第一章

1. 第一章 分析基础 函数与极限

2. 第一节 函数 • 一、函数的概念 • 定义 设给定非空数集D,如果按照某个对应法则，对于D中的每一个数x，都有唯一确定的实数y与之对应，则称y是定义在D上的x的函数。 记作 • 函数的两个要素：定义域和对应法则 • 函数的表示法：解析法、表格法和图像法 定义域 自变量 因变量

3. 分段函数：一个函数，在其定义域的不同部分可用不同的解析式表示，这种形式的函数称为分段函数。常见的分段函数有分段函数：一个函数，在其定义域的不同部分可用不同的解析式表示，这种形式的函数称为分段函数。常见的分段函数有 例1符号函数y=sgnx =　　　　　　　，它的定义域是 D= . 。 1 。 。 -1

4. 例2 绝对值函数　　　　　　　　　，定义域D= y ０ x

5. 例3 取整函数y=　 ，表示不超过x的最大整数，它的 定义域D= . y 。 。 0 1 2 -2 -1 。 x 。 。。 。

6. 二、函数的几种特性 • １、函数的奇偶性：设函数的定义域D关于原点对称 • 　若　　　　，有f(-x)=f(x),则称f(x)为D上的偶函数； • 　若 ,　有f(-x)=-f(x),则称f(x)为D上的奇函数。 例如 函数　　　与　　　　　　都是奇函数；　 函数 与 都是偶函数。 • 结论：奇函数图形关于原点对称；偶函数图形关于ｙ轴对称。

7. ２、函数的周期性： ,满足f(x+T)=f(x),称T为函数 • f(x)的周期。通常说周期函数的周期是指 最小正周期。 • ３、函数的有界性：若 ,使得 。 则称函数f(x)在D上有界；否则称为无界。 例如：函数 与 都是以 为周期的 有界函数；函数 与 都是以 为周期的无界函数。

8. ４、函数的单调性： 则称函数在区间 上单调递增； 则称函数在区间 上单调递减。 例如： 在 上单调递减；在 上单调递增。在 不是单调的。 y x 0

9. 四、函数的运算： • 1、复合函数 引例：自由落体运动的动能E是速度v的函数E=,而速度v又是时间t的函数v=gt，物体的动能E与t的关系　　　　　　　　就是由 函数　　　　　与函数v =gt复合而成。 • 定义　设y=f（u）定义域为 ，函数u= 的值域 且　　　　,那么y通过u的联系成为x的函数，则称y为x的复合函数，记为y= 其中y=f（u）叫做

10. 外函数，u= 叫做内函数，u叫做中间变量。 • 注：两个函数构成复合函数的关键是内函数的值域一定要在外函数的定义域中。 例如 　　　　　 定义域　　　　　　；　　　　　　　定义域　　　　　　;由于 的值域 　　　　　故不能把中间变量代入，如果要使复合函数有意义，必须把　　限制在 ，为此必须限制　的定义域为　　　　　于是得复合函数

11. ２、反函数 • 定义 设y=f（x ）为定义在D上的函数，其值域为W,若对于数集W中的每个数y，数集D中都有唯一的一个数x使f（x）=y，这就是说变量x是变量y的函数，这个函数称为函数y=f（x）的反函数，记为x= 　　　其定义域为W,值域为D.习惯上用ｘ表示自变量，用ｙ表示因变量，函数ｙ＝f(x)的反函数　　　　　　　用　　　　　 • 表示。 注：函数y=f(x)与反函数　　　　　　在同一平面内的图行关于直线y=x是对称的。

12. 例　 求函数　　　　　　的反函数。 解：由　　　　　　可解得　　　　　　　，交换x、y的位置，得所求函数的反函数为　　　　　　　　　，其定义域为（0，1）。 • 四、初等函数 １、基本初等函数：常量函数ｙ＝C（C为常数）；指数函数　　　　　　　　　　；幂函数

13. 对数函数　　　　　　　　　　　　三角函数　　　　　　对数函数　　　　　　　　　　　　三角函数　　　　　　 反三角函数 六种函数统称为基本初等函数。 ２、初等函数 • 定义　基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得的由一个解析式所表示的函数称为初等函数。

14. 例如：多项式函数　　　　　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例如：多项式函数　　　　　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 是初等函数。 有理分式函数　　　　其定义域是R中去掉使　　　　的根后的数集，也是初等函数。 在工程技术上常常要用到称为双曲函数的初等函数，其定义为： y 双曲正弦函数　 0 y=shx x

