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第八章 相量法

第八章 相量法. 8.0 内容提要. 目录 8.1 复数 8.2 正弦量 8.3 相量法的基础 8.4 电路定律的相量形式. Im. Im. F. F. b. b. | F|. . 0. a. 0. a. Re. Re. 8.1 复数. 复数的表现形式. 代数形式. 三角形式. 指数形式、极坐标形式. Im. F. b. | F|. . 0. a. Re. 8.1 复数. 三种形式的关系. 由：. 有：. F 1 + F 2. Im. F 2. F 1. Im. Re. A 2. o.

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第八章 相量法

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  1. 第八章 相量法

  2. 8.0 内容提要 • 目录 • 8.1 复数 • 8.2 正弦量 • 8.3 相量法的基础 • 8.4 电路定律的相量形式

  3. Im Im F F b b |F|  0 a 0 a Re Re 8.1 复数 • 复数的表现形式 代数形式 三角形式 指数形式、极坐标形式

  4. Im F b |F|  0 a Re 8.1 复数 • 三种形式的关系 由： 有：

  5. F1+F2 Im F2 F1 Im Re A2 o -F2 A1 F1-F2 0 Re 8.1 复数 图解法 • 复数的运算 (1)加减运算：采用代数形式 若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) (2)乘除运算：采用极坐标形式 模相乘角相加 模相除角相减 （代数形式见书）

  6. A• ejq Im Im  A 0 Re 0 Re 8.1 复数 (3)旋转因子： (4)复数相等：见书 复数ejq=cosq +jsinq =1∠q A• ejθ相当于A逆时针旋转一个角度θ， 而模不变。故把 ejθ称为旋转因子。 几种不同值时的旋转因子： 故 +j, –j, -1都可以看成旋转因子。

  7. i T t O / 8.2 正弦量 • 电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量 • 激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路 • 正弦量： • 瞬时表达式： 波形： 周期T：重复变化一次所需的时间。单位：s 频率f：每秒重复变化的次数。单位：Hz，赫(兹)

  8. i T Im t O / 8.2 正弦量 • 正弦量的三要素 • 振幅Im：反映正弦量变化幅度的大小。 • 最大值imax最小值imin峰-峰值： imax- imin • 角频率ω：反映正弦量变化快慢，相位变化的速度。 • 相位（相角）φ： ωt+ψi • 初相位ψi：反映正弦量的计时起点 • t=0的相位 • 单位弧度，度 2 t 

  9. R R 交流i 直流I 电流有效值定义为 8.2 正弦量 • 周期性电流、电压的有效值 • 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。 • 定义： 物理意义 有效值也称均方根值(root-meen-square)

  10. 8.2 正弦量 • 同理，定义电压的有效值 • 正弦电流、电压的有效值 若： 则：

  11. 8.2 正弦量 • 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： • 注意： • 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。(U=220V, Um=311V U=380V, Um=537V) • 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 • 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。

  12. u, i u i O yi  t yu j 8.2 正弦量 • 同频率正弦量的相位差(phase difference) 设： 则相位差： 同频正弦量相位差总等于初相位之差 规定： ||  (180°) φ >0: i超前u φ角，或u 滞后i φ角（i比u先到达最大值） φ <0: u超前i φ角，或i 落后u φ角（u比i先到达最大值） 相位差与零点选取无关

  13. u, i u u, i i u 0 i  t 0  t u, i u  t i 0 8.2 正弦量 • 特殊相位关系 • 同相： φ =0 • 反相：φ =  (180o ) • φ =  /2 • u领先i /2 • 不说u落后i 3 /2

  14. 8.2 正弦量 • 正弦量随时间变化的图形称为正弦波 • 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频正弦量的代数和等运算，其结果仍为一个同频率的正弦量 • 初相与参考方向有关

  15. + L R i + uC us - C - 8.3 相量法的基础 • 正弦稳态电路（正弦电流电路）

  16. u, i i1 i2 w w w 0  t I1 I2 I3  1 2 3 i1 i2 i1+i2 i3 正弦量 复数 8.3 相量法的基础 • 为什么要用相量表示正弦量？ 两个正弦量的相加： 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。 i3 角频率： 有效值： 初相位：

  17. 复常数 8.3 相量法的基础 是一个正弦量，有物理意义 无物理意义 造一个复函数： 对F(t)取实部： 对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数 F(t)还可以写成 F(t)包含了三要素：I、  、ω，复常数包含了I , 。

  18. 8.3 相量法的基础 • 称 为正弦量 i(t)对应的相量。 • 相量的模表示正弦量的有效值 • 相量的幅角表示正弦量的初相位 • 同理可得正弦电压与相量的关系 • 振幅相量

