1 、晶体结构与空间点阵 2 、晶向、晶面及指标 3 、晶面间距 4 、晶面族 5 、倒易点阵

1. 第二章 晶体学基础 1、晶体结构与空间点阵 2、晶向、晶面及指标 3、晶面间距 4、晶面族 5、倒易点阵 燕山大学材料科学与工程学院 材料现代分析测试方法课程教学团队 王利民教授/博导

2. 教学目标 学习要点 学时安排 通过本章学习，掌握表达晶体周期性结构与它的点阵的各种概念；掌握晶面指数与晶向指数的标定，晶面间距与晶面夹角的表达；倒易点阵。 ⑴ 晶体结构周期性与点阵。 ⑵ 7个晶系和14种Bravias空间格子。 ⑶ 晶胞，晶带，晶向，晶面，晶面间距，晶面夹角。 (4) 倒易点阵 学时----- 2学时

3. 2.1、晶体结构与空间点阵 2.1.1 空间点阵（Space Lattice） 晶体结构的几何特征是其结构基元（原子、离子、分子或其它原子集团）一定周期性的排列。通常将结构基元看成一个相应的几何点，而不考虑实际物质内容。 这样就可以将晶体结构抽象成一组无限多个作周期性排列的几何点。这种从晶体结构抽象出来的，描述结构基元空间分布周期性的几何点，称为晶体的空间点阵。几何点为阵点。

4. 结构基元 在晶体的点阵结构中每个阵点所代表的具体内容，包括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式排列的结构，称为晶体的结构基元。结构基元是指重复周期中的具体内容。 点阵点 点阵点是代表结构基元在空间重复排列方式的抽象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上，按同一种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。 所以可简单地将晶体结构示意表示为： 晶体结构 = 点阵 + 结构基元

5. 2.1.2 基本矢量与晶胞 一个结点在空间三个方向上，以a, b, c重复出现即可建立空间点阵。重复周期的矢量a, b, c称为点阵的基本矢量。 由基本矢量构成的平行六面体称为点阵的单位晶胞。

6. 布拉菲晶胞 同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢量来表示。 为了表达最简单，应该选择最理想、最适当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为坐标原点，（1）选取基本矢量长度相等的数目最多、（2）其夹角为直角的数目最多，且（3）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。 每一个点阵只有一个最理想的晶胞即布拉菲晶胞。

7. 2.1.3 布拉菲点阵 法国晶体学家A. Bravais研究表明，按照上述三原则选取的晶胞只有14种，称为14种布拉菲点阵。 14种布拉菲点阵分属7个晶系中。

8. 14种空间点阵形式

9. 按晶胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲点阵分为四类：按晶胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲点阵分为四类： • 简单(P) • 体心(I) • 面心(F) • 底心(C) 阵点坐标的表示方法：以晶胞的任意顶点为坐标原点，以与原点相交的三个棱边为坐标轴，分别用点阵周期（a, b, c）为度量单位。

10. 晶胞中的原子计数 在晶胞不同位置的原子由不同数目的晶胞分享： • 顶角原子： 1/8 • 棱上原子：1/4 • 面上原子：1/2 • 晶胞内部： 1

11. ◆简单点阵 （P） 只在晶胞的顶点上有阵点，每个晶胞只有一个阵点，阵点坐标为000

12. ◆体心点阵，I 除8个顶点外，体心上还有一个阵点，因此，每个阵胞含有两个阵点，000，1/2 1/2 1/2

13. ◆面心点阵。F 除8个顶点外，每个面心上有一个阵点，每个阵胞上有4个阵点，其坐标分别为000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2

14. ◆底心点阵，C 除八个顶点上有阵点外，两个相对的面心上有阵点，面心上的阵点为两个相邻的平行六面体所共有。因此，每个阵胞占有两个阵点。阵点坐标为000，1/2 1/2 0

15. 2.1.4 点阵常数 平行六面体的三个棱长a、b、c和及其夹角α、β、γ，可决定平行六面体尺寸和形状，这六个量亦称为点阵常数。 按点阵参数可将晶体点阵分为七个晶系。

