1 / 24

Constant Ratio Fixed-Parameter Approximation of the Edge Multicut Problem

Constant Ratio Fixed-Parameter Approximation of the Edge Multicut Problem. Daniel Marx, Igor Razgon Presenting: Arkadiy Pyuro. Edge Multicut (EMC). הכללה של בעית st-Cut ובעית Multiway-Cut FPT על עצים FPT עם שני פרמטרים: k , l פתרון פרמטרי ב- k בלבד – בעיה פתוחה

taran
Download Presentation

Constant Ratio Fixed-Parameter Approximation of the Edge Multicut Problem

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Constant Ratio Fixed-ParameterApproximation of theEdge Multicut Problem Daniel Marx, Igor Razgon Presenting: Arkadiy Pyuro

  2. Edge Multicut (EMC) • הכללה של בעית st-Cut ובעית Multiway-Cut • FPT על עצים • FPT עם שני פרמטרים: k,l • פתרון פרמטרי ב- k בלבד – בעיה פתוחה • קיים אלג' קירוב בפקטור O(log m) • לא קיים קירוב בפקטור קבוע

  3. שימושים

  4. Almost-2-SAT (2-ASAT) • FPT בסיבוכיות O(5k kq2)(q הוא מספר הפסוקים ב- F וב- L יחד) • F,L קבוצות של פסוקים. • כל פסוק הוא OR בין שני ליטרלים.

  5. רדוקציה מ- EMC ל- 2-ASAT • ניסיון ראשון: • רעיון: • להסתמך על קבוצת צמתים מיוחדת Y כדי לייצג את מושג הקשירות באמצעות פסוקים בגודל 2.

  6. Almost-2-SAT with 2-Blocks • F,L קבוצות של פסוקים. • כל פסוק הוא OR בין שני ליטרלים. • P היא קבוצה של 2k+1 בלוקים Bi, כאשר כל בלוק מכיל עד 2 פסוקים מ- F,ומתקיים:

  7. 2-ASAT-2B היא FPT עם קירוב 2 הוכחה:

  8. רדוקציות EMC AEMC2 AEMC1 2-ASAT-2B 2-ASAT

  9. Auxiliary Edge Multicut 1(AEMC1) • Y קבוצת צמתים בגודל 2k+1 לכל היותר,שמפרידה בין כל זוג • C מפרידה את T – רק בין הזוגות • C מפרידה את Y – מפרידה בין כל הצמתים של Y

  10. דוגמה s2 S1 t1 t2

  11. רדוקציות EMC AEMC2 AEMC1 2-ASAT-2B 2-ASAT

  12. רדוקציה מ- AEMC1 ל- 2-ASAT-2B

  13. אבחנה W u1 u2 uq

  14. רדוקציה מ- AEMC1 ל- 2-ASAT-2B • נניח שניתן להפריד את T,Y ע"י הסרת k קשתות לכל היותר.נראה שניתן לספק את כל הפסוקים ב- L∧F, אם מורידים לכל היותר kבלוקים. • נניח C⊆E הוא הפלט של AEMC1(G,T,Y,k) • ההשמה: xu,v 'אמת' אמ"מ u,v באותו רכיב קשירות של G\C • לכל קשת (u,v)ב- C נסיר לכל היותר בלוק אחד: • אם u מקושר ל- ב- G\Cוגם v מקושר ל- ב- G\C ,נסיר את • אם רק u,wבאותו רכיב קשירות של G\C , נסיר את • אחרת, אין צורך להסיר בלוק

  15. רדוקציה מ- AEMC1 ל- 2-ASAT-2B • נניח שניתן לספק את L∧F ע"י הסרת k בלוקים לכל היותר.נראה שניתן להפריד את T,Y ע"י הסרת k קשתות לכל היותר. • נניח S⊆P הוא הפלט של 2-ASAT-2B(F,P,L,k). • כל בלוק ב- P (ולכן גם ב- S) מתאים לקשת יחידה.נגדיר C להיות אוסף הקשתות המתאימות לבלוקים ב- S. • נניח שיש מסלול ב- G\Cבין שני צמתים: u1-…-uq, אז לא הסרנו מ- F פסוקים מהצורה: .לכן, אם או ,נקבל סתירה ל- L(כי Y מפרידה את T).

  16. רדוקציות EMC AEMC2 AEMC1 2-ASAT-2B 2-ASAT

  17. Auxiliary Edge Multicut 2(AEMC2) • Z קבוצת צמתים בגודל 2k+1 לכל היותר,שמפרידה בין כל זוג • ההבדל מ- AEMC1: C לא חייבת להפריד את Z.

  18. רדוקציה מ- AEMC2 ל- AEMC1 • בהנתן קלט (G,T,Z,k)ל- AEMC2, נבצע: • נעבור על כל החלוקות של Z. • לכל חלוקה, נקבל גרף G* ע"י כיווץ כל מחלקה בחלוקה לצומת אחת. • נריץ את AEMC1 על (G*,T,Y,k), (Y הם הצמתים ב- Z אחרי כיווץ). • אם קיבלנו תשובה שונה מ- 'NO' לפחות עבור אחת החלוקות, נחזיר אותה. אחרת, נחזיר 'NO'. • נכונות: • אם לא קיימת C⊆E בגודל k שמפרידה את T, אז כמובן שלא קיימת קבוצה כזו שמפרידה גם את T וגם את Y, לכל Y. • אם קיימת C כנ"ל, אז היא מחלקת את G* לרכיבי קשירות. אם נחלק את Z למחלקות לפי רכיבי קשירות אלה, אז C מפרידה גם את Y.

  19. רדוקציות EMC AEMC2 AEMC1 2-ASAT-2B 2-ASAT

  20. רדוקציה מ- EMC ל- AEMC2 • צריך למצוא קבוצה Zבגודל 2k+1, שמפרידה את T. • נשתמש בדחיסה איטרטיבית (Iterative Compression) • נסמן: E={e1,e2,…,em} וגם: Ei={e1,e2,…,ei} ,Gi=(V,Ei) . • מתקיים: C0=φ • לכל i: • נניח שמצאנו את Ci-1, חתך בגודל 2k לכל היותר. • אז Ci-1U{ei}מפריד את T. • נוסיף בתוך כל קשת ב- C צומת. אלה יהיו 2k+1 הצמתים ב- Z.הם מפרידים את T כיCi-1U{ei} מפריד את T. • עתה נריץ את AEMC2, ונתקן את Ci שנקבל, ע"י איחוד הקשתות ב- Ci-1U{ei} שפיצלנו.

  21. רדוקציות EMC AEMC2 AEMC1 2-ASAT-2B 2-ASAT

  22. סיבוכיות

  23. מה ראינו? • בעית EMC • קירוב פרמטרי • רדוקציה ל- 2-SAT • iterative compression

  24. שאלות?

More Related