第八章

1. 第八章 数字滤波器的结构

2. 数字滤波器的结构 • 数字系统的基本网络结构 • 有限长单位冲激响应（FIR）系统的基本结构 • 无限长单位冲激响应（IIR）系统的基本结构

3. 引 言 数字系统的数学模型可用差分方程和系统函数表示 数字系统的功能，就是把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。 即采用不同的软件或硬件来实现以上二式表征的数学运算过程。

4. 研究数字滤波器网络结构的必要性 同一个差分方程或系统函数可以有多种网络结构 不同的网络结构代表不同的算法。 不同的算法直接影响系统的运算误差、运算速度、系统的复杂程度和成本等。

5. 数字滤波器的结构 • 一个LTI数字滤波器可以用软件或硬件实现,具体采用哪种方式实现完全取决于其应用 • 在另一种情况下,这信号变量和滤波器的系数都不可能是无限精确的

6. 8.1 方框图表示法 • 在时域中，一个LTI数字滤波器的输入与输出之间的关系是由卷积和给定的 或者由这线性常系数差分方程给定

7. A y[n] x[n] y[n] x[n] w[n] 相乘 相加 x[n] x[n] y[n] x[n] x[n] 分支结点 单位延时 8.1 方框图表示法 • LTI数字滤波器的计算方法可以很方便的用框图的形式来说明，如下图所示

8. 8.1 方框图表示法 • 对于一个LTI的实现，输入与输出之间的关系必须用一个有用的计算方法来描述 • 为了说明我们所说的计算方法，考虑因果关系的一阶线性时不变数字滤波器，如下图所示

9. 利用上述方程，若知道初始条件y[-1]和 时的输入x[n],我们就能够计算出 的y[n]的值 8.1 方框图表示法 • 差分方程描述滤波器

10. 8.1 方框图表示法 …… • 以此类推，我们可以得到任何期望时刻n处的输出值

11. 8.1 方框图表示法 结构框图的优点 （1）通过观察可以很容易的写出计算算法 （2）通过分析方框图可以很容易的确定数字滤波器的输出与输入之间的关系 （3）可以简单的通过调整某个框图得到具有不同计算算法的“等效”框图 （4）便于确定硬件的需求 （5）利于从传输函数所生成的框图表示来直接得到多种“等效”表示

12. 8.1 方框图表示法 • 例：考虑单回路反馈结构如下图

13. 8.1 方框图表示法 • 例：级联格型数字滤波器结构 • 四个加法器的输出信号表达式

14. 由图可知

15. 8.1 方框图表示法 • 将最后两个方程代入第一次建立的四个方程中可得: 从第二个方程得到 从第三个方程得到

16. 8.1 方框图表示法 • 联立最后两个方程得到 将下式求解后代入上式方程 最后得到

17. 8.1.4 规范与非规范结构 • 数字滤波器结构在方框图表示中延时的数量等于传输函数的阶数称这种结构是规范结构 • 否则，称为非规范结构 非规范结构

18. 8.2 等效结构 • 若两个滤波器有着相同的传输函数，则定义它们的结构是等效的 • 我们描述一些方法产生等效结构 • 然而，产生等效结构的简单可行的方法就是转置运算

19. 8.2 等效结构 转置运算 （1）倒转所有路径 （2）把网络结点换成加法器，把网络结点换成加法器 （3）交换输入结点与输出结点 生成等效结构的所有其他方法都是基于各自结构的特殊算法

20. 8.2 等效结构 例：转置运算产生等效结构 原结构 变换后结构 重绘的转置结构:

21. 8.2 等效结构 • 对于同一个传输函数，几乎有着无数的等效结构 • 这些结构并不是都能实现 • 在无限精度运算的条件下，任意给定数字滤波器的实现和其它等效结构的实现有着完全相同的表现 • 然而，在实际中，由于有限字长的限制，各种实现结构的表现并不完全相同

22. 8.2 等效结构 • 因此，有必要选择一种在有限字长条件下，具有最小量化效应的实现结构 • 一种方法是先确定多种等效结构，分析每一种结构的有限字长效应，最后选出具有最小量化效应的那一个 • 在某些情况下，也可以直接通过具有最小量化效应的构造生成

23. 8.3 FIR数字滤波器的基本结构 • N阶因果FIR滤波器传输函数H(z): 这是一个关于z-1的N次多项式 在时域中,上述FIR滤波器的输入输出关系如下 N阶FIR滤波器要用N+1个系数描述,通常需要N+1个乘法器和N个双输入加法器来实现 乘法器的系数正好是传输函数的系数,因此此结构称为直接型结构

