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电路基础

电路基础. 第六章 动态电路的复频域分析. 上海交通大学本科学位课程. § 6.2 用拉氏变换求解电路响应. 欧姆定律的运算形式： 运算阻抗（导纳）. 在零状态下. 在 零状态情况下 的运算形式和符号形式是一样的，只要将 s →j  或 j  → s 即可。. 从以上情况看，直流电阻电路中的公式与复频域中的公式，在形式上完全一样。因此，可以很自然地想到，和符号电路一样，在直流电阻电路中的方法都能用到复频域的分析中来。. § 6.2 用拉氏变换求解电路响应. 电路分析方法的运算形式. ① 节点分析.

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  1. 电路基础 第六章 动态电路的复频域分析 上海交通大学本科学位课程

  2. § 6.2 用拉氏变换求解电路响应 • 欧姆定律的运算形式：运算阻抗（导纳） 在零状态下 在零状态情况下的运算形式和符号形式是一样的，只要将s→j或j→s即可。 从以上情况看，直流电阻电路中的公式与复频域中的公式，在形式上完全一样。因此，可以很自然地想到，和符号电路一样，在直流电阻电路中的方法都能用到复频域的分析中来。

  3. § 6.2 用拉氏变换求解电路响应 • 电路分析方法的运算形式 ①节点分析 其中 Yn为节点运算导纳矩阵，Un为节点电压列向量，Ins为节点初始值列向量，An为节点原始值列向量，元素ai 由电容电压CuC(0-)及电感电流 iL(0-)/s所决定，上述矩阵或列向量诸元素均为s 的函数。 ②网孔分析 其中 Zm为网孔运算阻抗矩阵，Im为网孔电流列向量，Ums为网孔电压源列向量，Bm为网孔原始值列向量，元素bi 由电感电流LiL(0-)及电容电压uC(0-)/s所决定，这些矩阵或列向量诸元素都是s的函数。

  4. § 6.2 用拉氏变换求解电路响应 ③回路分析 ④割集分析 • 戴维宁定理 在直流电阻电路中的电路定理，也适用于复频域 其中Zeq(s)是双零条件下(独立源置零，原始状态置零)的等值运算阻抗，受控源保留，Uoc(s)是独立源和原始状态共同作用下的端口开路电压。

  5. § 6.3 网络函数 • 网络函数的定义 • 网络函数的分类 1、驱动点函数 驱动点阻抗函数 驱动点导纳函数

  6. § 6.3 网络函数(分类) 2、转移函数 转移阻抗函数 转移导纳函数 转移电流比(电流放大倍数) 转移电压比(电压放大倍数)

  7. 网络函数的基本性质 § 6.3 网络函数(基本性质) 已知电路具有n+1个节点，电流源接于i 节点和参考节点之间，求 j 节点电压的节点方程 全响应 = 零状态响应 + 零输入响应 其中△n(s)=detYn(s)，△ij(s)为其代数余子式

  8. § 6.3 网络函数(基本性质) 节点运算导纳矩阵Yn(s)的元素是由G, sC,1/sL等组成(如有受控源,还可能包括gm)这些元素都是实数 一定是s的实系数多项式之比 初态为零时，零状态响应 其中P(s)，Q(s)，分别为s的实系数多项式

  9. § 6.3 网络函数(基本性质) • 任一网络函数只由电路本身的结构和元件参数所决定，与激励函数无关。 P(s),Q(s),分别为s的实系数多项式 • 任一网络函数都是复变量s 的实系数有限函数(是两个实系数多项式之比)。 网络函数的这一性质，使它具有如下形式

  10. § 6.3 网络函数(基本性质) 式中k=bm/an是一个实比例因子,zi 是分子多项式的零点，当 s = zi时，H(s)为零，称为网络函数的零点，pj 是分母多项式的零点，当s = pj 时，H(s)为无穷大，称为函数的极点。

  11. 网络函数和冲激响应 § 6.3 网络函数(和冲激响应 ) 若用N(s)表示网络函数，用H(s)表示冲激响应的ℒ即H(s)=ℒ[h(t)]，其中h(t)是电路在冲激信号(t)的作用下产生的零状态响应，那么根据网络函数定义有 或者说 ℒ-1[H(s)] = ℒ-1[N(s)]=h(t) 总之，网络函数等于冲激响应的ℒ，冲激响应就等于网络函数的ℒ反变换。

