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我們在第一冊已經學過數線,知道數線上任意一點都可以用一個數來表示它的位置,也就是說,數線上的每一個點都有一個坐標,所以數線也稱為直線坐標系。

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我們在第一冊已經學過數線,知道數線上任意一點都可以用一個數來表示它的位置,也就是說,數線上的每一個點都有一個坐標,所以數線也稱為直線坐標系。 - PowerPoint PPT Presentation


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我們在第一冊已經學過數線,知道數線上任意一點都可以用一個數來表示它的位置,也就是說,數線上的每一個點都有一個坐標,所以數線也稱為直線坐標系。. 我們可以用類似國小學過的平面坐標表示法,來表示平面上點的位置。例如:以 臺北市 忠孝東、西路與中山南、北路的交叉路口為中心點,如圖 ( 一 ) 所示,如果把中心點以東當作正向,那麼中心點以西即為負向;同理,把中心點以北當作正向,那麼中心點以南即為負向,如圖 ( 二 ) 所示。.

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Presentation Transcript
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我們可以用類似國小學過的平面坐標表示法,來表示平面上點的位置。例如:以臺北市忠孝東、西路與中山南、北路的交叉路口為中心點,如圖(一)所示,如果把中心點以東當作正向,那麼中心點以西即為負向;同理,把中心點以北當作正向,那麼中心點以南即為負向,如圖(二)所示。
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像前面的圖(二)一樣,在平面上畫出兩條互相垂直且有共同原點 O 的數線,我們把這兩條數線所在的平面稱為直角坐標平面,簡稱為坐標平面;水平的數線稱為 x 軸,以 x 軸上箭頭的方向(向右)為正向,反方向(向左)為負向;鉛垂的數線稱為 y 軸,以 y 軸上箭頭的方向(向上)為正向,反方向(向下)為負向。x 軸和 y 軸也稱為坐標軸,x 軸與 y 軸的交點稱為這個直角坐標平面的原點,通常以英文字母 O 表示,如下圖所示。
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由兩條互相垂直且有共同原點的數線所構成,其中水平的數線稱為 x 軸,鉛垂的數線稱為 y 軸。
  • ⑴ 以 x 軸上箭頭方向(向右)為正向,反方向為負向。
  • ⑵ 以 y 軸上箭頭方向(向上)為正向,反方向為負向。
  • ⑶ x 軸與 y 軸的交點稱為這個直角坐標平面的原點。

正向

正向

負向

負向

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我們在國小學過用(a , b)來表示點在坐標平面上的位置,(a , b)這種含有一對(兩個)數的表示方式,稱為數對。
  • 在坐標平面上,從原點 O 出發,先沿著 x 軸的正向(向右)走 4 個單位,到達 P 點;再從 P 點開始,朝著 y 軸的正向(向上)走 3 個單位,到達 A 點,我們可以用數對(4 , 3)來表示 A 點的位置,如圖(三)。此時我們就說 A 點的坐標是(4 , 3),記作 A(4 , 3),其中 4 稱為 A 點的 x 坐標或橫坐標,3 稱為 A 點的 y 坐標或縱坐標。
  • 同樣的,從原點 O 出發,先沿著 x 軸的負向(向左)走 3 個單位,到達 Q點;再從 Q 點開始,朝著 y 軸的負向(向下)走 4 個單位,到達 B 點,則 B 點的坐標為(-3 , -4),記作 B(-3 , -4)。而原點 O 的坐標記作 O(0 , 0)。
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y

