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第6章 多元函数微积分

第6章 多元函数微积分. 6.1空间解析几何简介. 6.2 多元函数微分学. 6.3多元函数积分学. 6.1 空间解析几何简介. 主要内容: 一.空间直角坐标系. 二.向量的基本概念及其运算. 三.平面与直线的方程. 四.曲面方程的概念和常用曲面的方程. 五.空间曲线及其在坐标面上的投影. 拇指方向. z. 四指转向. z 轴(竖轴). 右手规则. y 轴(纵轴). (坐标)原点. 1. y. 1. 1. x 轴(横轴). x. 一、空间直角坐标系. 过空间一个定点 O ,. 作三条互相垂直的轴,.

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第6章 多元函数微积分

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Presentation Transcript


  1. 第6章 多元函数微积分 6.1空间解析几何简介. 6.2多元函数微分学. 6.3多元函数积分学.

  2. 6.1 空间解析几何简介 主要内容: 一.空间直角坐标系. 二.向量的基本概念及其运算. 三.平面与直线的方程. 四.曲面方程的概念和常用曲面的方程. 五.空间曲线及其在坐标面上的投影.

  3. 拇指方向 z 四指转向 z轴(竖轴) 右手规则 y轴(纵轴) (坐标)原点 1 y 1 1 x轴(横轴) x 一、空间直角坐标系 过空间一个定点O, 作三条互相垂直的轴, 它们都以O为原点且 一般具有相同的长度单位. 它们的正向通常符合右手规则. O 这样的三条坐标轴就组成 了一个空间直角坐标系.

  4. 面 面 坐标面: 三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面, 这样定出的三个平面统称为坐标面. x轴及y轴所确定的坐标面叫做 xOy面, 另两个坐标面是 yOz 面、zOx面.

  5. z O y x 卦 限: 三个坐标面把 空间分成八个部分, 第一卦限 每一部分叫做 一个卦限.

  6. z O y x 卦 限: 第二卦限

  7. z O y x 卦 限: 第三卦限

  8. z O y x 卦 限: 第四卦限

  9. z O y x 卦 限: 第五卦限

  10. z O y x 卦 限: 第六卦限

  11. z O y x 卦 限: 第七卦限

  12. z O y x 卦 限: 第八卦限

  13. z O y x 二、空间一点的坐标: 设M为空间一已知点. 过点 M 作三个平面分别垂直于x轴y轴和 z轴, 三个平面在x 轴、y轴和 z轴的交点依次为P、Q、R, R z M 在 x轴、y轴和z 轴上的坐标依次为x、y、z, 我们称这组数为点M的坐标, Q y 并把x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标. x P 坐标为x、y、z的点M记为 M(x,y,z).

  14. 及直角 中 , 三、空间两点间的距离 设 为空间两点, 求 在直角 由勾股定理有:

  15. 所以 之间的距离为 特殊地:若两点分别为

  16. 例1求 之间的距离 解 由距离公式,得

  17. v v v F v v 三、向量的基本概念及其运算1.向量的基本概念 向量:既有大小,又有方向的量叫做向量. 例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量. 在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.

  18. z M 2 M1 y O x 向量的符号: 向量可用粗体字母表示,也可用上加箭头书写体字母表示, 例如,b,i,j,k,F, 以M1为起点、M 2为终点的有向线段所表示的向 量,记作

  19. 向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量,记作0. 零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作 是任意的.

  20. 自由向量: 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量. 如果向量a和b的模相等,又互相平行,且指向相同,则说向量a和b是相等的,记为 a b. 相等的向量经过平移后可以完全重合.

  21. 向量平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两 个向量平行.向量a与b平行,记作a // b. 零向量认为是与任何向量都平行.

  22. 已知 ,则向量 的长度为 2.向量的运算 (1).向量的长度

  23. 任取一点A,作  a, 起点,作 =b, 那么向量  c称为向量 a与 b a C c b b a A B (2).向量的加法,减法和数与向量的乘法 设有两个向量 a 与 b , 再以B为 连接AC, 的和, 记作 a b,即 c  a  b. 这种作出两向量之和的方法叫三角形法则.