  12. § 6.3 网络函数(和冲激响应 ) 电路的性质取决于电路本身的结构和参数，冲激响应实为 t > 0的零输入响应，又是网络函数的 ℒ 反变换。因此，完全可以通过对网络函数极点的分析来判定电路的性质。 • 若网络函数的极点全部在s 的开左半平面上，则冲激响应随时间的增长趋于零，电路是渐近稳定的，因为在这种情况下 h(t)= ℒ-1[H(s)]=k1e-1tcos(1t+1)+ k2e-2tcos(2t+2) +… 其中 i>0, i=1,2, …

  13. § 6.3 网络函数(和冲激响应 ) • 若网络函数的极点有一个(实极点)或一对(共轭复极点)在s的开右半平面上，则冲激响应随时间的增长趋于∞,电路是不稳定的，冲激响应中含 k1e1tcos(1t+1)或 k2e2t • 若网络函数有位于j轴的多重极点,则无论其它极点位置如何，冲激响应都将随时间增长而趋无穷大，电路是不稳定的。因为与j轴上多重极点相对应，冲激响应中含有(k1+k2t+…)cos(1t+1)

  14. § 6.3 网络函数(和冲激响应 ) • 若网络函数的极点全部在闭左半平面上，且位于j轴上的极点都是单极点，则冲激响应随时间的增长趋于一恒定常量或等幅振荡，电路是稳定的或振荡的，与j轴上的单极点相对应，冲激响应中含有 k1cos(1t+1) 因此，对于一个稳定电路来说，它的任何一个网络函数的极点都不得位于s 的开右半平面上,在j轴上的极点必须是一阶的(无重极点)。

  15. § 6.3 网络函数(和冲激响应 ) • 对于一个渐近稳定电路来说，它的任何一个网络函数的极点都必须位于s的开右半平面上。 注意：同一对端钮的驱动点阻抗函数和导纳函数互为倒数，它们极零点互为倒置，因此，上面的结论也适用于它们的零点。 转移函数的零点则不受此限制。 网络函数极点的实部、虚部的变化与冲击响应的关系： 实部绝对值增大，衰减(增长)加快；虚部绝对值增大,振荡频率增大。

  16. 固有频率 网络函数是和零状态响应相联系的，固有频率是和零输入响应相联系的，固有频率反映了网络本身所具有的特性，是由网络本身的参数和结构所决定。但网络函数与固有频率并非毫无关系，通常由网络函数来确定固有频率较为简便。

  17. 网络变量的固有频率 在线性定常电路中，网络变量y的零输入响应方程的特征方程的根si各不相同，则零输入响应 称si为网络变量y的一阶固有频率。 若s1为特征方程的3重根，则零输入响应中将含有 零输入响应可表示为 则称s1为网络变量y的3阶固有频率

  18. 一般的零输入响应表达式为 称si为网络变量y的ri阶固有频率。 网络变量的固有频率确定该变量零输入响应的性质，从网络变量的固有频率也可知道网络是否稳定，主要看固有频率落在s平面上的位置，在开左半平面、开右半平面，在虚轴上等，若在j轴上有高阶固有频率或在右半平面上有固有频率，则网络是不稳定的，否则是稳定的。

  19. 网络的固有频率 网络中所有网络变量固有频率的集合，称网络的固有频率，即网络中任一变量的固有频率都是网络的固有频率。 已知节点分析方程为 零输入响应节点方程 其特征多项式△n(s)= det [Yn(s)]=0的非零根就是网络的非零固有频率，其中Yn(s)应是泛指的网络方程的系数矩阵，这种求网络固有频率的方法称系数矩阵法。 零输入响应 其中△ij(s)Ai(s)为网络方程系数矩阵Yn(s)的代数余子式。

  20. 若上式分子△ij(s)Ai(s)中正好有公因子和分母中的公因子(s-si) 相除，则网络变量中就不出现固有频率si，所以，在某些情况下，网络中的不同网络变量具有不同的固有频率。 右图中C1=C2=C3=1F，G1=G2=1S，设电容初始电压vC1(0)=V10 ，vC2(0)=V20而vC3(0)=V10-V20 由于C1，C2，C3构成回路，只有两个电容电压是独立的。零输入条件下的节点方程：