P(m,n)

n

│m│

│n│

x

O

m

  • 當數對(m , n)表示 P 點的位置,(m , n)就稱為 P 點的坐標,記作P(m , n)。其中 m 稱為 P 點的 x 坐標或橫坐標,│m│為 P 點到y 軸的距離;n 稱為 P 點的 y 坐標或縱坐標,│n│為 P 點到 x軸的距離。
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在坐標平面上,任意一點都可以找到一組數對來表示它。例如:下圖(四)中,坐標平面上有一點 C,先由 C 點向 x 軸作一條垂直線,可以找到 C 點的 x坐標為 3;再由 C 點向 y 軸作一條垂直線,可以找到 C 點的 y 坐標為 4。所以就可以知道 C 點的坐標為(3 , 4)。
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⑴ 過 P 點作垂直 x 軸的直線,
  • 找到的 x 坐標為 2;
  • 再過 P 點作垂直 y 軸的直線,
  • 找到的 y 坐標為 3;
  • 則 P 點的坐標為(2 , 3)。
  • ⑵ 依此方法,Q 點的坐標為(-4 , 2);
  • R 點的坐標為(-3 , -1);
  • S 點的坐標為(3 , )。
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( , 2)
  • 坐標平面上有 A、B、C、D 四點,則:
  • A 點的坐標是 。
  • B 點的坐標是 。
  • C 點的坐標是 。
  • D 點的坐標是 。

(2 , 1)

(-2 , -2)

(4 , -3)

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在坐標平面上標出下列各點。
  • A(-3 , 4)B(4 , -2)C(,-3)

A(-3 , 4):x 坐標為-3,所以先從原點出發,沿著 x 軸的負向(向左)走3 個單位到 P 點;y 坐標 為 4,所以再從 P 點出發,沿著 y軸的正向 (向上)走 4 個單位,最後的位置就是 A 點。

B(4 , -2):x 坐標為 4,所以先從原點出發,沿著 x 軸 的正向(向右)走 4個單位到 Q 點;y 坐標為 -2,所以再從 Q 點出發,沿著 y軸的負向 (向下)走 2 個單位,最後的位置就是 B 點。

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C(,-3):先在 x 軸上找到 R(, 0),過 R 點作一 條垂直 x 軸的直線;接著在 y 軸上找到 S(0 , -3),過 S 點作一條垂直y軸的直 線;兩條直線相交的點就是C 點。
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⑵ 承⑴,(3 , -2)與(-2 , 3)所表示的點是否相同?

從上圖中可以知道(3 , -2)與(-2 , 3)所表示的點不相同。

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在坐標平面上標出下列各點。
  • A(3 , 0)B(-4 , 0)C(0 , 2)D(0 , -3)

A(3 , 0): y 坐標為 0,從原點出發,沿著 x 軸的正向 走3 個單位即可。

B(-4 , 0): y 坐標為 0,從原點出發,沿著 x 軸的負向 走 4 個單位即可。

C(0 , 2): x 坐標為 0,從原點出發,沿著 y 軸的正向 走2 個單位即可。

D(0 , -3):x 坐標為 0,從原點出發,沿著 y 軸的負向 走 3 個單位即可。

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由例 3 可以知道: 坐標為(m , 0)的點都會在 x 軸上;
  • 坐標為(0 , n)的點都會在 y 軸上。
  • 相對地,x 軸上任意一點的坐標可以用(m , 0)的形式來表示;
  • y 軸上任意一點的坐標可以用(0 , n)的形式來表示。
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⑴ 若從 A(0 , 6)出發,先向上移動 2 個單位,再向左移動 8 個單位,最後到達一點 B,則 B 點的坐標為何?
  • ⑵ 若從 C 點出發,先向右移動 6 個單位,再向下移動 3 個單位,最後到達一點 D(5 , -1),則 C 點的坐標為何?
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⑴ 向上移動 2 個單位:y 坐標變為 6+2=8
  • 向左移動 8 個單位:x 坐標變為 0-8=-8
  • 所以 B 點的坐標變為(-8 , 8)
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⑵ 由 D 點逆推回 C 點,需向上移動 3 個單位,再向左移動 6 個單位。
  • 向上移動 3 個單位:y 坐標變為-1+3=2
  • 向左移動 6 個單位:x 坐標變為 5-6=-1
  • 所以 C 點坐標
  • 為(-1 , 2)
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⑴ 若從 P(-3 , 5)出發,先向下移動 4 個單位,再向左移 動 2 個單位,最後到達一點 Q,則 Q 點的坐標為何?
  • ⑵ 若從 R 點出發,先向上移動 5 個單位,再向左移動 5 個單位,最後到達一點 S(3 , -4),則 R 點的坐標為何?

