時間數列分析

1. 本　章　綱　要 Chapter 15 時間數列分析 • 15.1 時間數列的性質 • 15.2 長期趨勢分析 • 15.3 季節變動分析 • 15.4 循環變動分析 • 15.5 時間數列的綜合分析 • 15.6 指數平滑法

2. 15.1 時間數列的性質 • 企業對經營管理的各種問題決策，常需藉由預測結果用以決定問題處理或決策走向。 • 由過去歷史資料所構成的時間數列，便成為重要預測基礎，例如處理： • 材料與零件庫存 • 產品銷售量 • 員工薪資與產品價格水準 • 生產過程之品質控制等 • 時間數列是一組統計資料，依其發生時間的先後順序排成的序列(sequence)。

3. 15.2 時間數列之特性 • 時間數列之時間單位通常可以是年、季、月、週、日等。並採用相同間隔以利分析。 • 時間數列中的時間為自變數，而其他變數為因變數，可為總數、平均數、比例、指數等。 • 時間數列各觀察值皆存在關聯性，時間間隔愈短則相關性愈大。故時間數列不滿足「各個觀察值為獨立」之假設。 • 時間數列中之各個觀察值乃案時間先後順序排列，不可任意變更。

4. 15.2 時間數列之特性 • 不同時間單位得時間數列若為分析上需要，則可轉換為相同時間單位的資料。 • 分析一些社會現象或經濟現象的時間序列，常需要對人口變動與價格變動等因素加以調整或轉換。例如轉換為每人平均消費額… • 時間數列的各個觀測值為該時期許多影響因素的組合，因此進行時間數列分析時，須先將時間數列依其組合成分加以分解方進行之。

5. 時間數列的成分 • 長期趨勢：是時間數列依時間之進行而逐漸增加或減少的長期性變化之趨勢。 • 季節變動：時間數列之季節變動是指一年中，呈現固定週期的規則變動。 • 循環變動：是沿著長期趨勢或做週而復始的上下變動，又稱為景氣循環變動(business cycle movement)。 • 不規則變動：是沿著長期趨勢或做不規則的變動或偶然的波動。

6. 時間數列Y及其組合成分T.S.C.I.之圖例

7. 時間數列Y及其組合成分T.S.C.I.之圖例

8. 時間數列各成分結合的模型 • 相加模型(additive model) ︰假定時間數列是基於四種成分相加之結果。 Y=T+S+C+I • 相乘模型(multiplicative model) ︰假定時間數列是基於四種成分相乘之結果。 Y=T×S×C×I • 基本上於時間數列分析中，由於乘法模式之假設較切合實際，即各種成分間存在相依關係，故大都採行乘法模式。 (15-1) (15-2)

9. 15.2 長期趨勢分析 • 長期趨勢為時間數列的主要成分，經由長期趨勢分析所得結果為一序列的數值，稱之為趨勢值(trend value) 。由於長期趨勢之趨勢值的變動具有規律性，故可依一趨勢方程式表示之。趨勢值繪製於圖上，可為一直線或曲線，稱之為趨勢線(Trend curve) • 半平均數法(直線趨勢方法) • 移動平均法 • 最小平方法

10. 半平均數法 表15.1 某公司民國80年至90年銷售額

11. 移動平均法(1/3) • 移動平均法是以若干期的移動平均代替原有時間數列之觀察值，用以表示其長期趨勢。其可為若干期之中位數或幾何平均數。但一般採用算術平均數。 • 設有一時間數列{Yt}, t=1,2,…,n；先取Y1,Y2,…,Yk求取平均，次取Y2,Y3,…Yk+1求平均數，依此類推，直至求完Yn–k+1,Yn–k+2,…,Yn的平均數，則這些平均數即構成原時間數列之k期移動平均的趨勢值。 • See example 15.2.

12. 移動平均法(2/3)

13. 4年移動平均數 3年移動平均數 年別 移動平均法(3/3) See page. 652 for More explanations 圖15.3 3年移動平均與4年移動平均

14. 最小平方法 • 使用最小平方法的兩個條件 • 各期的趨勢值()對實際觀測值(Yt)的誤差之總和必為0，亦即 ； • 所有誤差的平方和為最小，亦即 =最小。 • See page. 654 for more details

15. 直線趨勢方程式(1/2) (15-4) (15-5) (15-6) (15-7)

16. 直線趨勢方程式(2/2) 表15.1 某公司民國80年至90年銷售額 See page 656 for Year 92’s forecasting

17. 二次方程式(拋物線方程式) (15-10) (15-11) (15-13) (15-12)

