据上述分析，应采用换面法将平面ABC变换成投影面垂直面，这样就可以在新的投影体系中直接求得交点的投影。 作图步骤： 1）在平面ABC上作水平线AD(ad,a d ); 2）作X1轴垂直于ad; 3）求出直线MN和平面ABC在V1投影面上的新投影m1 n1和a1 b1 c1 ；

17. 4）求出m1 n1和a1 b1 c1 的交点k1 ； 5）根据k1求出k，再由k求出k，则点K(k,k )就是直线MN与平面ABC的交点； 6）取H面的重影点1、2判断直线MN 的H 投影的可见性。 7）取V面的重影点3、4判断直线MN 的V 投影的可见性。

18. 3.2.3 两平面相交 1 一般位置平面与特殊位置平面相交 在两平面之一有积聚性的情况下，可以在没有积聚性的那个平面上取两条直线，分别求这两条直线与有积聚性的那个平面的交点，则这两个交点的连线就是两平面的交线。

19. ［例4］求一般位置平面ABC与铅垂面DEF的交线。［例4］求一般位置平面ABC与铅垂面DEF的交线。 解：由图可见，只要求出△ABC上的两条直线AB、AC和△DEF 的交点M、N ，就可以求得两平面的交线。

20. 作图步骤： 1)利用积聚性求AB与△DEF的交点M (m,m )； 2)利用积聚性求AC与△DEF的交点N (n,n )； 3)连接MN (mn,m n)就可得到两平面的交线； 4)取直线AB和DF在V面上的重影点1 (2)， 分辨可见性： 由图可见，点1在点2的前面，故b m为可见，为m l 不可见。由于过重影点的两线段的投影之可见性必不相同，因此可以确定其他各边的可见性。

21. [例5]求一般位置直线ABC与正垂面P 的交线。 解：P 平面为正垂面，可以利用PV的积聚性，直接求出交线的V 投影m n，再由m n 求得mn。 　　由于P 平面是用迹线表示的平面，故不需要判断其可见性。

22. ［例6］求证垂面P与三棱柱表面的交线。 解:求P 平面与三棱柱表面的交线，只需要利用积聚性求出三条棱边AA1、AB、AC 和P 平面的交点D、E、F，然后将交点顺次连接即可。 作图步骤： 1)利用积聚性求直线AA1与P 平面的交点(d,d,d )；

23. 2）利用积聚性求直线AB与P 平面的交点E，其过程为先求e， 根据e求出e，再跟据e求出e； 3）用同样的方法求出F (f, f, f )； 4）顺序连接点D、E、F 的同面投影，就可求得P 平面与三棱柱表面的交线。

24. [例7]已知三棱锥SABC 被铅垂面Q 切去一角，试完成其主、左视图。 解：平面Q为铅垂面，只需利用积聚性求得Q 平面与三棱锥三条棱边SA 、AB、AC的交点D、E、F，然后将其顺序连接即可。 作图步骤： 1)求D、E、F得H投影d、e、f； 2)由d、e、f求出d、e、f ； 3)由e、f求出e、f ； 4)由d求出d ； 5)顺序连接D、E、F的同面投影即可。

25. 2 两个一般位置平面相交 两一般位置平面的投影都没有积聚性，所以其交线不能直接求出。解决此类问题的思路是采用换面法，将两相交平面之一变换为投影面垂直面，这样就可以利用积聚性在新的投影体系中直接求得交线的一个投影，然后将其返回原投影体系中，即可求得两平面的交线。

26. [例8]求两一般位置平面ABC 和DEF 的交线。 解:将平面ABC变换成投影面垂直面，即可求得交线的一个投影。 作图步骤： 1)在平面ABC上作水平线AN(an,a n )； 2)作X1轴垂直于an； 3)求出△ABC和△DEF在V1面上的新投影 a1b1 c1 和 d1 e1 f1 ；

27. 4）求出a1 b1 c1 和d1 e1 f1的交线k1 l1 ； 5）根据k 1 l 1 求出kl，再根据kl 求出k l ，则直线 KL(kl, k l ) 就是两平面的交线； 6）利用V1投影直接判断H 投影的可见性；利用重影点1 ,2和 3, 4判断投影的可见性。

