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第十章 习题课

第十章 习题课. 曲线积分与曲面积分. 一 基本要求 1 ．理解两类曲线和曲面积分的概念，了解两类积分的性质以及两类积分的关系。 2 ．掌握计算两类曲线、曲面积分的方法。 3 ．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件。 4 ．了解高斯公式，并会用高斯公式求曲面积分。 5 ．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长 ﹑ 质量 ﹑ 重心 ﹑ 转动惯量 ﹑ 引力、功和流量等）。. 二 . 要点提示 1. 曲线积分的计算 —— 化为定积分计算 （ 1 ）对弧长（第一型） 设 L ： 弧微分. （ 2 ）对坐标（第二型） 设 L ：.

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Presentation Transcript

  1. 第十章 习题课 曲线积分与曲面积分

  2. 一 基本要求 1．理解两类曲线和曲面积分的概念，了解两类积分的性质以及两类积分的关系。 2．掌握计算两类曲线、曲面积分的方法。 3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件。 4．了解高斯公式，并会用高斯公式求曲面积分。 5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长﹑质量﹑重心﹑转动惯量﹑引力、功和流量等）。

  3. 二.要点提示 1.曲线积分的计算——化为定积分计算 （1）对弧长（第一型） 设L： 弧微分

  4. （2）对坐标（第二型） 设L：

  5. 2．曲面积分的计算（化为二重积分） （1）对面积（第一型）的曲面积分 若

  6. （2）对坐标（第二型）的曲面积分 若 上侧，则 若 下侧，则

  7. 3.格林公式——平面上曲线积分与二重积分的关系：3.格林公式——平面上曲线积分与二重积分的关系： L正向. （1）曲线积分与路径无关的条件 以及等价关系. （2）添加曲线使积分曲线弧段成为闭曲线， 利用格林公式求曲线积分.

  8. 4.高斯公式—— 曲面积分与三重积分的关系

  9. 三 问题与思考 问题1 下列运算正确吗？

  10. 解 （1）正确. (2) 错误，因为二重积分的积分包括圆的边界 和内部，正确的是

  11. 问题2.如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？问题2.如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？ 答：由于实际需要，曲线积分与曲面积分为两种类型， 有关质量﹑重心﹑转动惯量等数量积分问题导出第一 类线面积分；有关变力作功、流体流过曲面的流量等 向量问题导出第二类线、面积分。 前者被积函数化为数量函数沿区域积分，无需考虑 方向性，而后者被积函数是向量函数，必须考虑方向。 因此，一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向 分为两种类型的积分，

  12. 在所学过的积分中 区域无向的积分有： 重积分﹑第一类曲线积分和第一类曲面积分； 区域有向的积分有： 定积分﹑第二类曲线积分和第二类曲面积分. 曲线的方向是由起点到终点（定积分）或切向量 的方向来确定，曲面的方向则由曲面上点的法向量所 指向的侧来确定.

  13. 四 典型题目 例1 计算 。

  14. 1.解

  15. 是有向折线 这里

  16. 可选路径AEFC，则 请思考：能否取折线

  17. 解 法2 由对称性（轮换性）

  18. 解 由高斯公式，得

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