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弯 曲 变 形 (2)

第七 章. 弯 曲 变 形 (2). 内容提要. § 7 — 4 梁的变形. * § 7 —5 用积分法求弯曲变形. § 7 — 6 用叠加法求弯曲变形  梁的刚度条件. § 7—7 组合变形和叠加原理. * § 7 — 8 简单超静定梁的解法. * § 7 — 9 梁的刚度校核  提高梁刚度的措施. 作　业. 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ， 横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵向对称平面. y. x. A. B. §7--4 梁的变形. 一，基本概念.

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  1. 第七 章 弯 曲 变 形(2)

  2. 内容提要 § 7—4梁的变形 * § 7—5 用积分法求弯曲变形 § 7—6 用叠加法求弯曲变形 梁的刚度条件 § 7—7 组合变形和叠加原理 * § 7—8简单超静定梁的解法 *§ 7—9 梁的刚度校核  提高梁刚度的措施 作　业

  3. 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ， 横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵向对称平面 y x A B §7--4梁的变形 一，基本概念

  4. 挠度（y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向 的线位移，称为该截面的挠度。 y A B C' y挠度 C x 度量梁变形后横截面位移的两个基本量

  5. 转角（） ：横截面对其原来位置的角位移 , 称为该截面的 转角。 转角 y A B  C' y挠度 C x

  6. 挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。 y 转角 A B C'  y挠度 C x 挠曲线方程为 式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度。 挠曲线

  7. y 转角 挠度与转角的关系： A B C'  y挠度 C x 挠曲线

  8. 挠度和转角符号的规定 y 转角 A B C'  y挠度 C x 挠度：向上为正，向下为负。 转角：自 x转至 切线方向，逆时针转为正，顺时针转为负。 挠曲线 选 学

  9. 推导公式 二、挠曲线近似微分方程 纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 横力弯曲时, M 和  都是 x的函数 。略去剪力对梁的位移 的影响, 则

  10. 由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作

  11. M>0 M M x x o o M<0 M M y 在规定的坐标系中, x 轴水平向右 为正, y 轴竖直向上为正。 曲线向下凸 时 ： y“ >0 , M > 0 曲线向上凸 时 : y“ < 0 , M < 0 因此, M 与 y‘’ 的正负号相同

  12. 与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为 此式称为梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了y‘2项。

  13. 若为等截面直梁, 其抗弯刚度 EI为一常量上式可改写成 上式积分一次得转角方程 请选择 选 学 再积分一次, 得挠度方程

  14. * § 7—5 用积分法求弯曲变形 转角方程： 挠度方程： 式中：积分常数 C1、C2可通过梁挠曲线的 边界条件 和 变形 连续性条件 来确定。

  15. A B A B 边界条件 在简支梁中， 左右两铰支座处的 挠度 yA和 yB 都应等于零。 yA= 0 yB = 0 在悬臂梁 中，固定端处的挠度 yＡ 和转角 A都应等于零。 yA= 0 A= 0

  16. A A B B 连续性条件 在挠曲线的任一点上， 有唯一的挠度和转角。  请选择  例题1 例题2 例题3

  17. y A B x P 例题1： 图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁, 在自由端受一 集中力P作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并 确定其最大挠度 fmax和最大转角 max .

  18. y A B x x P 解： 弯矩方程为 挠曲线的近似微分方程为

  19. y A B x x P 对挠曲线近似微分方程进行积分

  20. y A B x 将边界条件代入(3) (4)两式中, x 可得 P 边界条件为 : C1=0 C2=0

  21. y A B x x P C1=0 C2=0

  22. y A B x x P 梁的转角方程和挠曲线方程分别为

  23. （ ） （ ） y max 及 fmax 都发生在自由端截面处 A B x P 请选择 例题2 例题3

  24. 例题2： 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁, 在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 fmax 和最大转角 max . q B A

  25. q B A 解: 由对称性可知，梁的两个支反力为

  26. q B A x 梁的 弯矩方程 及 挠曲线微分方程 分别为

  27. (c) (d) q B A 边界条件为 :

  28. 将边界条件代入 (c) , (d) 两式得 梁的转角方程和挠度方程分别为

  29. q B A A 在 x = 0和 x = l处转角的 绝对值相等且都是 最大值，

  30. 在梁跨中点 l /2处有 最大挠度值 q B A 请选择 例题3

  31. 例题3： 图示一抗弯刚度为 EI的简支梁, 在 D点处受一集中 力 P的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大 挠度和最大转角。 P D B A a b

  32. P 1 D 2 B A a b 解: 梁的两个支反力为

  33. x x P 1 D 2 B A a b 两段梁的弯矩方程分别为

  34. ( 0 x  a) ( a  x  ) 1 2 挠曲线方程 转角方程 挠度方程 两段梁的挠曲线方程分别为

  35. P 1 D 2 B A a b D点的连续条件： 在 X = 0 处， 在 x = a 处 边界条件 在 处，

  36. 两段梁的挠曲线方程分别为 ( 0 x  a) ( a  x  ) 1 2 挠曲线方程 转角方程 挠度方程 代入方程可解得:

  37. 1 2

  38. 将 x = 0 和 x = l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角 当 a > b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大

  39. 简支梁的最大挠度应在 处 先研究第一段梁，令 得

  40. 当 a > b时，x1<a 最大挠度确实在第一段梁中

  41. 梁中点 C处的挠度为 结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上 无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工程要求的.

  42. 积分法的原则 对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上 的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含 前一段梁的弯矩方程。只增加了（x-a）的项。 对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为积分 变量。从而简化了确定积分常数的工作。

  43. §7-6 叠加法求梁变形  梁的刚度条件 一，叠加法求梁变形 叠加原理：梁的变形微小， 且梁在线弹性范围内工作时， 梁在几项荷载（可以是集中力, 集中力偶或分布力）同时作 用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单独作用下该截 面的挠度和转角的叠加。 当每一项荷载所引起的挠度为同 一方向（如均沿 y 轴方向 ), 其转角是在同一平面内 ( 如均在 xy 平面内 ) 时,则叠加就是代数和。 这就是叠加原理。 例题4 例题6 请选择 例题5 例题7

  44. (a) m q A B C 例题4：一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如 图 a 所示。 试按叠加原理求梁跨中点的挠度 fC 和支座处横截面的 转角 A , B。

  45. (b) q (a) m q B A C A B C m (C) B A C 解：将梁上荷载分为两项简单 的荷载，如图。b,c 所示

  46. (b) q (a) m q B A C A B C m (C) B ( ) A C ( )

  47. q C B A 例题5:试利用叠加法， 求图a 所示抗弯刚度为 EI 的简支梁跨中点的挠度 fC和两端截面的转角 A , B 。

  48. q C B B A A C B A C 解： 图a可视为正对称荷载（图b）与反对称荷载（图c）两种情况的叠加。

  49. B A C （1）正对称荷载作用下

  50. B A C （2）反对称荷载作用下 在跨中C截面处，挠度 fc 等于零 ，但 转角不等于零 且该截面的 弯矩也等于零 可将 AC 段和 BC 段分别视为受均布线荷载作用且长度 为 l/2 的简支梁

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