Q(-3-2 , 5-4)=(-5 , 1)

R(3+5 , -4-5)=(8 , -9)

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從圖中可以知道:

與 x 軸垂直,其交點的 x 坐標為-2,

與 y 軸垂直,其交點的 y 坐標為-1,

所以 B 點坐標為(-2 , -1);同理,D 點坐標為(2 , 3)。

  • 如右圖,四邊形 ABCD 為一個正方形,已知 A 點坐標為(-2 , 3),C 點
  • 坐標為(2 , -1),求 B、D 兩頂點的
  • 坐標。
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如右圖,圓 O 的半徑為 2,已知圓心 O 點坐標為(0 , 0),P、Q、R、S為圓 O 與兩軸的交點,其中 S 點坐標為(-2 , 0),求 P、Q、R 三點的坐標。

P 點坐標為(0 , 2)

Q 點坐標為(2 , 0)

R 點坐標為(0 , -2)

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在數線上,我們可以很清楚地看出原點 O把數線分成左、右兩邊,右邊的點,坐標都是正數,而左邊的點,坐標都是負數,如右圖。
  • 在坐標平面上,我們也可以看出 x 軸與 y 軸將坐標平面分成四個區域,我們把每個區域都稱為象限,從右上角開始,依逆時針方向順序,分別稱為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限,如圖5。而兩坐標軸是它們的界線,坐標軸上的點不屬於任何一個象限。
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由圖(五)我們發現:
  • 1. 第一象限內任意一點的 x 坐標與 y 坐標都是正數;
  • 反過來說,當一個點的 x 坐標、y 坐標都是正數時,此點必 在第一象限內。
  • 2. 第二象限內任意一點的 x 坐標都是負數,y 坐標都是正數;
  • 反過來說,當一個點的 x 坐標是負數,y 坐標是正數時,此 點必在第二象限內。
  • 3. 第三象限內任意一點的 x 坐標與 y 坐標都是負數;
  • 反過來說,當一個點的 x 坐標、y 坐標都是負數時,此點必 在第三象限內。
  • 4. 第四象限內任意一點的 x 坐標都是正數,y 坐標都是負數;
  • 反過來說,當一個點的 x 坐標是正數,y 坐標是負數時,此 點必在第四象限內。
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5. x 軸上任意一點的 y 坐標都是 0;
  • 反過來說,當一個點的 y 坐標是 0 時,此點必在 x 軸上。
  • 6. y 軸上任意一點的 x 坐標都是 0;
  • 反過來說,當一個點的 x 坐標是 0 時,此點必在 y 軸上。

如圖所示,其中(+ , +)代表 x 坐標、y 坐標都是正數,而(- , -)代表 x 坐標、y 坐標都是負數。

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下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上?
  • A(-5 , 8)、B(7 , -4)、C(, 3)、D(, )、
  • E(6 , 0)、F(0 , -8)

