第九章 欧几里得空间

1. 第九章 欧几里得空间 • 学时：18学时。 • 教学手段： • 讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 • 基本内容和教学目的： • 基本内容：欧几里得空间定义与基本性质；标准正交基；同构；正交变换；子空间；对称矩阵的标准形；向量到子空间的距离、最小二乘法。 • 教学目的： • 欧几里得空间定义与基本性质。 • 掌握标准正交基、同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。 • 了解向量到子空间的距离、最小二乘法。 • 重点和难点： • 重点：标准正交基、同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。 • 难点：同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。

2. 9.1 欧氏空间定义及其性质

3. Θ 一 概念引入 • 物理学上力F所做之功： W=SFcosθ F • 空间解析中, 矢量的数 量积一般表示：ξ,η∈V3 Fcosθ 1) ξ,η均不为0：ξη=|ξ||η|cos<ξz,η>∈R； 2) ξ或η为0：规定ξη=0. → 由数量积最本质的属性出发，采用公理化方法在线性空间中引入内积概念，从而建立欧几里德几何的基本特征.

4. 定义1 V是R上的线性空间，V上定义二元实值函数，称为 内积，是指 对任意的α,β,γ∈V，对任意的k∈R, 存在唯 一的(α,β)∈R, 使得 1) (α,β) = (β,α)； 2) (kα,β) = k(α,β) 3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ) 4) (α,α)≥0 ，并且α = 0当且仅当 (αα) = 0 这时，称V是欧几里德空间. • 公理1称为对称性，公理2，3合称为线性性，公理4称为恒正性. 对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功）的基本属性. • 在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概念，这均为几何空间的特征，是以欧氏几何为基础的，故称为欧氏空间.

5. 例1 Rn中，对任意的ξ= (x1, ···, xn), η= (y1,···, yn )∈Rn, 规定 (ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn , 则Rn对此构成欧式空间. 证明：显然(ξ,η)∈R, 且具唯一性. 对任意的ξ,η,ζ∈Rn, k∈R, 1) (ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn = y1x1 + ··· + ynxn = (η,ξ). 2) (kξ,η) = kx1y1 + ··· +k xnyn = k(x1y1 + ··· + xnyn) = k (ξ,η) . 3) (ξ+η, ζ) = (x1+y1)z1 + ··· + (xn+yn)zn = (x1z1+ ··· + xnzn ) + (y1z1 + ··· + ynzn ) = (ξ,ζ) + (η,ζ). 4) (ξ,ξ) = x12 + ··· + xn2≥0 . 而 ξ= 0 当且仅当 x1 = x2 = ··· = xn = 0 当且仅当 (ξ,ξ) = x12 + ··· + xn2 = 0. 故 Rn 关于 (ξ,η) 构成一个欧氏空间. □

6. a f(x) b 证明分析： 根据定积分的性质，易证欧氏空间定义中4条公理成立，故C(a, b)关于（f, g）构成欧氏空间.注： R[x], R[x]n关于如上定义的（f, g）也构成欧氏空间. 例2 C(a, b) = {定义在[a, b]上的实值连续函数}关于如下规定的二元函数构成R上的欧氏空间. 对任意的f(x), g(x)∈C(a, b),

7. 二 基本性质 5） (α, kβ) = k(α, β) • (α, kβ) = ( kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) . 6) (α,β+γ) = (α,β) + (α,γ) • (α,β+γ) = (β+γ,α) = (β,α) + (γ,α) = (α,β) + (α,γ) . 7) (0,α) = (α,0) = 0 ( 对任意的α∈V ) • (0,α) = (0·0,α) = 0 (0,α) = 0 = (α,0) . 8) 对任意的β∈V，(αβ) = 0, 则α= 0 • 取β=α, 则 (αα) = 0, 据公理4得α= 0 . 9)

9. 三 向量长度

10. 柯西: 法国数学家（1789-1857年） 其主要贡献在微积分，复变函数和 微分方程方面，许多定理和公式均 以他的名字命名. 布涅柯夫斯基是俄国数学家，施 瓦茨是德国数学家，他们各自都发 现如上结论，故历史上一般称为柯 西-布涅柯夫斯基-施瓦茨不等式. 柯 西 四 向量夹角 • 为在V中引入夹角概念，先研究如下性质： 12） (α,β)2 ≤ (αα)(ββ) ( 或|(α,β)|≤|α||β| ) 其中等号成立当且仅当 α,β线性相关. • 该不等式称为柯西-布涅柯夫斯基-施瓦茨不等式.