16. 晶系 边长 夹角 晶体实例 立方 a=b=c α=β=γ=90° Cu , NaCl 四方 a=b≠c α=β=γ=90° Sn , SnO2 正交 a≠b≠c α=β=γ=90° I2 , HgCl2 三方 a=b=c α=β=γ≠90° Bi , Al2O3 a=b≠c α=β=90°γ=120° 六方 a=b≠c α=β=90°γ=120° Mg , AgI 单斜 a≠b≠c α=γ=90°β=120° S , KClO3 三斜 a≠b≠c α≠β≠γ≠90° CuSO4·5H2O 七个晶系及有关特征

17. 晶系 特征对称元素 晶胞特点 空间点阵型式 立方晶系 4个按立方体对角线取向的3重旋转轴 a=b=c α=β=γ=90° 简单立方 立方体心 立方面心 六方晶系 6重对称轴 a=b≠c α=β=90°,γ=120° 简单六方 四方晶系 4重对称轴 a=b≠c α=β=γ=90° 简单四方 体心四方 三方晶系 3重对称轴 a=b=c α=β=γ≠90° 简单六方 R心六方 正交晶系 2个互相垂直的对称面或3个互相垂直的2重对称轴 a≠b≠c α=β=γ=90° 简单正交 C心正交 体心正交 面心正交 单斜晶系 2重对称轴或对称面 a≠b≠c α=β=90°≠γ 简单单斜 C心单斜 三斜晶系 无 a≠b≠c a≠b≠c≠90° 简单单斜 七个晶系及有关特征

18. 2.2、晶向、晶面及晶向、晶面指标 《晶体学中阵点平面与阵点直线的空间取向分别用晶面指数与晶向指数来表示。》 2.2.1 晶向与晶向指标 任意两结点的结点列称为晶向。与此晶向相对应，一定有一组相互平行而且具有同一重复周期的结点列。 晶向的表示方法： 取其中通过原点的一根结点列，求该列最近原点的结点的指数，u, v, w, 并用方括号标记[uvw]。 或者：（1）在一族相互平行的阵点直线中引出过坐标原点的阵点直线。 （2）在该直线上任取一点，量出坐标，并用点阵周期a, b, c表示。 （3）将三个坐标值用同一个数乘或除，划归互质整数，并加方括号。

19. 建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵常数为单位 ； • 在晶向上任两点的坐标(x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若平移晶向或坐标，让在第一点在原点则下一步更简单)； • 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1； • 化成最小、整数比u：v：w； • 放在方括号[uvw]中，不加逗号，负号记在上方 。 晶向指数的确定

20. 红线由两个结点的坐标之差确定

21. 2.2.2 晶面及晶面指标 在点阵中由结点构成的平面称为晶面。 空间点阵划分为平面点阵的方式是多种多样的. 不同的划法划出的晶面(点阵面)的阵点密度是不相同的. 意味着不同面上的作用力不相同. 所以给不同面以相应的指标(hkl)。

22. 国际上通用的是密勒（Miller）指数，即用三个数字来表示晶面指数。国际上通用的是密勒（Miller）指数，即用三个数字来表示晶面指数。 标定方法： • (1)在一组相互平行的晶面中任选一个晶面，量出它在三个坐标轴上的截距，并用点阵周期a，b，c来度量。假设截距为r，s，t。 • (2)取截距的倒数 1/r，1/s，1/t。 • (3)将这些倒数乘以分母的最小公倍数，把他们化为三个简单整数h，k，l， ，并用圆括号括起来。使h∶k∶l = 1/r∶1/s∶1/t。 则(h k l)就是待标晶面的晶面指数。

23. z c b y a x 习 题 （1）截距r、s、t分别为3，3，5 （2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5 （3）最小公倍数15， （4）于是，1/r，1/s，1/t分别乘15得到5，5，3， 因此，晶面指标为（553）。 我们说（553）晶面，实际是指一组平行的晶面。

