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第十章 习题课

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第十章 习题课. 曲线积分与曲面积分. 一 基本要求 1 .理解两类曲线和曲面积分的概念,了解两类积分的性质以及两类积分的关系。 2 .掌握计算两类曲线、曲面积分的方法。 3 .掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件。 4 .了解高斯公式,并会用高斯公式求曲面积分。 5 .会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量(弧长 ﹑ 质量 ﹑ 重心 ﹑ 转动惯量 ﹑ 引力、功和流量等)。. 二 . 要点提示 1. 曲线积分的计算 —— 化为定积分计算 ( 1 )对弧长(第一型) 设 L : 弧微分. ( 2 )对坐标(第二型) 设 L :.

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第十章 习题课

曲线积分与曲面积分

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一 基本要求

1.理解两类曲线和曲面积分的概念,了解两类积分的性质以及两类积分的关系。

2.掌握计算两类曲线、曲面积分的方法。

3.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件。

4.了解高斯公式,并会用高斯公式求曲面积分。

5.会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量(弧长﹑质量﹑重心﹑转动惯量﹑引力、功和流量等)。

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二.要点提示

1.曲线积分的计算——化为定积分计算

(1)对弧长(第一型)

设L:

弧微分

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2.曲面积分的计算(化为二重积分)

(1)对面积(第一型)的曲面积分

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(2)对坐标(第二型)的曲面积分

若 上侧,则

若 下侧,则

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3.格林公式——平面上曲线积分与二重积分的关系:3.格林公式——平面上曲线积分与二重积分的关系:

L正向.

(1)曲线积分与路径无关的条件

以及等价关系.

(2)添加曲线使积分曲线弧段成为闭曲线,

利用格林公式求曲线积分.

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三 问题与思考

问题1 下列运算正确吗?

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解 (1)正确.

(2) 错误,因为二重积分的积分包括圆的边界

和内部,正确的是

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问题2.如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念?问题2.如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念?

答:由于实际需要,曲线积分与曲面积分为两种类型,

有关质量﹑重心﹑转动惯量等数量积分问题导出第一

类线面积分;有关变力作功、流体流过曲面的流量等

向量问题导出第二类线、面积分。

前者被积函数化为数量函数沿区域积分,无需考虑

方向性,而后者被积函数是向量函数,必须考虑方向。

因此,一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向

分为两种类型的积分,

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在所学过的积分中

区域无向的积分有:

重积分﹑第一类曲线积分和第一类曲面积分;

区域有向的积分有:

定积分﹑第二类曲线积分和第二类曲面积分.

曲线的方向是由起点到终点(定积分)或切向量

的方向来确定,曲面的方向则由曲面上点的法向量所

指向的侧来确定.

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四 典型题目

例1 计算

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可选路径AEFC,则

请思考:能否取折线