  19. 8.3 相量法的基础 • 相量图 • 复平面上用向量表示的相量 • 复振幅、旋转因子 • 复指数的几何意义（旋转相量）：

  20. 8.3 相量法的基础 • 相量法的应用 • 同频正弦量的代数和 • 同频正弦量的加减运算变成对应相量的加减运算。

  21. 8.3 相量法的基础 • 正弦量的微分、积分 积分运算: 微分运算: 超前 滞后

  22. i(t) R + u(t) L C - 8.3 相量法的基础 • 相量法的优点 • 把时域问题变为复数问题； • 把微积分方程的运算变为复数方程运算； • 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路； 用相量运算：

  23. 8.3 相量法的基础 • 小结： • 时域的正弦量频域的相量 • 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 • 相量法用来分析正弦稳态电路。

  24. i(t) + R uR(t) - u UR + R UR=RI - u=i 8.4 电路定律的相量形式 • 电阻元件VCR的相量关系 时域形式： 相量形式： 相量模型： 相量关系： 有效值关系 相位关系：同相

  25. pR uR i O  t URI u=i 波形图及相量图： 同相位 瞬时功率： 瞬时功率以2交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率

  26. i(t) + L uL(t) - UL u + jL - UL=ωLI u=i+π/2 8.4 电路定律的相量形式 • 电感元件VCR的相量关系 时域形式： 相量形式： 相量模型： 相量关系： 有效值关系 (jXL) 相位：u 超前，i滞后

  27. pL uL i  t O 2 i 电压超前电流900 波形图及相量图： 瞬时功率： 瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消

  28. XL w 8.4 电路定律的相量形式 • 感抗和感纳 • XL= L=2fL，称为感抗，单位为 (欧姆) • BL=-1/ L =-1/2fL，称为感纳，单位为S • 感抗的物理意义 • 表示限制电流的能力 • 感抗和频率成正比 相量表达式:

  29. iC(t) + u(t) C - IC i + - UC=I/ωC i=u+π/2 8.4 电路定律的相量形式 • 电容元件VCR的相量关系 时域形式： 相量形式： 相量模型： 相量关系： 有效值关系 相位： i 超前，u 滞后 (jXC)

  30. pC iC u  t O 2 u 电流超前电压900 波形图及相量图： 瞬时功率： 瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消

  31. |XC| w 8.4 电路定律的相量形式 • 容抗和容纳 • XC=-1/ωC，称为容抗，单位为 (欧姆) • BC= ωC，称为容纳，单位为S • 容抗的物理意义 • 表示限制电流的能力 • 容抗和频率成反比 ω0， |XC| 直流开路(隔直) ω ，|XC|0 高频短路(旁路作用) 相量表达式:

  32. 8.4 电路定律的相量形式 • 基尔霍夫定律的相量形式 • 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示： • 流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。 • 电路图转化为相量模型图

  33. 作 业： • 8-7 8-8 • 8-10 8-12 8-13 • 8-15 8-16 8-20 • 思考： • 8-4 8-5 8-18

  34. 例1 解 例2 解

  35. i t O 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 一般规定：| |，Im>0 最大值在起点后，则相位为负值；反之，相位为正值  =0  =－/2  =

  36. i 100 50 t1 t 0 已知正弦电流波形如图，＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1 例3 解 由于最大值发生在计时起点之后

  37. 不能比较相位差 例4 计算下列两正弦量的相位差。 解 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。（未要求是同一物理量）

  38. 例5 已知 解 试用相量表示i, u . 例6 试写出电流的瞬时值表达式。 解

  39. Im Im Re Re 例7 解 也可借助相量图计算 首尾相接

  40. 例8 试判断下列表达式的正、误： L

  41. A2 A1 ＝6A ＝8A A0 Z1 Z2 ＝? ＝? A0 A2 ＝I0min=? ＝I0max=? A0 A0 A1 A2 A0 ＝ A1 隐含设基准相量 例9 已知电流表读数： 解

  42. A 30W j40W B jXL C 例10 解 设

  43. 相量模型 5W i + 5W + uS 0.2F _ -j5W _ 例11 解

  44. i 0.02F + u 15W 4H _ 相量模型 -j10W + 15W _ j20W 例12 解

  45. + UC - jXL jXC + R _ 图示电路I1=I2=5A，U＝50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。 例13 解1 令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部

  46. jXL jXC + + R UC _ - 图示电路I1=I2=5A，U＝50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。 例13 解2 画相量图计算

  47. R + + jXC _ - 图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后与电源电压/3，问R、C应如何选择。 例14 解1 画相量图计算 解2

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