24. 晶面指数特征： 1，所有相互平行的晶面，其晶面指数相同，或者三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相互平行的晶面。 2，晶面指数中h、k、l是互质的整数。 3，最靠近原点的晶面与X、Y、Z坐标轴的截距为 a/h、b/k、c/l。 即与原点位置无关；每一指数对应一组平行的晶面。

25. 立方晶系几组晶面及其晶面指标。 （100）晶面表示晶面与a轴相截与b轴、c轴平行； （110）晶面表示与a和b轴相截，与c轴平行； （111）晶面则与a、b、c轴相截，截距之比为1:1:1 (100) (110) (111) 在点阵中的取向

26. 思考题 • 晶体的晶面指数的个数有上限吗？例如（111，100，1）这样的晶面有吗？ 理论上讲，晶面指数的个数是无限的，只要能找到极端复杂的晶胞。但对实际的一个晶体，晶面的数目是一定的。

27. 六方晶系的晶面和晶向指数表示方法与其它晶系不同。六方晶系的晶面和晶向指数表示方法与其它晶系不同。 六方体系的晶面指数 如果取a1、a2、和c为晶轴，按上述三轴定向的方法确定面指数，六个柱面的面指数为：（100）、（010）、（1(-)10）、（1(-)00）、（01(-)0）、（11(-)0）。但是，这种方法所确定的晶面指数不能显示出六次对称及等同面的特征。因此，对六方晶系往往采用四轴定向方法，称为密勒-布拉菲指数。 选取四个坐标轴，其中a1、a2、a3在同一水平面上，之间的夹角为120°，c轴与这个平面垂直。这样求出的晶面指数由四个数字组成，用（hkil）表示。其中前三个数字存在如下关系： h+k=-i 用四轴定向方法求出的六个柱面的晶面指数为：（101(-)0）、（011(-)0）、（1(-)100）、（1(-)010）、（01(-)10）、（11(-)00）。 这样的晶面指数可以明显地显示出六方对称及等同晶面的特征。

28. 六方体系的晶向指数 六方晶系中如果用三轴定向表示晶向指数用[UVW]，四轴定向的晶向指数用[uvtw]来表示。三轴和四轴晶向指数之间的关系：

29. 2.3、晶面间距d (hkl) 一组平行晶面（hkl）中两个相邻平面间的垂直距离称为晶面间距，用dhkl表示。 它与晶胞参数和晶面指标有关。 晶面与晶面间距是晶体X射线衍射结构分析中所围绕的内容。

30. 面间距 dhkl与晶胞点阵参数之间的关系 （hkl）代表一组相互平行的晶面, 任意两个相邻的晶面的面间距都相等。 对正交晶系 5-1 立方晶系 5-2 5-3 六方晶系

31. 晶面指标越高, 面间距越小, 晶面上粒子的密度（或阵点的密度）也越小. 只有（h*k*l*）小, dh*k*l*大, 即阵点密度大的晶面（粒子间距离近, 作用能大, 稳定）才能被保留下来.

32. 利用： 求得: Å Å 于是: 习 题 金属镍立方晶胞中（111）晶面的晶面间距d111为2.035Å，求其（220）晶面间距d220。

33. 2.4 晶面族 晶面族：在同一晶体点阵中，有若干组晶面是可以通过一定的对称变化重复出现的等同晶面，它们的面间距与晶面上结点分布完全相同。这些空间位向性质完全相同的晶面的集合，称为晶面族 表示方法：用{hkl}表示。 例如：立方晶系中{100}晶面族包括六个晶面 （100）、（010）、（001）、（-100）、（0-10）、（00-1） 注意，在其他晶系中，通过数字位置互换而得到的晶面不一定属于同一晶面族，例如，正方晶系中a=bc，因此，{100}晶面族分为两组，一个包含（100）（010）（-100）（0-10）晶面；另一个包含（001）（00-1）两个晶面。 思考：为什么要强调晶面族的概念？与衍射分析有什么关系？ <晶体衍射结果最直接的信息是面间距。同一个面间距值可能对应不同的晶面，这些具有相等面间距的晶面之间有可能通过选择、平移等对称性操作重复，这些晶面属于同一晶面族。>