15. y 双曲余弦函数 y=chx 1 x 0 y 双曲正切函数 1 0 x 双曲余切函数 y=thx -1

16. 双曲函数的性质 1.双曲正弦函数是　　　　上的奇函数，在区间 上是严格递增函数； 2.双曲余弦函数是　　　　上的偶函数，在区间 上是严格递减函数，在　　　　上是严格递增函数； 3. 启发与讨论： 是否为初等函数？

17. 函数 分段函数 复合函数 反函数 基本初等函数 初等函数 内容小结：

18. 第二节　　　　　数列的极限 • 一、数列极限的定义 • 数列 ： 按一定规律排列的一串数 　　　　　 称为数列，简记作　　　。数列也可作是定义在正整数集合上的函数 　　　　　　　　　称为数列的通项。 问题：当项数ｎ无限增大时，数列的变化趋势？ 例１数列　　　　　　　　当ｎ无限增大时，　　趋于确定常数１。

19. 例２数列　　　　　　　　　数列各项的值随n增大交替取得1与－1两数，而不是与某一数接近；例２数列　　　　　　　　　数列各项的值随n增大交替取得1与－1两数，而不是与某一数接近； 例3 数列2，4，6，8，…，2n，…数列各项随n 的增大而增大，且无限增大 ； 例４数列a，a，a，…，a，…数列各项的值都相同。 • 定义1当n无限增大时，数列　　的通项　　的值无限接近于某一确定的常数，则称当n趋于无穷大时数列　　以a为极限，记作　　　　　　　　　　　　　　　；这时称这个数列收敛；否则称它是发散数列。

20. 例5 观察下列数列的变化趋势，并写出收敛数列的极限 (1) (2) 分析：(1)当n依次取1，2，3，4，5，…等正整数时，数列的各项依次为 ２，　　　　　　　，当　　　　　， ； (2) 当n依次取1，2，3，4，5，…等正整数时，数列各项依次为1，0，－1，0，1，…，当 不能无限地趋于一确定的常数a，因此数列极限不存在。

21. 解：(1) (2) 数列 的极限不存在，即数列发散。 • 二、数列极限的性质 • 定理1.1如果一个数列有极限，则此极限是唯一的。 • 定理1.2将一个数列添加或减少有限项，不影响其极限是否存在，也不影响其极限值（如果极限存在）。 • 定理1.3收敛的数列必有界；有界的数列不一定收敛。 • 例如　数列　　　　　　　　　　　都是有界的数列，但都是发散的。

22. 定理1.4单调有界数列必有极限。 • 如：利用定理1.4 可证明重要数　　　　　收敛，其极限记为ｅ，即　　　　　　　　。 • 定理1.5数列极限的四则运算法则 假定　　　　　　　存在，则 (1) (2) ; (3) (4)

23. 例６求极限 分析：型，可用“抓大头法”　。　　 解　　　　　　　　　 例７求极限 分析：先求和，再求极限。 解：由

24. 内容小结 1.数列极限的定义及应用； 2.收敛数列的性质； 惟一性，有界性 3.单调有界准则； 4.数列极限的四则运算法则。

25. 第三节　　　　函数的极限 • 一、　　　　时函数的极限 从函数的观点看，数列是下标变量ｎ的函数　　　　 数列以ａ为极限可以叙述为：当自变量　　　　，相应的 函数　　　　　，这种定义数列极限的思维方法也适合于 一般的函数　　　。　　　 y y 函数 例（如图）当 0 x 无限接近0，则称0为函数 当 时极限。

26. 定义1设函数 ，如果 无限增大时函数 无限趋近于某个固定的常数a ，则称x趋于 时，f(x)以a为极限，记作 。 注：直线y＝a为曲线y＝f(x)的水平渐近线。 两种特殊情况 若x取正值，且 无限增大时， 即 ，f(x) 的值无限趋近于常数a。 若x取负值，且 无限增大时，即

27. f(x)的值无限趋近于常数a。 注：直线y＝a仍是曲线y＝f(x)的渐近线。 二、 时函数的极限 引例　讨论当 时，函数 的变化趋势。 解　此函数在ｘ＝１处无定义，但是当 时，函数 　　　 因此当 函数 f(x)以2为极限。　　　　　 总结：函数在某一点的极限与函数在该点处的函数无关。

