第 11 章弯曲变形

第11章弯曲变形

第11章弯曲变形 重点掌握内容： 1、计算梁在荷载作用下的变形问题 2、建立刚度条件 3、利用梁的变形解决超静定问题

P 第一节梁的变形和位移 1、挠曲线：在平面弯曲情况，梁变形后的轴线将成为xoy平面内的一条曲线。这条连续、光滑的曲线—梁的挠曲线。（弹性曲线）

yA 2、截面转角和挠度（梁弯曲变形的两个基本量）（1）挠度：梁变形后，横截面的形心在垂直于梁轴线（x 轴）方向上所产生的线位移，称为梁在截面的挠度。 P 一般情况下，不同横截面的挠度值不同。横截面挠度随截面位置（x 轴）而改变的规律用挠曲线方程表示。即：符号：挠度向下为正，向上为负。单位：mm

P A yA A A （2）转角：横截面绕中性轴所转过的角度。由梁弯曲的平面假设可知：梁的横截面变形前垂直于轴线，变形后仍垂直于挠曲线。 A：曲线OAB在A点的切线与X轴间的夹角。符号：转角从X轴逆时针转至切线方向为正，反之为负。单位：弧度

P A yA A A （3）截面挠度与转角的关系挠曲线的斜率：工程中由于是小变形， 极小。可用：注：挠曲线上任意点处切线的斜率等于该点处横截面的转角。

弹性曲线的小挠度微分方程 力学公式数学公式此即弹性曲线的小挠度微分方程

y y y y y y 挠曲线近似微分方程

挠曲线近似微分方程 积分一次：再次积分：积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。边界条件和连续光滑条件：梁上某些横截面处位移为已知的条件。

B A x L-x yB L B/ B 第二节用积分法求弯曲变形例题1：求该悬臂梁的最大挠度和转角解： P 建立坐标、写弯矩方程积分一次：再次积分：

B A x L-x yB L B/ B 利用边界条件确定积分常数：

例题2：求该简支梁的最大挠度和转角 建立坐标、写弯矩方程解：代入挠曲线近似微分方程：积分一次：再次积分：

利用边界条件确定积分常数：

p B A C x x L/2 L/2 例题3：求该简支梁的最大挠度和转角解：建立坐标、写弯矩方程

积分一次：再次积分：利用边界条件确定积分常数：

转角 挠度

第三节用叠加法求弯曲变形 * 叠加法：当梁上同时作用几个荷载时，在小变形情况下，且梁内应力不超过比例极限，则每个荷载所引起的变形（挠度和转角）将不受其它荷载的影响。即：梁上任意横截面的总位移等于各荷载单独作用时，在该截面所引起的位移的代数和。

P2 P1 P2 P1 = B B B + yB1 yB2 yB * 荷载叠加：将作用在梁上的荷载分解成单个荷载，利用单个荷载作用下梁的挠度和转角的结果进行叠加，就可求得梁在多个荷载作用下的总变形。

y1 P P P PL1 = + A B C A B B C A C y L2 L1 L1 L2 L2 L1 1  * 逐段刚化法：将梁分成几段，分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移，然后计算其总和。即：考虑某段梁的变形时，将其它梁段视为刚体，在利用外力平移计算其它梁段的变形，最后叠加。例题4：求最大挠度和转角

y/3 P y/2 PL1 + = PL1 B A C L1 L1 L2 L2 L1 L2 P y//2 P y//3 P 2 PL1 3 = + A B C A B B C A C y L2 L1 L1 L2 L2 L1 

P A B C y L2 L1 

例题5：求：梁跨中点处的挠度。已知：抗弯刚度EI例题5：求：梁跨中点处的挠度。已知：抗弯刚度EI 解：

P B C A L a P A B y1 a P Pa B A C y2 a L 例题6：已知简支外伸梁抗弯刚度EI。试求：A点挠度解：

第四节提高梁刚度的一些措施 1、刚度条件：

P2 P1 B A C a L/2 L/2 P2 A B y1 P1 B A C y2 例题7：已知：P1=2KN，P2=1KN。L=400mm，a=100mm，外径D=80mm，内径d=40mm，E=200GPa，截面C处挠度不超过两轴承间距离的10-4，轴承B处转角不超过10-3弧度。试校核该主轴的刚度。

P2 P1 B A C a L/2 L/2 P2 A B y1 < P1 B A < C y2 满足刚度条件

2、提高梁刚度的措施 注：梁的变形不仅与荷载、支承有关，而且与材料、跨度等也有关。（1）提高梁的抗弯刚度 EI 对弹性模量来说，即使采用高强合金钢也只是增加了许用应力，但 E 值比较接近，（提高梁的抗弯强度的措施）。要增加梁的抗弯刚度还是需要考虑横截面的惯性矩。