18. 指數方程式 最小平方法 ∑ (15-14) (15-15)

19. 15.3 季節變動分析 • 季節變動的特性 • 簡單平均法 • 比率移動平均法

20. 季節變動的特性 • 季節變動為時間數列所有週期中最主要的一種，通常是以一年為週期波動。其發生原因可分為兩大類：1) 自然原因 (氣候季節變化或地理位置不同), 2) 社會原因 (風俗習慣、法律、制度等) 。 • 測定季節變動的目的： • 分析過去季節變動型態已建立季節模型。 • 進行短期預測，擬定短期計畫。 • 消除季節變動的影響以顯示時間數列之真正循環週期。

21. 季節變動的特性 • 季節變動的特性，可歸納為下列三點 • 有規律的波動，且週期固定。 • 每年重複出現。 • 各年的變化幅度約略相同。 • 固定型態 (Fixed pattern) • 季節指數 (seasonal index) ：指季節變動以百分比表示之，亦即所有年份之平均為100%，計算各月(季)指數，高於100%或低於100%，即產生一年內之起浮變動，由此觀察季節規律變化。

22. 簡單平均法 • 簡單平均法 (method of simple average) ：同月或同季平均法。 • 當同一時間數列中未包含有顯著上升或下降之長期趨勢，亦即長期趨勢為常數時則適用此法。 • 計算方法： • 分別求出各年相同月份(同季)之平均數，並求出此12月份(或四季)之平均數的總平均。 • 將求得之總平均數分別除以各月份(各季)之平均數並乘上100%，即可求出季節指數。 See example. 15.4 on page 659 and next slide

23. 簡單平均法

24. 15.3.3 比率移動平均法 • 比率移動平均法 (Ratio-to-moving average method)乃先求12個月(或4季)之移動平均，再求各月(各季)實際觀察值與移動平均數的比，皆著求出相同月份(相同季)各比值的平均值，最後再修正調整此等平均數，則可求得季節指數。 • See 計算步驟與意義 on page 661. • See example 15.5 on page 662 and next slide.

25. 比率移動平均法(1/4) ÷4 8387 8447

26. 原時間數列 銷售額(千元) 2198.00 四季移動平均 比率移動平均法(2/4) 圖15.4 四季移動平均與原時間數列曲線之比較

27. 比率移動平均法(3/4) 表15.6 季節指數第 4 運算步驟之說明

28. 比率移動平均法(4/4) – 修正調整平均數 表15.7 消除季節指數的實例 See page. 665

29. 15.4 循環變動分析 • 循環變動的特性 • 年別資料求算循環變動 • 月別或季別資料求算循變動

30. 循環變動的特性 • 一時間數列的循環變動C，必須從此時間數列Y內消除其他的構成因素；即在年別的資料中消除長期趨勢T及不規則變動I；而於月別(或季別)的資料中，尚需消除其季節變動 S始可。

31. 年別資料求算循環變動(1/3) (15-18)

32. 年別資料求算循環變動(2/3)

33. 原始數列(Y) 趨勢直線() 生產量 循環波動(C) 時間 年別資料求算循環變動(3/3) 圖15.5 循環變動

34. 月別或季別資料求算循變動 (15-19)

35. 15.5 時間數列的綜合分析 • 綜合分析的一般步驟可按下列三個步驟來進行 • 消除季節變動的影響。 • 建立趨勢方程式。 • 探討沿著此趨勢線之循環變動。 • See example 15.8

37. 時間數列例題 表15.10 季節指數運算的過程(參考表15.6) 188.8/2=94.45 129.05 60.8 113.45 94.45+129.05+ 60.8+113.45 = 397.45 less than 400  adjust 400/397.45=1.0064 -> 94.45*1.0064=95.05=95.1

38. 時間數列例題

39. 時間數列例題 error

40. 時間數列例題

41. 15.6 指數平滑法(1/6) • 指數平滑法的基本公式 本期預測值=前期預測值＋(權數)．(前期實際值–前期預測值) 以符號表示則為 Ft=Ft–1+α(Yt–1–Ft–1) 其中，α= 平滑常數(smoothing constant) t=當期期數 Ft=在時間 t 期的預測值 Yt-1=在時間 t–1 期的實際值 (15-20)

42. 15.6 指數平滑法(2/6) 表15.13 α值選取之參考準則

43. 15.6 指數平滑法(3/6)

44. 銷售額 A α=0.5 B α=0.2 時間 15.6 指數平滑法(4/6) 實際值 圖15.7 實際值與指數平滑曲線

45. 15.6 指數平滑法(5/6)

46. 15.6 指數平滑法(6/6)