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梁的几何性质对变形的影响

F. F. 上节回顾. 梁的几何性质对变形的影响. F. F. 上节回顾. 几何性质对变形的影响. z. y. d A. z. y. O. 上节回顾. 1. 静矩. z. y. d A. y C. C. z C. z. y. O. 上节回顾. 形心与静矩的关系. S z = A y c. S y = A z c. 图形对一个轴的静矩，等于该图面积 与其形心坐标的乘积。. z. C. y. 上节回顾. 图形对形心轴 的静矩必为零. z. y. d A. z. y. O.

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梁的几何性质对变形的影响

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Presentation Transcript

  1. F F 上节回顾 梁的几何性质对变形的影响

  2. F F 上节回顾 几何性质对变形的影响

  3. z y dA z y O 上节回顾 1. 静矩

  4. z y dA yC C zC z y O 上节回顾 形心与静矩的关系 Sz= A yc Sy= A zc 图形对一个轴的静矩，等于该图面积 与其形心坐标的乘积。

  5. z C y 上节回顾 图形对形心轴 的静矩必为零

  6. z y dA z y O 上节回顾 2. 惯性矩 3. 惯性积

  7. z h y O z b y O d 上节回顾 当y，z 轴中有一轴为对称轴时， 图形对yz轴的 惯性积必为零 y，z 轴为主惯性轴

  8. h z b y O 上节回顾 4. 形心主惯性矩

  9. z z y O d O y D D 上节回顾 形心主惯性矩

  10. F F B A D C a a F C D B FQ A F Fa M B A D C 第六章 弯曲应力 §6.1 概述 一、纯弯曲与横力弯曲 纯弯曲 FQ = 0 M ≠ 0 , M=常量 如 CD 段 横力弯曲 FQ ≠ 0 M ≠ 0 如 AC , DB 段

  11. z Q y σdA z τdA y M 二、弯曲应力与内力的关系 弯曲正应力 σ 弯曲切应力 τ

  12. §6.2 纯弯曲梁横截面上的应力

  13. 纵线 横线 m n b b a a m n M n m M b b a a n m 纯弯曲梁：因 FQ =0 所以 τ = 0，σ ≠ 0 一、变形特点 纵线： 变为同心圆弧线； 凹侧缩短，凸侧伸长。 横线： 仍为直线，且垂直于纵线； 不同横截面相对转过一个角度。

  14. 纵线 横线 m n b b a a m n M n m M b b a a n m 二、平面假设 横截面在梁变形后 仍保持为平面，且与 变弯的轴线垂直， 只是绕截面上某轴 转动了一个角度。 ——对梁内部变形的推测

  15. 三、中性层，中性轴 • 中性层 弯曲变形过程中 长度始终不变的纵线 组成的层面。 意义：中性层将梁 分成两个区域： 凹侧缩短受压， 凸侧伸长受拉。 M M

  16. 2. 中性轴 中性层与横截面的交线。 意义——中性轴将横截面分成两个区域： 受拉区和受压区，而中性轴上的正应力为零。 弯曲变形可看作横截面绕自己的中性轴转动。

  17. 横截面 z O y y 四、纯弯曲正应力 z轴——中性轴 y轴——纵对称轴 y 坐标相同的点所在纵线 变形相同，因而应力相同， 所以 σ = σ(y)

  18. ρ dθ dx O O O′ y y 纵对称面 考察微段dx 的变形： O - O中性层，变形后为 O′- O′ ρ —— 中性层曲率半径 O′

  19. M M 1. 变形几何关系 b′b′的线应变 2.物理关系 当 σ ≤ σp 胡克定律 3. 静力学关系

  20. 可见，中性轴通过横截面的形心。 y是对称轴，这一条自动满足

  21. 中性轴 4. 弯曲正应力公式 记惯性矩 则 所以 弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴上为零， 距中性轴越远，数值越大。

  22. M 5. 最大正应力的计算 当 y = ymax , 有 σmax 式中 称抗弯截面系数 单位 m3

  23. h b z O 6. Iz 和 Wz 的计算 z

  24. y z O y d O z D D Iz 和 Wz 的计算

  25. 4 R 30 例1. 宽b=30mm,厚h=4mm的钢带，绕装在半径为R的圆筒上， 已知钢带的E=200GPa， σp=400MPa,要求钢带绕装过程中 的应力不超过σp，求圆筒的最小半径R. 解：

  26. §6.3 横力弯曲 正应力强度条件 1. 横力弯曲变形特点 截面翘曲——平面假设不成立

  27. 2. 横力弯曲正应力 采用纯弯曲正应力公式，当梁的跨高比 l／ｈ≥ 5时，误差 δ＜ 2 ﹪， 　　因此，对细长梁，无论纯弯曲还是横力弯曲， 横截面上的正应力都可用下式计算：

  28. 3. 弯曲正应力强度条件 注：⑴ 当〔σt〕≠ 〔σc〕, 应分别计算。 〔σt〕—— 许用拉应力 〔σc〕——许用压应力 ⑵ 型钢的Wz等参数应查表。 ⑶ 截面上下不对称应当用公式：

  29. 4.5 M (kN.m) 例2. 宽b=120mm,高h=180mm的矩形截面简支梁如图所示， 求跨中截面上a,b,c三点的正应力。 解：作弯矩图 c q=4kN/m 180 z 50 b a点： 3m a 120 b点： c点：

  30. 375 M (kN.m) 例3. 图示简支梁由56号工字钢制成，求危险截面上的最大正应 力σmax及同一截面上a点的正应力σa。 解：作弯矩图 166 F=150kN 560 A B C z 查型钢表： 5m 5m a 21 y a点：

  31. 200 40kN 200kN/m 30 y1= 48 C A B D z 160 y2=142 y 500 900 400 FA FC 30 例题 已知：Iz= 26.1×10－6 m4 , 〔σt〕=35 MPa, 〔σc〕=90 MPa 求：校核梁的正应力强度

  32. 40kN 200kN/m 200 C A B D 30 y1= 48 z 500 900 400 160 y2=142 FA y FC 30 7.15 M (kNm) 16 例题 解：1. 求支反力 FA=14.3 kN (↑) FC=105.7 kN(↑) 2. 内力计算 作弯矩图 MB=7.15 kNm, MC=－16 kNm

  33. 40kN 200kN/m 200 C A B D 30 y1= 48 z 500 900 400 160 y2=142 FA y FC 30 7.15 M (kNm) 16 讨论

  34. 40kN 200kN/m 200 C A B D 30 y1= 48 z 500 900 400 160 y2=142 FA y FB 30 7.15 M (kNm) 16 例题 3. 强度校核

  35. 40kN 200kN/m 200 C A B D 30 y1= 48 z 500 900 400 160 y2=142 FA y FC 30 7.15 M (kNm) 16 讨论 1. C 截面 σtmax１= 29.4 MPa, 并不是全梁最大拉应力。 2. B截面 σtmax= 38.9 MPa, 超过〔σt〕（=35 MPa） 11％，所以强度不够。

  36. 作 业 6-1 6-3 6-7 ６-12 再 见

  37. 作 业 6-8 6-11 6-21 再 见

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