第八章     采样控制系统
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第八章 采样控制系统. 第一节 采样过程及采样定理概述. 第二节 保持器. 第三节 差分方程. 第四节 Z 变换. 第五节 脉冲传递函数. 第六节 线性系统的稳定性分析. 第七节 采样系统的稳态误差分析. 第八节 采样系统的暂态响应与脉冲传递 函数极点、零点分布关系. 第九节 采样控制系统的校正. 第十节 用 MATLAB 分析采样控制系统. 小 结. 一、控制系统中的信号分类. 1 、模拟信号 信号是时间的连续函数. 2 、离散信号 信号是时间上的离散序列. 3 、数字信号.

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Presentation Transcript

第八章 采样控制系统

第一节 采样过程及采样定理概述

第二节 保持器

第三节 差分方程

第四节 Z变换

第五节 脉冲传递函数

第六节 线性系统的稳定性分析

第七节 采样系统的稳态误差分析

第八节 采样系统的暂态响应与脉冲传递

函数极点、零点分布关系

第九节 采样控制系统的校正

第十节 用MATLAB分析采样控制系统

小 结


一、控制系统中的信号分类

1、模拟信号

信号是时间的连续函数

2、离散信号

信号是时间上的离散序列

3、数字信号

信号是时间上、幅值上离散序列


二、控制系统分类

1、连续系统

2、采样系统

3、计算机控

制系统


三、连续系统与采样控制系统

相同点:

1、采用反馈控制结构

2、都有被控对象、测量元件和控制器组成

3、控制系统的目的

4、系统分析的内容

不同点:信号的形式(采样器、保持器)

采样控制系统的优点:高精度、高可靠、有效抑制干扰、

良好的通用性

采样周期:是一个非常重要、特殊的参数,会影响系统

的稳定性、稳态误差、信号恢复精度!


第一节 采样过程及采样定理概述

一、采样过程

采样过程:按照一定的时间间隔对连续信号进行采样,将其变换为时间上离散的脉冲序列的过程。

理想脉冲信号发生器!!

T—采样周期

n—整数


采样过程的特点:

1、采样过程相当于一个脉冲调制过程

2、采样的输出信号可表示两个信号的乘积

决定采样时间

决定采样信号的幅值

采样过程可以看成是脉冲调制过程


二、采样定理

傅里叶级数展开

(参见附录C)

离散信号与连续信号频谱关系


离散信号频谱之一

连续信号频谱

频谱互不重叠的条件:

离散信号频谱之二


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

采样定理(SHANON定理):


第二节 保持器为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

信号的复现:

把采样信号恢复为原来的连续信号称为信号的复现。

理想滤波器

实现方法:

保持器

实际使用的方法:

零阶保持器(恒值外推)

保持器

一阶保持器(线性外推)


一、零阶保持器为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

零阶保持器的输入输出信号

主要特点:

1、输出信号是阶梯波,含有高次谐波。

2、相位滞后。


零阶保持器的单位脉冲响应为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即


零阶保持器的幅频特性为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

注意:

1、除了主频谱外,还有高频分量。

2、零阶保持器将产生相角滞后。


零阶保持器的近似实现为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

取前两项

取前三项


取前三项时用无源网络实现形式为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

更高阶的近似,使无源网络变得非常复杂。

一般不使用!!


二、一阶保持器为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

一阶保持器是一种按照线性规律外推的保持器。


一阶保持器的单位脉冲响应为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即


一阶保持器与零阶保持器比较为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

1、一阶保持器幅频特性的幅值较大,高频分

量也大。

2、一阶保持器相角滞后比零阶保持器大。

3、一阶保持器的结构更复杂。

一阶保持器实际很少使用!!


第三节 差分方程为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

保持器为零阶保持器

在该周期下,系统输出为

本系统差分方程!!


差分方程的定义为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

对于单输入单输出线性定常系统,在某一采样时刻的输出值 C(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有关,而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有关,还与过去的输出值c(k-1)、 c(k-2)…有关。可以把这种关系描述如下:

线性定常系统差分方程的一般形式

n—系统的阶次

n—系统的第k个采样周期


差分方程的递推求解为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即


F为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即(z)是

的Z变换

第四节 Z变换

一、Z变换的定义

对其进行拉氏变换:

此式称为采样函数 的Z变换。


二、为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即Z变换的方法

1、级数求和法

例8-1 求1*(t)的Z变换 。

例8-2 求 的F(Z)。


2为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即、部分分式法

例8-3 求解 的Z变换 。


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即8-4 求


3为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即、留数计算法

设连续函数f(t)的拉普拉斯变换F(S)及全部极点已知,则可用留数计算法求Z变换

当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为

当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即8—5求

的Z变换

解:


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即8—6求

的Z变换

解:

两阶重极点!!