  21. 零输入条件下的节点方程 v1和v2都有-⅓和-1两个固有频率 v3只有-⅓一个固有频率，-1不是v3的固有频率，整个网络的固有频率集为{-⅓，-1}

  22. s1=-⅓，s2=-1，结果与上相同。

  23. 网络固有频率的个数 如上所述，若si是网络的固有频率，则网络中必有一个网络变量的零输入响应中含有 其中ki 的值由网络的初始状态决定，因此，网络如果有n个固有频率(k阶固有频率算作k个固有频率)，那么就有n个积分常数ki 需要由网络的初始状态决定。为此，网络中必须有n 个独立的具有初始状态的变量(电容电压或电感电流)，反之亦然。

  24. 结论 网络的固有频率数=网络的独立储能元件数 （或独立状态变量数） 这个数目也称网络的复杂度 网络中影响网络变量(电容电压或电感电流)的独立性的因素： ①无源RLC网络 若网络中不含全电容回路(全部由电容或由电容和独立电压源构成的回路), 则每个电容电压都是独立的，如果含有一个全电容回路，其中将有一个电容电压受其它电容电压的约束或电压源的制约。因此，如果网络中有nC个电容元件，同时含有lC个相互独立的全电容回路，则独立电容电压数=nC- lC

  25. 如果网络中不含全电感割集(全部由电感或由电感和独立电流源构成的割集) 则每个电感电流都是独立的，如果含有一个全电感割集，其中将有一个电感电流受其它电感电流的约束或受电流源的制约。所以，如果网络中有nL个电感元件，同时含有qL个全电感割集，则独立电感电流数=nL-qL 因此，无源RLC网络中，网络的复杂度，即网络固有频率个数为：n= nC+nL- lC- qL 前面例题中，有三个电容，且构成了一个全电容回路，所以网络的复杂度为2

  26. ②有源网络 网络中含有受控源或负值RLC元件，称有源网络。在有源网络中，全电容回路和全电感割集，仍然对电容电压和电感电流施加约束。另外，受控源和负值元件的作用也可能产生对电容电压和电感电流的约束。这种约束只有当网络元件取某一特定数值时才产生。

  27. 例 节点分析 (Cs+G)VC(s)=CvC(0-)-IC(s) 其中IC(s)=CsVC(s)-CvC(0-) 如果≠-1则有一个固有频率 如果= -1则VC(s)=0没有固有频率。

  28. 总之，无论在无源网络中还是在有源网络中，网络固有频率的个数至多等于网络中储能元件的总数，而就某一网络变量来说，其固有频率可能还要少些。值得指出，除某些特殊网络以外，在大多数网络中，不同的网络变量都具有相同的固有频率，这样，网络变量的固有频率和网络的固有频率也就没有什么区别了。

  29. 零固有频率 当网络某网络变量的零输入响应中含有ke0t=k，即常数项，称为零固有频率。 网络中出现零固有频率，就是网络变量的零输入响应中含有常数项。若该网络变量是电流的话，即电流是常量的话，只能想到电感。电感上的电压 因此，纯电感组成的回路满足这一情况。所以全电感回路电流的零输入响应中可有常数项。

  30. 若该网络变量电压，即电压是常量的话，也只能想到电容。电容中的电流 则组成割集的纯电容中没有电流流过，而可能有恒定的电压在电容上。所以纯电容割集电压的零输入响应中可以有常数项。 至于电感，除了其两端的电压恒为零的情况外，不可能是常量或为零。

  31. 网络中出现零固有频率只有以下两种情况才有可能： ①全电容割集(全部由电容或由电容和独立电流源构成的割集) ②全电感回路(全部由电感或由电感和独立电压源构 成的回路)

  32. 全电感回路中的恒定电流可以是其初始状态，也可以是与其构成回路的电压源在置零前提供的，全电容割集的恒定电压可以是其初始状态，也可以是与其构成割集的电流源在置零前提供的。 • 如果网络中含有qC个全电容割集和lL个全电感回路，则网络的零固有频率数n0=qC+lL • 在进行网络分析时，如能事先对网络的固有频率和网络变量的固有频率作出判断，有时会对分析求解带来方便。如网络具有某种对称性(例题中含三个电容的例子、电桥平衡电路)时，网络变量的固有频率可能不同；网络中具有零固有频率时，各网络变量的固有频率也不完全相同。

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