A 點坐標的性質符號為(- , +),故 A 點在第二象限內。

B 點坐標的性質符號為(+ , -),故 B 點在第四象限內。

C 點坐標的性質符號為(+ , +),故 C 點在第一象限內。

D 點坐標的性質符號為(- , -),故 D 點在第三象限內。

E 點的 y 坐標是 0,故 E 點在 x 軸上。

F 點的 x 坐標是 0,故 F 點在 y 軸上。

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下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上?
  • M(3 , -2)、N(, -3)、P( , 6)、Q(-4 , 5)、
  • S(, 0)、T(0 , )
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已知 A(s , t)在第二象限內,則:
  • ⑴ s 是正數或負數?t 是正數或負數?
  • ⑵ B(t ,|s|)、C(-s , )、D(st , -t2)分別在哪一象限內?
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⑴A 點在第二象限內,所以 A 點坐標的性質符號為
  • (- ,+),故 s 為負數,t 為正數。
  • ⑵ 因為 t 為正數,│s│為正數,
  • 所以 B 點坐標的性質符號為(+ , +),
  • 故 B 點在第一象限內。
  • 因為-s 為正數, 為負數,
  • 所以 C 點坐標的性質符號為(+ , -),
  • 故 C 點在第四象限內。
  • 因為 st 為負數,-t2為負數,
  • 所以 D 點坐標的性質符號為(- , -),
  • 故 D 點在第三象限內。
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已知 P(a , b)在第三象限內,則 Q(-a ,|b|)、R(b2 , a)分別在哪一象限內?

P 點在第三象限內,所以 P 點坐標的性質符號為(- , -)

故 a 為負數,b 為負數。

Q(-a ,|b|)的性質符號為(+ , +),故 Q 點在第一象限內;R(b2 , a)的性質符號為(+ , -),故 R 點在第四象限內。

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直角坐標平面是由兩條互相垂直且有
  • 共同原點 O 的 x 軸和 y 軸所構成的。
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⑴ 如果數對(m , n)表示 P 點的位置,(m , n)就稱為 P 點的坐標,記作P(m , n)。其中 m 稱為 P 點的 x 坐標或橫坐標,│m│為 P 點到 y 軸的距離;n 稱為 P 點的 y 坐標或縱坐標,│n│為 P 點到 x 軸的距離。
  • 例 (-3 , 2)表示 A 點坐標,其中-3 為 A 點的 x 坐標,2 為 A 點的 y 坐標。A 點到 x 軸的距離是 2,到 y 軸的距離是 3。
  • ⑵ 當 m≠n 時,坐標(m , n)和(n , m)所表示的點不同。
  • 例 (1 , -2)和(-2 , 1)所表示的點不同。
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⑴ 坐標為(m , 0)的點都會在 x 軸上;x 軸上任意一點的坐標可以用(m , 0)的形式來表示。
  • 例 (0.3 , 0)、(-5 , 0)、(, 0)都是 x 軸上的點。
  • ⑵ 坐標為(0 , n)的點都會在 y 軸上;y 軸上任意一點的坐標可以用(0 , n)的形式來表示。
  • 例 (0 , 7)、(0 , -2.4)、(0 , )都是 y 軸上的點。
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⑴ x 軸和 y 軸將坐標平面分成四個象限。
  • ⑵ 坐標軸上的點不屬於任何一個象限。
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根據右圖回答下列問題。
  • ⑴ 在下表中填入 A∼D 各點的坐標。
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⑵ 在下表中填入 x 軸上各點的坐標。
  • ⑶ 在下表中填入 y 軸上各點的坐標。
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在方格紙上畫一坐標平面,並在平面上標出下列各點。
  • A(2 , 4) B(1 , -2) C(2 , 0)D(0 , -5)
  • E(, 2) F(, -13)
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⑴ 若從 P(-1 , 3)出發,先向上移動 2 個單位,再向左移動 2 個單位,最後到達一點 Q,則 Q 點的坐標為何?
  • ⑵ 若從 R 點出發,先向下移動 4 個單位,再向左移動 5 個單位,最後也到達點 Q,則 R 點的坐標為何?

Q(-1-2 , 3+2)=(-3 , 5)

R(-3+5 , 5+4)=(2 , 9)

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A(, )的性質符號為(- , +),故 A 點在第二象限內;

B(-t2 , st)的性質符號為(- , -),故 B 點在第三象限內。

  • 如果 s>0,t<0,則 A(,)、B(-t2 , st)分別在哪一象限內?
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