常用函数的为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即Z变换


三、为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即Z变换的基本定理

  • 1、线性定理

  • 2、滞后定理

  • 3、初值定理

  • 4、终值定理

  • 5、超前定理

  • 6、复数偏移定理

  • 7、卷积和定理


  • 1为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即、线性定理

设:

则:

函数线性组合的Z变换,等于各函数Z变换的线性组合。

2、滞后定理

设在t<0时连续函数f(t)的值为零,其Z变换为F(Z)则

原函数在时域中延迟几个采样周期,相当于在象函数上乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节,把脉冲延迟k个周期。


3为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即、初值定理

存在,则

设函数f(t)的Z变换为F(z),并且

4、终值定理

设函数f(t)的Z变换为F(z),并且(1-z-1)F(z)在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点,则有

经常用于分析计算机系统的稳态误差!!


5为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即、超前定理

设函数f(t)的Z变换为

则:

则:

6、复数偏移定理

设函数f(t)的Z变换为F(Z),则


7为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即、卷积和定理

设:

为正整数,当n为负数时

式中:

则有:

式中:


四、为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即Z反变换

Z反变换是已知Z变换表达式F(Z)f(nT)的过程

只能求出序列的表达式,而不能求出它的连续函数!!

求解方法:长除法 、 部分分式法 、 留数法。

1、长除法(幂级数法)

要点:将F(Z)用长除法变化为降幂排列的展形式。


Z为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即反变换为

也即:

例8—7求

的Z反变换

解:


1.为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即部分分式法(因式分解法,查表法)

步骤:①先将变换式写成

,展开成部分分式,

②两端乘以Z

③查Z变换表


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即8—8求

的Z反变换

解:


3.为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即留数法 (反演积分法)

函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数

曲线C可以是包含F(z)zn-1全部极点的任意封闭曲线

若Zi为一重极点

若Zi为q重极点


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即8—9求

的Z反变换

解:

有两个一重极点


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即8—10求

的Z反变换

解:

有一个两重极点


第五节 脉冲传递函数为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

一、基本概念

脉冲传递函数的定义

采样系统的离散输出信号


根据脉冲响应来推导脉冲传递函数为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即


由卷积和定理,可得为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

系统的脉冲传递函数即为系统单位脉冲响应g(t)经采样后离散信号的Z变换,即

系统的响应速度越快,即其单位脉冲响应g(t)衰减越快,则相应的脉冲传递函数的展开式中包含的项数越少


二、开环系统脉冲传递函数为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

1、串联各环节之间有采样器的情况

G1(s)

G2(s)

脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之积。


2为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即、串联各环节之间无采样器的情况

G1(s)

G2(s)

没有采样开关分隔的两个线性环节串联时,其脉冲传递函数为这两个环节的传递函数相乘之积的Z变换。


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即8—11设

两个环节串联,分别求出中间有采样开关和无采样开关时系统的开环脉冲传递函数。

解:

两个环节中间有采样开关时

两个环节中间无采样开关时


三、采样系统的闭环脉冲传递函数为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即


闭环脉冲传递函数为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

误差脉冲传递函数

闭环采样控制系统的特征方程

对于单位反馈系统

闭环脉冲传递函数

误差脉冲传递函数


当采样系统中有数字控制器时为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即


有干扰信号的采样系统为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即


闭环系统脉冲传递函数为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关,因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的。


第六节 线性系统的稳定性分析为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

一、采样控制系统稳定的条件

(一)S平面和Z平面的映射关系

设复变量

S平面

Z平面


(二)线性采样系统稳定的充要条件为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

闭环脉冲传递函数

闭环系统特征方程

闭环系统稳定的充要条件


二、劳斯稳定判据为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

双线性变换法

Z和W均为复变量

讨论:

(1)W平面的虚轴

对应于Z平面单位圆


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即2)W平面的左半平面

对应于Z平面单位圆内

(3)W平面的左半平面

对应于Z平面单位圆外

W平面

Z平面


劳斯稳定性判据的应用为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

例8—12 设控制系统如下图所示

其中

采样周期为

求能使系统稳定的K1取值范围


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即:

系统开环脉冲传递函数

系统闭环脉冲传递函数

特征方程


整理可得为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即:

列写劳斯表


第七节 采样系统的稳态误差分析为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

一、稳态误差终值的计算

系统开环脉冲传递函数

误差脉冲传递函数

根据Z变换的终值定理可得在输入作用下采样系统的稳态误差终值为:


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即1)输入信号为单位阶跃函数

当采样系统为Ⅰ型系统时

当采样系统为Ⅱ型系统时


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即2)输入信号为单位斜坡函数

当采样系统为Ⅱ型系统时


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即3)输入信号为单位抛物线函数


二、稳态误差级数的计算法为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

连续系统的稳态误差级数计算


采样系统的稳态误差级数计算为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即8—13 设控制系统如下图所示

其中

采样周期为

求系统对于输入信号r(t)的稳态误差的级数表达式。


解:为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即


第八节 采样系统的暂态响应与脉冲传递为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

函数极点、零点分布关系

当输入为单位阶跃信号时,输出信号的Z变换


1为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即、当特征根为正实数时

发散

收敛

2、当特征根为负实数时

振荡发散

振荡收敛

3、当特征根为一对共轭复数


采样控制系统的主要性能指标为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

设采样系统的性能由一对主导复数决定,其它零点、极点忽略不计。

峰值时间:

最大超调量:


采样控制系统的根轨迹为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

例8—14 设采样控制系统的开环传递函数

试绘制此系统的根轨迹图并确定系统稳定的临界增益

解:

根轨迹的分支数 2

根轨迹的起点

根轨迹的终点

实轴上的根轨迹


分离点和汇合点为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

临界K值


第九节 采样控制系统的校正为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

采样系统的串联数字校正结构框图

一、最少拍采样控制系统的校正

拍的概念:一个采样周期称为一拍

最少拍采样控制系统:在典型信号作用下,经过最少的采样周期,系统的采样误差信号减少为零,实现完全跟踪。


单位阶跃为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

典型输入信号

单位斜坡

单位抛物线


系统误差为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

误差终值

为了实现无稳态误差,误差脉冲传递函数满足条件


C*(t)为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

T0

2T0

5T0

t

1、单位阶跃输入信号作用时


C*(t)为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

T0

4T0

t

2、单位阶跃输入信号作用时


C*(t)为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

t

T0

3T0

2、单位阶跃输入信号作用时


调整时间为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

典型输入

闭环脉冲传递函数

r(t)

R(z)

1(t)

t

2T0

3T0


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即8—15

设单位采样控制系统的框图如下:

试求在单位阶跃信号作用下最少拍系统的D(Z)。


解:为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

输入信号为单位斜坡信号,所以

加入校正装置后,最少拍系统的开环脉冲传递函数


C*(t)为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

T

2T

5T

t

若输入信号不是单位斜坡信号,而是单位阶跃信号,系统的输出信号的Z变换为:

调整时间:两拍

超调量:100%


最少拍系统的局限性为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

1、根据一种典型信号进行校正而得到的最少拍系统,往往不能很好适用其它形式的输入信号。

2、当G(Z)含有单位圆上或单位圆外的零点、极点时不能直接应用。

为保证闭环系统的稳定性

零点

极点


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即G(Z)含有单位圆上或单位圆外的零点、极点时,闭环脉冲传递函数选择的原则:

(1)用Φe(Z)的零点补偿G(Z)在单位圆上或圆

外的极点。

(2)用Φ(Z)的零点补偿G(Z)在单位圆上或圆

外的零点。

(3)G(Z)中常含有Z-1的因子,为了保证D(Z)能实现,要求Φ(Z)也必须有Z-1的因子。

所以

应该包含常数项1和Z-1


为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即8—16

设单位采样控制系统的框图如下:

试求在单位阶跃信号作用下最少拍系统的D(Z),以及系统暂态响应C*(t)。


解:为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

含有一个位于Z平面单位圆外的零点!!

输入信号为单位阶跃信号,所以


校正装置的脉冲传递函数为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即

加入校正装置后,最少拍系统的输出信号的Z变换

C*(t)

调整时间:两拍

超调量:100%

T

2T

5T

t


二、数字为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即PID控制器

(一)数字PID算法的位置型


数字为了使信号得到很好的复现,采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍,即PID控制器的脉冲传递函数


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