35. 2.5、倒易点阵 （教学难点） 2.5.1 为什么要引入倒易点阵概念  天下本无事，庸人自扰之？  非常有用 1、考试要考；考研更要考 2、能简化（1）晶面与晶面指数表达；（2）衍射原理的表达；（3）与实验测量结果直接关联，尤其是电子衍射部分。 <晶体X射线衍射中核心是对晶体中各个晶面的研究，如果能把晶面作为一个点来研究，何乐不为？>

37. 倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种表达形式。为了区别有时把晶体点阵空间称为正空间。倒易空间中的结点称为倒易点。倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种表达形式。为了区别有时把晶体点阵空间称为正空间。倒易空间中的结点称为倒易点。 2.5.2 倒易点阵的概念、表达形式

38. 定义： 矢量表示 1、倒易点阵的定义 （倒易点阵与正点阵的转换关系） 倒易点阵参数： a* 、b*、 c*； α*、β*、γ* 其中，a 、b、 c；α、β、γ为正点阵参数

39. （1） 倒易点阵参数的方向与大小 因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。a*垂直于b与c两个矢量构成的平面。同样b*（或c*）垂直于a与c（a与b）两个矢量构成的平面。 或者，a*垂直（100）晶面； b*垂直（010）晶面； c*垂直（001）晶面。 （2） 如果*=*=*=90o，

40. 2、倒易点阵的本质 倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。 所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间(波矢空间)的反映。

41. 2.5.3 倒易矢量 1、定义： 从倒易点阵原点向任一倒易阵点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为： r* = ha* + kb* + lc* 倒易阵点用它所代表的晶面指数标定。

42. 020 120 220 (010) b H220 (110) 110 010 (100) b* 210 (220) (210) 100 c 200 C* a a* 000 立方正空间点阵的倒易变换 正点阵 倒易点阵

43. 2、倒易矢量的两个基本性质 （1） 倒易矢量的方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。 （2）倒易矢量的长度等于（hkl）晶面的晶面间距dhkl的倒数。 如果正点阵与倒易点阵具有同一坐标原点，则正点阵中的一个晶面在倒易点阵中就变成了一个阵点（倒易点）。正点阵中晶面取向和面间距只须倒易矢量一个参量就能表示。

44. 证明1：倒易矢量的方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。证明1：倒易矢量的方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。 设倒易矢量为： 晶面（hkl）与三个坐标轴的截距为： c 于是： C b B 从倒易矢量的定义 同理可证： O a A 因此

45. c C b 为OM方向上的单位矢量 B M O a A 证明2：倒易矢量的长度等于（hkl）晶面的晶面间距dhkl的倒数。 OM垂直于晶面，交点为M，于是有： 因为性质一成立，则有倒易矢量垂直于ABC面，即倒易矢量在OM方向上， 这样可以通过有倒易矢量给出单位矢量。

46. 3、用倒易矢量推导晶面间距和晶面夹角的计算公式 • 晶面间距计算公式 • 晶面夹角计算公式

47. 晶面间距计算公式： 已知r* = ha* + kb* + l c*，则 : 立方晶系

48. 晶面夹角计算公式 晶面夹角可以用晶面法线间的夹角来表示。 因此，两个晶面（h1klll）（h2k2l2）间的夹角可以用它们所对应的倒易矢量r1* 与r2*间的夹角来表示。 已知 r1* = h1a* + k1b* + l1 c* r2* = h2a* + k2b* + l2 c* 则 同样需要三个基本矢量之间的夹角 对于立方体系：

49. 习题

50. 晶带正空间与倒空间对应关系图 1，在晶体结构或空间点阵中， 与某一取向平行的所有晶面均属于同一个晶带。 2，同一晶带中所有晶面的交线互相平行，其中通过坐标原点的那条直线称为晶带轴。 3，晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数。