求空间距离问题习题课

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一、知识概念 1.距离定义（1）点到直线距离从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的距离叫这点到这条直线的距离。（2）点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫这点到这个平面的距离。（3）两平行直线间的距离两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的距离。

（4）两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两异面直线的距离。（5）直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离。（6）两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面间的距离。

2.求距离的步骤 （1）找出或作出有关距离的图形（2）证明它们符合定义（3）在平面图形内进行计算

M A P a B Q N 最后可解得二、例例1：在600二面角M-α-N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求P到直线a距离。解：设PA，PB分别垂直平面M，平面N与A、B，PA，PB所确定的平面为α,且平面α交直线a与Q，设PQ=x 在直角△PAQ中sin∠AQP=1/x 在RT △PBQ中sin ∠AQP=2/x cos600=cos(∠AQP +∠AQP)，由此可得关于x的方程

P B A C D 例2：菱形ABCD中，∠BAD=600，AB=10，PA⊥平面ABCD，且PA=5，求：（1）P到CD的距离（2）P到BD的距离（3）P到AD的距离（4）求PC的中点到平面PAD的距离 O E (1)过P作CD的垂线，交CD的延长线于E，连AE (2)连BD，交AC于O，连PO

P D C E A B F 例3：如图：已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，PC垂直平面ABCD，且PC=2，求点B到平面EFP的距离。解：连AC，BD，设交于O,设AC交EF于H 连PH K 因为BD∥平面PEF，所以求B到平面的距离，可转化为求BD到平面的距离 O H 过O作OK⊥平面PEF，可证明OK就是所要求的距离此时，得用△OKH∽△PCH，容易求得 OK的值。

D’ C’ A’ B’ E D C A B 思考题：（1999）如图：已知正四棱柱ABCD-A’B’C’D’中，点E在棱DD’上，截面EAC∥D’B，且面EAC与底面ABCD所成的角为450，AB=a （1）求截面EAC的面积（2）求异面直线A’B’与AC的距离

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