16. 五 向量的距离 15) ｜α+β｜≤｜α｜+｜β|（三角不等式） 证明： |α+β|2 =(α+β,α+β)=(α,α)+2(α,β) +(β,β)≤|α|2 + 2|α||β|+|β|2 =(|α|+|β|)2 → ｜α+β｜≤｜α｜+｜β|. □ • 几何意义：几何空间中，两边之和大于第三边. 定义5向量α,β的距离 d(α,β)=|α－β| • 几何意义如图示. 16) α≠β,则 d(α,β)＞0. α－β 17) d(α,β)= d(β,α). β 18) d(α,γ)≤d(α,β)＋d(β,γ). α 证明： d(α,γ)=|α－γ|≤|α－β|＋|β－γ|= d(α,β)＋d(β,γ). 19）欧氏空间的子空间关于其内积也构成欧氏空间. • 故可引入欧氏空间的子空间的概念.

17. 六 度量矩阵

24. 9.2标准正交基

25. 一. 概念及基本性质 定义1 V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组. • 单个非零向量所成向量组认为是正交向量组（因为在此向量组中找不到两个向量不正交）. 性质1 {α1 ,α2 , ···,αm}是正交组，则α1 ,α2 , ···,αm线性无关 . 证明： 设 k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm= 0, 用αi (i =1, ···, m)于该式两边作内积，即 (αi , k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm ) = k1(αi , α1) + ··· + ki(αi , αi) + ··· + km(αi , αm) = (αi , 0) = 0 → ki(αi , αi) = 0 → 因αi≠ 0 ，得 (αi , αi) ≠ 0，故 ki = 0 (i =1, ···, m) → α1 ,α2 , ···,αm线性无关 . □ • dimV = n 时，V中两两正交的向量不会超过 n 个 (如平面上找不到三个两两正交的向量，空间中找不到四个两两正交的向量).

26. 定义2 n维欧氏空间V中，n个向量的正交向量组称为V的正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基.

30. 二 标准正交基的计算

32. 该定理的证明过程给出了求标准正交基的方法：该定理的证明过程给出了求标准正交基的方法：

41. 三 正交矩阵

45. 9.3欧氏空间同构

46. 一. 同构概念 定义8 实数域R上的欧氏空间V与V/同构，如果存在双射σ：V→V/，满足：对任意的αβ∈V，k∈R， 1） σ(α+β) =σ(α) + σ(β)； 2） σ(kα) = kσ(α)； 3） (σ(α) ,σ(β) ) = (α,β) . 该映射σ称为V到V/的同构映射，并记为V≌V/. • 由该定义可知欧氏空间V到V/的同构映射一定是线性空间V到V/的同构映射，故得如下性质： 性质1 有限维欧氏空间V≌V/当且仅当dimV=dimV/ . 证明: 必要性 若V≌V/ →作为线性空间来说，V与V/仍然同构，据线性空间理论即知dimV=dimV/ . 充分性 设dimV=dimV/ . 当n = 0时，它们显然同构.

47. 当n ≥0时，设α1,α2,···,αn 与β1,β2,···,βn分别为V及V/的标准正交基，则 f : α= x1α1+x2α2+ ··· +xnαn → f(α) =β= x1β1+x2β2+ ··· +xnβn是线性空间V到V/ 的同构映射，且 取γ= y1α1+y2α2+ ··· +ynαn , 有(α,γ) = x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn= ( f (α), f (γ) ),即 f 是欧氏空间V到V/的同构映射， V≌V/ . □性质2 任一n维欧氏空间V都与Rn同构.证明：据题设dimV= dimRn 及性质1，即知V≌Rn. □性质3 欧氏空间之间的同构关系具有自反性、对称性、传递性.证明： 略.

48. 9.4正交变换

49. 一 正交变换的概念及性质定义9 V是欧氏空间，A (∈L(V))称为正交变换，如果对任意的α,β∈V, (Aα,Aβ) = (α,β). 性质1 (定理1) V是欧氏空间，A ∈L(V)，则以下条件等价： 1) A 是正交变换； 2) 对任意的α∈V，│Aα│=│α│（即保持向量的长度不变）； 3) ε1,ε2, ···,εn是V的标准正交基，则Aε1,Aε2, ···,Aεn是V的标准正交基； 4) 在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.