28. 　定义　设函数f(x)在点 的附近（点 可以除外）有定义，如当 则 称A 为函数f(x) 当 x 时的极限，记作 或者 在 ， 的概念中，x是既从左侧趋 于 ，也是从右侧趋于 的情形，这就产生了左极限和右 极限。

29. 定义　设函数ｙ=f(x)在点 的去心邻域内有定义，若当ｘ从的左（右）侧趋于 时，f(x)趋于A,则称f(x)当ｘ从的左（右）侧趋于 时收敛于Ａ,且称A为f(x)在点 的左（右）极限，记作 或 结论： 例1　设函数 讨论当 时，f(x)是否存在极限。

30. 解：根据单侧极限的定义 。 。 由于 时 函数f(x)的极限不存在。 • 三、极限的运算法则 则 • 定理 1.6 若 (1)

31. (2) （K为常数）； (3) ; (4) 注：法则(1)、(3)可以推广到有限个具有极限的函数的和与积的情况且法则对于 情形也是成立。 例2 求 分析：属于 型，不能直接用四则运算法则求极限，但

32. 用 除分子与分母，则可用极限的四则运算法则求得极限。 解： 总结：“抓大头法”常用于 例3 求极限 其中 m、n各为正整数。 分析：用“抓大头法”。

33. 解： 。 例4 求 分析： 型，是不定型，要先通分，再求极限。

34. 解： • 四、函数极限存在的判别法，两个重要极限 • 定理 1.7（迫敛定理） 设函数 的 某个邻域内 ( 可除外) 满足条件 且 则有　 。

35. 例5 计算 分析： 由于 ，而 解：由迫敛定理，有 ＝0 • 定理1.8极限

36. B 证 如图作一单位圆。设 由平面几何可知 ， C 即 0 A 或 由于用－x代替x时， 都不变，

37. 所以 下面证明 因为 即 ，而 由迫敛定理得 即 所以

38. 例6 求 （m、n为整数）。 解： 例7 求 解： 例8 求

39. 解： • 定理 1.9 极限 证 当

40. 由迫敛定理 作变量代换 令y＝－x

41. 说明此极限公式也可表示为另一种形式 例8 求

42. 解 例9 求 解 令t＝－x 则当

43. 例10 求 解 • 五、无穷小量和无穷大量 • 1、无穷小量 • 定义 若 时，函数 ，则称函数f(x)为 时的无穷小量。 ，函数 例如： 时为无穷小

44. ，函数 当 时为无穷小。 • 说明 除0以外任何很小的常数都不是无穷小量。 • 无穷小量的性质 • 性质１有限个无穷小量的和也是无穷小量。 • 性质２有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。 • 性质３常数乘以无穷小量仍是无穷小量。 • 性质４有界函数乘以无穷小量仍是无穷小量。 例如 由性质4可得

45. 2、无穷大量 • 定义 若 时，函数 ，则称函数f(x) (或 ) 或 为 时的无穷大量。 记作 (或 ) 。 注 无穷大量不是一个很大的数，它描述的是函数的一种 状态，若函数趋于无穷大，则必无界。 时无穷大量。 例如

46. 说明 若 ，则直线 为曲线y＝f(x)的垂直渐近线。 • 3、无穷小量与无穷大量的关系 • 定理 如果当 时，f(x)为无穷大量, 则 为无 穷小量；反之，如果当 时，f(x)为无穷小量，且 为无穷大量。 • 说明 据此定理，关于无穷大的问题都可以转化无穷小来讨论。 例11 求

47. 解 因为 的倒数 时是无穷小 所以 • ４、无穷小量的比较 都是无穷小，而 引例 当 两个无穷小量之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小量趋于0的速度的多样。 • 定义 设 是同一变化过程中的两个无穷小量，

48. (1) 如果 ，则称 为同阶无穷小量。记作 • 如果 ， 则称f(x)与g(x)为等价无穷小量， 记作 • 如果 ，则称f是比g高阶的无穷小量，记作 (4) 如果 ，则称f是比g低阶的无穷小量。

49. 例如 ，所以 ， 当 时 为同阶无穷小量。 ， 所以，当 时 ，所以 当 时， 是比x高阶的无穷小； X是比 低阶无穷小量。

50. 思考与练习 • 填空题