Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации

1. Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации

2. Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации С2 Подготовка к ЕГЭ Учитель математики МБОУ «СОШ №78» ЗАТО СЕВЕРСК Якимович Наталия Михайловна МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»

3. N 6 5 Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой BC1 и плоскостью A1BC, если AA1 = 12, AB = 6, BC= 5. D1 С1 Угол между наклонной и плоскостью – это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. А1 B1 наклонная 13 проекция D a C 5 5 A 6 B МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»

4. C1 12 6 D1 N C 6 6 5 5 Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой BC1 и плоскостью A1BC, если AA1 = 12, AB = 6, BC= 5. Найдем C1N, выразив два раза площадь треугольника DCC1. D1 6 A1 B1 N 12 наклонная 13 12 проекция D a C 5 5 A B МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»

5. 12 5 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой BC1 и плоскостью A1BC, если AA1 = 12, AB = 6, BC= 5. D1 6 C1 A1 B1 N 12 наклонная 13 12 проекция D a C 5 5 A B

6. Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации Замечание: искомый угол можно записать, используя другие аркфункции: Возможны другие решения. Например, решение задачи с использованием векторов или метода координат. МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»

7. a - искомый угол 1) Из АВD: M K 2 части Можем найти его из МKN. Но надо найти два элемента из этого треугольника. D a N 600 1 часть С2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB = , SC=2 . Найдите угол, образованныйплоскостью основания и прямой MN, где M – середина ребра AS, а N – делит ребро BC в отношении 1:2. S С A B

8. M 4) Найдем AK: 5) Найдем KD: O 2 части D a N 600 1 часть 2. Построим высоту SO. Точка О – точка пересечения биссектрис, медиан и высот правильного треугольника. Применим свойство медиан: S 3. По теореме Фалеса: Две прямые перпендикулярные к плоскости (АВС) параллельны: MKII SO. М – середина SА, значит и точка K – середина АО С A K B

9. D K N M тогда 7) Из МKN найдем тангенс искомого угла Из KDN: 6) Из МАK по теореме Пифагора найдем MK: O D a 3 N 2 600 3 3 ? S С A K =3 2 части 1 часть B

10. E D 3 2 F C 2   a B A O 1 1 2 2 MO – средняя линия треугольника SFC. MO = SF В правильной шестиугольной пирамиде SАВСDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SF и BM, где М – середина ребра SC. S 2 M 1 1 E D F R6 = a C O 1 1 К 1 A 1 B

11. 2 3 2 3 2  a M a 1 Рассмотрим треугольник OBM. Чтобы найти угол М, составим теорему косинусов для стороны ОВ. O 1 B S 2 M 1 1 E D F C O 1 1 A 1 B

12. M ? B B Тогда по теореме Фалеса: если АМ=МР, то PK=KO. Значит, отрезок МК средняя линия АРО. BM BK MK II AO AO PO MK PO  M 1 1 K 1 2 2 a 1 2 2 4 2 1 Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD c вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M ― середина бокового ребра пирамиды AP. Угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и ее проекцией. Очевидно, что плоскости АРС и DPB перпендикулярны. РО – линия пересечения плоскостей. Опустим перпендикуляр из точки М на РО. P C D проекция наклонная O A B Если не дано ребро, то можно обозначить его буквой или взять за «1»

13. МК перпендикуляр к плоскости DBP, значит, МК будет перпендикулярен к любой прямой, лежащей в этой плоскости. MK KB MK DBP  M 1 1 K 1 2 2 a 1 2 2 3 2 4 2 1 P C D O A B

14. 8 K M 8 В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ1 взята точка К так, что В1К=8. Найдите расстояние от точки А1 до плоскости D1MK D1 C1 1). Построим сечение призмы плоскостью D1MK. F 2). MK, т.к. точки M и K лежат в одной плоскости. MD1, точки лежат в одной плоскости. B1 A1 21 3). Строим KF II MD1, т.к. эти отрезки сечения лежат в параллельных гранях. D C 4). FD1, т.к. точки лежат в одной грани. A 12 B 5) Через точку А надо построить плоскость, перпендикулярную плоскости D1MK. Затем мы опустим перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей .

15. 7) D1LMK, N п-я 8 K L M 8 Т Т П D1LMK A1LMK н-я п-я D1LA1 – линейный угол двугранного угла A1MKD1 В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ1 взята точка К так, что В1К=8. Найдите расстояние от точки А1 до плоскости D1MK D1 6) Построим линейный угол двугранного угла A1MKD1 (MK – ребро двугранного угла) C1 п-р F B1 A1 D1L является наклонной к плоскости ABB1. н-я 21 D1A1 –перпендикуляр к плоскости ABB1 A1L –проекция отрезка D1L на плоскость ABB1. D C Применим теорему о трех перпендикулярах. A 12 B Попробуем сделать чертеж более наглядным. Опрокинем призму на грань ABB1A1

16. 8 K M 8 21 В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ1 взята точка К так, что В1К=8. Найдите расстояние от точки А1 до плоскости D1MK C1 1). Построим сечение призмы плоскостью D1MK. C 2). MK, т.к. точки M и K лежат в одной плоскости. MD1, точки лежат в одной плоскости. D1 3). Строим KF II MD1, т.к. эти отрезки сечения лежат в параллельных гранях. F D 12 B1 4). FD1, т.к. точки лежат в одной грани. B 5) Через точку А надо построить плоскость , перпендикулярную плоскости D1MK. Затем мы опустим перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей . 12 A1 A

17. Плоскость линейного угла (A1LD1) перпендикулярна каждой грани двугранного угла: Строим перпендикуляр из точки А на D1L в плоскости А1LD1. A1LD1D1MKD A1LD1ABС1, 7) D1LMK,  8 K N L п-я M 8 Т Т П D1LMK A1LMK 21 н-я п-я D1LA1 – линейный угол двугранного угла A1MKD1 В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ1 взята точка К так, что В1К=8. Найдите расстояние от точки А1 до плоскости D1MK 6) Построим линейный угол двугранного угла A1MKD1 (MK – ребро двугранного угла) C1 C D1L является наклонной к плоскости ABB1. D1 D1A1 –перпендикуляр к плоскости ABB1 F D 12 A1L –проекция отрезка D1L на плоскость ABB1. н-я B1 п-р Применим теорему о трех перпендикулярах. B 12 A1 A

18. 8 K B1 13 L 12  8 K A1 Z M N L ИзKZM, по теореме Пифагора: KM2 = KZ2 + ZM2; KM2 = 122 + 52; KM2 = 169; KM = 13. M 8 Из A1D1L: KZM = A1LM, по гипотенузе и острому углу. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ1 взята точка К так, что В1К=8. Найдите расстояние от точки А1 до плоскости D1MK 8 C1 C 12 D1 ? 12 12 12 12 F D 5 B1 B a ? KZ = A1L = 12, 12 12 A1 13 13 A 21

19. Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации С2 • Используемые ресурсы: • Смирнов В.А., Семенов А.А., Ященко И.В. ЕГЭ-2013. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. Рабочая тетрадь. Издательство МЦНИО. 2013г.; • Тексты задач Стат Град и ЕГЭ- сайт Александра Ларина. http://alexlarin/net/ege11.html • Сайт ЕГЭ-тренер, видеоуроки Ольги Себедаш. http://www.egetrener.ru/view zadachi=C2 МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»