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二次函数复习

二次函数复习. 一、二次函数的定义. 形如 y=ax 2 +bx+c （ 其中 a 、 b 、 c 是常数，且 a≠ 0 ） 的函数，叫做二次函数。 二次函数的一般式： y=ax 2 +bx+c （ a≠ 0 ） 。 二次函数顶点式： y=a （ x-h ) 2 +k （ a≠ 0 ）。 二次函数的交点式： y = a （ x - x 1 )( x - x 2 ) （ a ≠0) 。. 二、二次函数的图象和性质. 首先把 y=ax 2 +bx+c 化成 y=a （ x-h ) 2 +k 的形式， 然后对图象和性质进行归纳：

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Presentation Transcript

  1. 二次函数复习

  2. 一、二次函数的定义 • 形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数。 • 二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）。 • 二次函数顶点式： y=a（x-h)2+k（a≠0）。 • 二次函数的交点式：y=a（x-x1)(x-x2)（a≠0)。

  3. 二、二次函数的图象和性质 • 首先把y=ax2+bx+c化成 y=a（x-h)2+k的形式， 然后对图象和性质进行归纳： • 所有二次函数的图象都是一条抛物线；当a>0,抛物线的开口向上，当a<0时，抛物线的开口向下。 • 当 | a |的值越大时，开口越小，函数值 y变化越快。 当 | a |的值越小时，开口越大，函数值 y变化越慢。

  4. 3.当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y随 x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随 x的增大而增大；当 a < 0 时，在对称轴的左侧，y随 x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随 x的增大而减小。 4.y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝=h，当x=h时，y有最大（或最小）值，即 5.y=ax2+bx+c的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，当 时，y有最大（或最小）值。即

  5. 把一般式y=ax2+bx+c 配成顶点式为：

  6. 6. 当a>0, △>0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2(x1<x2 )，当x<x1或x>x2时，y>0,即ax2+bx+c>0 ;当x1<x<x2时，y<0, 即ax2+bx+c<0. 7. 当a<0, △>0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2(x1<x2)，当x1<x<x2时，y>0,即ax2+bx+c>0 ;当x<x1或x>x2时，y<0, 即ax2+bx+c<0.

  7. 8. 当a>0, △=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个相同的交点，即顶点在x轴上，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2 )，当x≠x1（或x≠x2）时，y>0,即ax2+bx+c>0 ;当x=x1=x2时，y =0；无论 x取任何实数，都不可能有ax2+bx+c<0. y>0

  8. 9. 当a<0, △=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个相同的交点，即顶点在x轴上，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2 )，当x≠x1（或x≠x2）时，y<0,即ax2+bx+c<0 ;当x=x1=x2时，y =0；无论 x取任何实数，都不可能 有ax2+bx+c>0. y<0

  9. y>0 10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点，即全部图象在x轴的上方，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y>0; 无论 x取何值，都不可能有y≤0。

  10. y<0 11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点，即全部图象在x轴的下方，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x取何值，都有y<0 . 无论 x取何值，都不可能有y≥0。

  11. c = 0 c > 0 c < 0 12. y=ax2+bx+c（a≠0）与 y 轴的交点的坐标为（0，c) . 由此可得： 当c>0时，抛物线与y 轴相交于正半轴； 当c=0时，抛物线过原点； 当c<0时，抛物线与y 轴相交于负半轴。

  12. 提示：如果已知的是三个普通点，则一般采用二次函数的一般式。提示：如果已知的是三个普通点，则一般采用二次函数的一般式。 三、解析式的确定（待定系数法） 1. 已知三个普通点确定函数解析式

  13. 巩固练习1

  14. 2. 过顶点和一普通点的二次函数解析式的确定

  15. 巩固练习2

  16. y 3 -1 3 0 x 3. 过x轴上的两点及任意一点确定解析式时，用交点式 y=a（x-x1)(x-x2) 【例】已知函数的图象如图所示，求函数解析式。 解： 设函数的解析式为：y=a(x-x1)(x-x2), 则 x1=-1, x2=3, 于是 y=a(x+1)(x-3). ∵抛物线过y 轴上的点（0，3）， ∴把这点坐标代入上面式子，得 3=-3a ∴ a=-1. ∴ 所求函数解析式为： y=-1(x+1)(x-3). 即 y= -x2+2x+3 . （C）

  17. y -1 3 0 x -2 巩固练习3 解： 设函数的解析式为：y=a(x-x1)(x-x2), 则 x1=-1, x2=3, 于是 y=a(x+1)(x-3). ∵抛物线过y 轴上的点（0，-2）， ∴把这点坐标代入上面式子，得 -2=-3a ∴ a=2/3. ∴ 所求函数解析式为： y=2/3·(x+1)(x-3). • 如图，抛物线经过下列各点，试求它的函数解析式。

  18. y 1 x 1 0 -1 巩固练习4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，试用 “ >、< 、=” 填空： （1）a0,b0, c0; （2）a+b+c 0; （3）a-b+c 0; （4） △ 0； （5）0. < > < < > > >

  19. 再见！ 盐源民族中学 罗朝友

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