28. m a b X m a b 3.3 综合举例 本节给出了用换面法解决一些较复杂的相对位置问题的一些例子。 [例1]求点M与直线AB之间的距离。 解：由图可见，求点 M 与直线AB 间的距离，应由点向直线AB引垂线，交AB于K点，则线段MK 即为点M与直线AB 间的距离。 当直线AB垂直于某一投影面时，则线段MK必平行于该投影面，且在该投影面上的投影反映实长。

29. m A K a b M B X m A(b)(k) m H a b 　　图所示直线AB为水平线，若求点M到直线AB的距离，应进行一次投影换面，将直线AB变换为投影面垂直线，则在新的投影体系中，即可求出点M与直线AB之间的距离的实长。将其返回原投影体系中，就可求出距离的投影。

30. X1 H V1 m1 a1 (b1) 作图步骤： 1)取新投影轴X1垂直于ab，求出点M与直线AB的新投影m1 和a1 b1 ; 2)由点M向直线AB作垂线，与直线AB相交于点K，点K在新投影体系中的投影k1 与a1 b1 重合，连接m1 k1 即为所求距离的实长； m a b k X m 3)自m引直线平行于X1轴，与ab相交于k ； a k 4)由k求出k ，则可求得点M与直线AB的距离MK (mk, m k)。 b k1

31. [例2] 求点S 到平面ABC 的距离。

32. 解：求点到平面的距离，需自该点向平面作垂线，求出该垂线与平面相交的的垂足，则该点到垂足的距离，即为所求点到平面的距离。如图(a)可见，当平面垂直于某一投影面时，则由点M向平面所作的垂线MK为该投影面的平行线，且在该投影面上的投影反映实长。解：求点到平面的距离，需自该点向平面作垂线，求出该垂线与平面相交的的垂足，则该点到垂足的距离，即为所求点到平面的距离。如图(a)可见，当平面垂直于某一投影面时，则由点M向平面所作的垂线MK为该投影面的平行线，且在该投影面上的投影反映实长。 　　图(b)所示的平面ABC为一般位置平面，求点S到平面的距离时，应先把点S和ABC平面作一次换面，使平面ABC在新的投影体系中为投影面垂直面，再由点S向平面ABC作垂线，则垂足L和点S的连线SL即为所求点S到平面ABC的距离。

33. 作图步骤： 1）在ABC 平面上作水平线CD( cd , c d ) ； 2）取X1轴垂直于cd，在V1投影面上求出s1 和 a1 b1 c1(积聚为一直线）； 3）自s1引a1 b1 c1 的垂线与之相交于l1 ，则s1 l1 即为所求距离的实长； 4）自s 作X1的平行线，并在其上根据l1 求出l ； 5）用取面上点的方法求出l ，则线段SL(sl ,s l )即为所求点到平面的距离。

34. ［例3］求平面ABC和平面ABD间的夹角。

35. 解:由图(a)可见，当两平面同时垂直于某投影面时，这两个平面在此投影面上的投影反映两平面夹角的真实大小。要使两平面同时变换为投影面垂直面，只需将它们的交线变换为投影面垂直线即可。解:由图(a)可见，当两平面同时垂直于某投影面时，这两个平面在此投影面上的投影反映两平面夹角的真实大小。要使两平面同时变换为投影面垂直面，只需将它们的交线变换为投影面垂直线即可。 　　图(b)中，平面ABC和ABD的交线AB为一般位置直线，因此需要两次换面，才能使交线AB变换为投影面垂直线。 作图步骤： 1）更换V面，作轴X1平行于ab，求出两平面在新的投影体系中的投影a1 b1 c1和a1 b1 d1，此时，交线AB平行于V1面； 2）更换H面，作轴X2垂直于a1 b1，求出两平面在新的投影体系中的投影a2b2c2和a2b2d2，此时交线AB垂直于H2面， c2a2d2即为所求两平面夹角 的真实大小。

36. ［例4］过点K 作一条直线，使其与平面CDE平行，并与直线AB 相交。

37. 解:过定点K作一条直线平行于已知平面CDE，有无穷多解，这些直线的轨迹为一个过点K且平行于CDE的平面Q 。所作的直线还应与直线AB相交，而Q平面与直线AB只有一个公共点，即直线AB与平面Q 的交点S。因此KS 即为所求直线。 作图步骤： 1）过K点作平面KFG平行于平面CDE(KF∥CE, KG∥CD)； 2）用换面法求直线AB与平面KFG的交点S； 3）连接K、S两点，则直线KS(ks,ks )即为所求。

38. 本 章 结 束 机械制图教研室