  24. 作  a,  b, 那么向量 a D b b a A B 平行四边形法则: 当向量 a与 b不平行时, 以AB、 AD为边作一平行四边形ABCD, 连接对角线AC, 等于向量 a与 b的和 a b . C c

  25. 向量的加法符合下列运算规律: (1)交换律a b b a; (2)结合律(ab) c a (bc). 由向量加法的交换律与结合律,可知任意多个向量 加法的法则: 以前一向量的终点作为后一向量的起点,相继作 向量,再以第一向量的起点为起点,最后一向量的终 点为终点作一向量,

  26. a a a -a -a -a b b ba ba 负向量: 设 a 为一向量,与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的曲面向量,记为a. 向量的减法: 我们规定两个向量 b 与 a 的差为 bab (a). 即把向量 a 加到向量 b 上,便得 b 与 a 的差 ba.

  27. 向量与数的乘法: 规定 a 是一个向量,它的 模|a|||| a |, 向量 a与实数的乘积记作 a , 它的方向当>0时与 a 相同, 当<0时与 a 相反. 当0时,|a|0,即a为零向量, 特别地,当1时,有 1a a,(1) a a.

  28. 基本单位向量:以 分别表示沿 Z R M(x,y,z) Q O Y P X (3).向量的坐标表示及其加法 轴的正方向的单位向量,—称为基本单位向量 设向量 的始点在原点, 终点的坐标为 (如图), 利用向量的加法可得, 在 中, 而 ,又 所以得

  29. 上式称为向量 的坐标表示式. 由数与向量的乘积定义,得 故

  30. 利用向量的坐标进行向量的加减和数乘: , 则  {ax bx ,ay by ,az bz}.  {ax-bx ,ay- by ,az- bz}.  {ax ,ay ,az}.

  31. (4)向量的数量积 定义1 数量积也称为“点积”.

  32. 注:

  33. 数量积符合下列运算规律: (1)交换律: (2)分配律: (3)

  34. (5).两向量的向量积 // 定义 向量积也称为“叉积 注:

  35. // // 证: 向量积符合下列运算规律: (1) (2) (3)

  36. 向量积的计算公式

  37. 四. 平面与直线的方程 1.平面的方程 如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法向量. 法向量的特征: 垂直于平面内的任一向量. 已知 设平面上的任一点为 必有

  38. 平面的点法式方程 已知点 其中法向量 平面上的点都满足上面的方程,不在平面上的点 都不满足上面的方程. 上面的方程称为平面的方程,平面称为方程的图形.

  39. 2.直线的方程 (1)空间直线的一般方程 定义: 空间直线可看成两平面的交线. 此方程组空间直线的一般方程

  40. (2)空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量的定义: 如果一非零向量平行于一条已知直线, 这个向量称为这条直线的方向向量.

  41. 直线的对称式方程 令 直线的参数方程 得

  42. 例1 求其方程 解 所以交点为 取 所求直线方程

  43. 那么,方程 就叫做曲面 S 的方程, 五.曲面方程的概念和常用曲面的方程1,曲面方程的概念 曲面方程的定义: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 而曲面S就叫做方程的图形

  44. 坐标面是由坐标轴所确定的平面.以  坐标面为例 在该平面上任取一点,它的 坐标为0,即   ;反过来, 满足方程 的任一组解所对应的点 在 所以  坐标面的方程为 坐标面上, 坐标 坐标面的方程为 同样可以得到: 2,常用的曲面方程 1,坐标面的方程  面的方程为

  45. 2,球心在点 、半径为 的球面的方程. 是过点 方程 且平行于 坐标面的平面方程 类似地,

  46. 例1 面方程 解 根据题意有 所求方程为 特殊地:球心在原点时方程为

  47. 3,柱面的方程 平行于定直线并沿定曲线 移动的直 线L所形成的曲面称为柱面. 定义: 定曲线C叫柱面的准线 动直线L叫柱面的母线

  48. 柱面举例 平面 抛物柱面

  49. 柱面的特征: 角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面, 其准线为 xoy面上的曲线C (其他类推) 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面

  50. 六.空间曲线及其在坐标面上的投影 1.空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. ----空间曲线的一般方程 特点:曲线上的点都满足方程,满足方程的点 都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方 程

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