24. 8.3.1 直接型 下图是N=4的直接型结构 这正是卷积和的描述形式

25. 8.3.1 直接型 • 转置后的直接型结构更是容易的,如下 • 这两种直接型结构相对于延时来说都是规范型的

26. 8.3.2 级联型 • 高阶FIR传输函数可以由一阶或二阶传输函数的级联实现 • N=6的FIR级联实现：

27. 8.3.4 线性相位FIR滤波器结构 已知N阶线性相位FIR滤波器，冲激响应对称 冲激响应反对称： 在传输函数的直接型实现中,利用线性FIR滤波器的对称(或反对称)性质可以减少近一半的乘法器

28. 8.3.4 线性相位FIR滤波器结构 考虑一个长度为7的1型FIR传输函数,其对称冲激响应为 它可重写为

29. 8.3.4 线性相位FIR滤波器结构 得到的实现方式如图

30. 8.3.4 线性相位FIR滤波器结构 • 可以用类似的分解实现一个2型FIR传输函数 • 例如,一个长度为8的2型FIR传输函数,相关分解为 • 相应的实现方式如下图所示

31. 8.3.4 线性相位FIR滤波器结构

32. 8.3.4 线性相位FIR滤波器结构 • 注意:长度为7的1型FIR结构需要4个乘法器,而用直接型来实现原始滤波器需要7个乘法器 • 长度为8的2型FIR滤波器需要4个乘法器,而用直接型来实现原始滤波器需要8个乘法器 • 这种节省也可以在具有反对称冲激响应的FIR滤波器中获得

33. 8.4 IIR数字滤波器的基本结构 • 我们涉及的因果IIR数字滤波器可以用形如z-1的实有理传输函数来描述,或者用常系数差分方程来表示 • 从差分方程的表达式可以看出,要计算第N个输出样本值,需要知道一些前面的样本值,换言之,需要一定形式的反馈

34. 8.4 IIR数字滤波器的基本结构 • N阶IIR数字滤波器的传输函数是用2N+1个不同的系数描述的,通常需要2N+1个乘法器和2N个两输入加法器来实现 • 直接型IIR滤波器: 若乘法器的系数等于传输函数的系数,则这种IIR滤波器结构就称为直接型结构

35. 8.4.1 直接型IIR数字滤波器结构 • 考虑一个3阶IIR滤波器,其传输函数为 我们可以用两个滤波器来级联实现

36. 8.4.1 直接型IIR数字滤波器结构 1.直接I型滤波器 • 滤波器部分H1(z)可以看做是一个FIR滤波器,可以用右边的图来实现

37. 8.4.1 直接型IIR数字滤波器结构 其时域表达式为 上式的等式结构实现如右图所示

38. 8.4.1 直接型IIR数字滤波器结构 • 将H1(z)和H2(z)进行级联,得到原始IIR传输函数H(z)的实现方式,如下图,这就是我们所说的直接I型结构 • 注意:整个实现都是非规范型的,因为它用了6个延时器来实现3阶的传输函数.

39. 8.4.1 直接型IIR数字滤波器结构 • 交换H1(z)和H2(z) 的位置，系统函数不变。框图变换得到下图：

40. 8.4.1 直接型IIR数字滤波器结构 2.直接II型 滤波器： 观察下图,在节点1和节点1`的信号变量是一样的,因此顶部的两个延时器可以共享

41. 8.4.1 直接型IIR数字滤波器结构 • 直接II型 一个N阶IIR传输函数的实现可以被证实 转置

42. 8.4.2 IIR数字滤波器级联实现 • 若将传输函数的分子和分母多项式表示为若干个低阶多项式的积,则数字滤波器通常可以用低阶滤波器的级联来实现 • 例如, H(z) = P(z)/D(z) 表示为

43. 8.4.2 IIR数字滤波器级联实现 • 通过不同的极零点多项式对可以得到不同的级联实现,如下图

44. 8.4.2 IIR数字滤波器级联实现 • 由于极零点对和次序的因素,这里总共有36个不同的级联实现 • 由于有限字长效应的影响,每种级联实现的性能是不相同的

45. 8.4.2 IIR数字滤波器级联实现 • 通常,可以通过因式分解把一个多项式分解 为一阶多项式和二阶多项式的积: • 上式中,对于一阶因式

46. 8.4.2 IIR数字滤波器级联实现 • 考虑三阶传输函数 • 一种可能的实现如下图所示

47. 8.4.2 IIR数字滤波器级联实现 • 例-直接II和级联型的实现 图形显示见下一页

48. 级联型 直接II型 8.4.2 IIR数字滤波器级联实现

49. 在上式中,对于实极点有 8.4.3 IIR数字滤波器的并联实现 • IIR传输函数可以通过部分分式展开以并联的形式来实现,给出的部分分式称为并联I型 • 假设为简单极点,传输函数H(z)可以表示为

50. Parallel form I Parallel form II IIR数字滤波器结构的并联实现 • 三阶IIR传输函数的两种基本并联实现如图所示