梁的变形与横截面的惯性矩成反比，增加惯性矩可以提高梁的抗弯刚度。（与提高梁的抗弯强度的办法相类似）为提高梁的强度可以将梁的局部截面惯性矩增加，即采用变截面梁。但对提高梁的刚度收效不大。梁的最大正应力只与最大弯矩所在截面有关，而梁在任意指定截面处的位移则与全梁的变形有关。要提高梁的刚度，必须使全梁的变形减小，因此应增大全梁或大部分梁的截面惯性矩

（2）调整跨度 提高抗弯刚度方法： * 调整支承—外伸梁 * 增加支承—超静定

转角 挠度

第五节简单超静定梁 超静定梁：可减小变形，降低梁内最大弯矩。例题8：试求：图示梁的约束反力 EI 为已知。解：（1）选取静定基：去掉荷载及多余约束使原超静定结构变为静定的基本系统—静定基。

（2）得相当系统 将荷载及代替支坐的多余约束反力重新作用在静定基上而得到的系统—相当系统（3）列变形协调方程将相当系统的变形与原系统的变形相比较，列变形协调方程。变形协调方程

变形协调方程 （4）列补充方程列出力与变形间物理方程补充方程（5）列静平衡方程

C q L/2 A B B/ L q RB 例题9：已知：荷载q，梁AB的抗弯刚度为EI、杆BC的抗拉压刚度为EA。试求：BC 杆内力解：（1）选取静定基（2）得相当系统（3）将相当系统变形与原系统比较，得变形协调方程：

C q L/2 A B B/ L q RB

q A B C L/2 L/2 q y1 ql/2 ql2/8 C A B y2= yp + yM y3=(P + M)L/2 例题10：悬臂梁受力如图。试用叠加法计算ymax 解：采用逐段刚化法首先将AB段视为刚体，研究BC段变形：再将BC段视为刚体，通过外力平移，研究AB段变形：

q A B C L/2 L/2 q y1 ql/2 ql2/8 C A B y2= yp + yM y3=(P + M)L/2

q A B C L/2 L/2 q A B A C C B q L/2 L/2 L/2 L/2

wE 2 wE 1 B´ 叠加法应用于弹性支承与简单刚架用叠加法求AB梁上E处的挠度 wE wB=? wE = wE 1+ wE 2= wE 1+ wB/ 2

wB= wB1+ wB2+ wB3

叠加法斜弯曲梁的位移 ? =

习题1：已知：P 、a、EI 。试求（1）C截面的挠度，（2）若a=3m，梁的[]=160MPa，矩形截面为： 50120mm。求：[P]=？ P A B C 2a a P B A C P RB B C P A Pa C B RB 解：一次超静定选取静定基得相当系统得变形协调方程：荷载叠加：求B点挠度补充方程

P A B C 2a a Pa M - P + A Pa C B RB 梁上荷载已全部已知，下面求C截面的挠度（2）求许可荷载强度条件：

习题2：已知：EI为常数，受力如图所示。 试求：梁的支反力，并画Q、M图。 q A C B a a q RB A B C RB/ + - - - + 解：二次超静定选取静定基得相当系统得变形协调方程： 13qa/16 3qa/16 5qa2/16 3qa2/16

习题3：图示结构，悬臂梁AB和简支梁GD均由N018工字钢习题3：图示结构，悬臂梁AB和简支梁GD均由N018工字钢制成，BC为圆截面钢杆，直径d=20mm，梁和杆的弹性模量均为：E=200GPa，若P=30KN。试求（1）梁和杆内 max ，（2）横截面C的垂直位移。 A B C G D P 2m 2m A B RB RB/ C G D P 解：一次超静定选取静定基得相当系统得变形协调方程：由于很小，为方便计算可略去

A B C G D P 2m 2m A B RB RB/ C G D P

习题4：两悬臂梁间有一滚柱以实现弹性加固，受力情况习题4：两悬臂梁间有一滚柱以实现弹性加固，受力情况如图。AB梁抗弯刚度为EI，DC梁抗弯刚度为2EI。试求：经过滚柱所传递的压力。 P A 得相当系统 B C D 得变形协调方程： L/2 L/2 P P PL/2 RC RC 解：一次超静定选取静定基

P M A C L/2 L/2 习题5：悬臂梁受力如图。已知：M、EI、L为常数。求：使C=0时，P=？，并求此时的yC 解：

P EI1 P P M a A A A y2 y1 x b EI2 x y 习题6：试用叠加法计算刚架由于弯曲在A截面引起的垂直位移及水平位移

第 11 章弯曲变形