Axiomatique de Bachmann

Axiomatique de Bachmann Illustrations elliptiques et hyperboliquesavec Cabri-géomètre Yves Martin IUFM de La Réunion martin@univ-reunion.fr Montréal - 15 juin 2001

Axiomatique de Bachmann avec Cabri • Bref historique de la géométrie absolue depuis Lobatchevsky et Bolyai • Familiarisation des modèles des G.N.E. • Axiomes et premiers théorèmes • Théorèmes sur les faisceaux • Les différentes géométries • Plongement dans un modèle projectif

La théorie des parallèles (1829) • Les droites sont : • sécantes • parallèles • ayant une perpendiculaire commune • Il existe • un objet spécifique • Les horicycles

La science absolument vraie de l’espace (1832) Si le V° postulat d’Euclide est supposé faux, alors la quadrature du cercle est possible

Géométrie différentielle (1828) Courbure intégrale Géodésiques Géométrie intrinsèque des surfaces

Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie (1854) Géométrie elliptique sur la sphère Variétés différentielles

Essai d’interprétation de la géométrie non euclidienne (1868) La géométrie sur les surfaces à courbure constante négative sont localement des plans de Lobatchevsky

Construction du premier modèle hyperbolique plan (1869)

Classification des Géométries (1871) Il existe trois types de géométrie projective à courbure constante : • Elliptique • Euclidien • Hyperbolique

Le programme d’Erlangen (1872) L’objet de la géométrie : « Étant donné une multiplicité et un groupe de transformation, développer la théorie des invariants par rapport à ce groupe »

Les fondements de la Géométrie (1899) • Construction catégorique de la géométrie plane euclidienne • Indépendance des axiomes (par groupe) • Causalité des propositions : introduction d’autres géométries (non arguésienne, non archimédiennes, legendrienne …)

Une classification des géométries

Empirisme et intuition chez Hilbert "Nous pensons trois systèmes différents de choses; nous nommons les choses du premier système des points; ...; nous nommons droites les choses du deuxième système...; nous appelons plans les choses du troisième système … Entre les points, les droites et les plans, nous imaginons certaines relations que nous exprimons par des expressions telles que être sur, entre, congruent; la description exacte et appropriée au but des mathématiques de ces relations est donnée par les axiomes de la géométrie.

Empirisme et intuition chez Hilbert Pour Hilbert, et pour tous les mathématiciens semble-t-il, l'énoncé des axiomes de la géométrie se fonde sur lespropriétés intuitivesdes points, droites etc . On pourrait dire que c'est la position d'Euclide et interpréter en partie, l'histoire des débats sur les fondements de la géométrie commel'histoire d'une défiancede plus en plus grandevis à vis des vérités appuyées sur l'intuition de l'espace, mais qui aboutit à laconstatation qu'on ne peut pas s'en passertotalement.

Les modèles euclidiens conformes (1901)

L’après Hilbert 1905 - Hessenberg • Caractère arbitraire de la notion de parallélisme • Théorème d’antiappariement • Preuve de Pappus dans les plans métriques non euclidiens

L’après Hilbert 1907 - Hjelmslev • Premier travail sur les faisceaux • Théorème fondamental des plans métriques • Notion de demi-rotation pour le plongement projectif

L’après Hilbert 1924 - Geiger Première définition axiomatique de la géométrie 1933 - Thomson Première tentative de présentation algébrique de la géométrie euclidienne à partir des symétries 1943 - Arnold Schmidt Extension du travail précédent aux cas non euclidiens 1959 - Friedrich Bachmann Algébrisation ultime de la géométrie absolue plane

Propriétés de la géométrie elliptique • Non orientable

Propriétés de la géométrie elliptique • Non orientable • Notion de pôle et de polaire

Propriétés de la géométrie elliptique • Non orientable • Notion de pôle et de polaire • Le médiateur de deux points est la réunion de deux droites

Préambule à l’axiomatique de Bachmann Lecture algébrique des propriétés euclidiennes Point et orthogonalité Incidence Composition de 3 symétries - axes sécants Composition de 3 symétries - axes à perpendiculaire commune

L’environnement des axiomes de Bachmann On considère un groupe G noté multiplicativement, d'unité 1, et on note ∆ un ensemble générateur maximal pour ces deux propriétés : Tous les générateurs sont d'ordre 2 L'ensemble des générateurs est globalement stable par conjugaison. Dans toute cette présentation de l'axiomatique de Bachmann, on désignera : Par | la relation : le produit est d'ordre 2 Ainsi a | b signifie (ab)2 = 1 ou encore ab=ba. (et ab ≠ 1) De même P | a signifie (Pa)2 = 1 ou encore Pa = aP • Par une lettre minuscule grecque un élément de G, appelée une isométrie. • Par une lettre minuscule latine un élément de . • Par une lettre majuscule latine le produit de deux éléments de  quand ce produit est d’ordre 2. Le groupe G opère naturellement par conjugaison sur lui-même, et donc en particulier sur . L'action d'un élément g de G sur un élément a a pour résultat gag-1 et se notera dans la suite ag. On choisit de noter P, Q | a pour signifier P | a et Q | a. De même on écrira P, Q | a, b pour exprimer P, Q | a et P, Q | b. En particulier : si a | b alors ab = a et ba = b. De même si P | a alors Pa = P et aP = a.

Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants : Axiomes d’incidence On appelle droite les éléments de ∆. Axiome 1 : Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h On appelle point le produit de deux droites quand ce produit est d'ordre 2 Axiomes des trois symétries Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d On dira que deux droites g et h sont orthogonales si g | h. Elles sont alors distinctes. Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d On dira qu’un point P et une droite g sont incidents si P | g. Axiome d'existence d'un plan Si g | h alors le produit gh est un point Pincident à g et à h. Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h , j F g, j F gh.

Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants : Axiomes d’incidence Étant donnés deux points il existe une droite qui leur est incidente. Axiome 1 : Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h Axiomes des trois symétries Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d Si deux points sont incidents à deux droites, alors soit les points, soit les droites sont confondues Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d Axiome d'existence d'un plan Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h , j F g, j F gh.

Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants : Axiomes d’incidence Si trois droites sont concourantes en un point, leur produit est une droite Axiome 1 : Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h Axiomes des trois symétries Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d Si trois droites ont une droite orthogonale commune, leur produit est une droite Axiome d'existence d'un plan Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h , j F g, j F gh.

Le couple (G, ∆) est une géométrie de Bachmann si il vérifie les axiomes suivants : Axiomes d’incidence Axiome 1 : Pour tout P et tout Q, il existe g tel que P, Q | g Axiome 2 : Si P, Q | g, h alors P = Q ou g = h Axiomes des trois symétries Dans cette géométrie, il existe un triangle rectangle Axiome 3 : Si P | a, b, c alors il existe d tel que abc = d Axiome 4 : Si g | a, b, c alors il existe d tel que abc = d Axiome d'existence d'un plan Axiome P : Il existe g, h, j tel que g | h et j F h , j F g, j F gh.

Action des isométries L'action d'un élément g de G sur un élément a a pour résultat gag-1 que l’on a noté ag. De par les propriétés de G, les isométries : • • Transforment les droites en droites • Transforment les points en points • Conservent l’incidence et l’orthogonalité Droites invariantes par l’action d’une droite • Soit u et a deux droites. • Si a = u, alors uau = a, et donc au = a. • Sinon uau = a ssi (ua)2 = 1 ssi u | a. Autrement dit, les seules droites a globalement invariantes par l'action de usont la droite u elle-mêmeet toutes les droites a orthogonales à u.

Pôles et polaires Le système d’axiomes n’empêche pas de rencontrer la situation où trois droites a, b et c sont telles que abc = 1. ab = c a | b a et b orthogonales ab = c = C Dans le cas où abc = 1, les droites sont deux à deux distinctes, et chacune égale au point incident aux deux autres.

Poles et polaires -Conséquence pour l’incidence Le système d’axiomes n’empêche pas de rencontrer la situation où trois droites a, b et c sont telles que abc = 1. Quand C = c, on a bien-sûr C | c. Toutefois, pour éviter qu'un point soit incident à lui-même, on ne dit pas que C et c sont incidents. Ainsi la définition sur l'incidence que l'on retiendra sera désormais : (P est incident à a) ssi (P | a et P ≠ a). On écrira P I a.

Faisceaux Trois droites a, b, et c sont dites en faisceaux si la composée des trois abc est une droite. Pour trois droites, "être en faisceau" est indépendant de l'ordre. L'axiome 3 veut que si trois droites sont incidentes à un point alors elles sont en faisceau. On parle de faisceau à centre. De même l'axiome 4 veut que si trois droites sont orthogonales à une droite donnée, alors elles sont en faisceau. On parle de faisceau à axe. La notion est plus générale que ces deux cas particuliers. Quand l'un de ces deux cas n'est pas satisfait, on parle de faisceau sans support.

Premières conséquences (incidence et orthogonalité) Tout point P est le produit de toute paire de droites orthogonales incidentes à P. Il y a équivalence entre l’orthogonalité de trois droites prises deux à deux et le produit des trois égal à 1. Il existe toujours (au moins) une perpendiculaire à une droite incidente à un point donné De plus il y a unicité de cette droite si le point n’est pas le pôle de la droite. Toute droite d’un plan de Bachmann est incidente à au moins trois points

Premières conséquences (incidence et orthogonalité) Toute droite d’un plan de Bachmann est incidente à au moins trois points

Premières conséquences (axiomes des 3 symétries) Dans l’axiome 3 le produit d= abc est aussi incident à P. Dans l’axiome 4 le produit d= abc est aussi orthogonal à l’axe g. Réciproque de l’axiome 3 : Soit P un point incident à deux droites distinctes a et b, et soit c une droite telle que abc soit une droite, alors P | c. Réciproque de l’axiome 4 : Soit g une droite orthogonale à deux droites distinctes a et b, et soit c une droite telle que abc soit une droite, alors g | c.

Théorème fondamental (Théorème de Hjelmslev) AbC est une droite ssi il existe une droite v telle que v | A, b, C aBc est un point ssi il existe une droite v telle que v | a, B, c Le théorème de Hjelmslev : Soient, a, a', b, c, c' cinq droites telles qu aa' = A, cc' = C, avec A et C distincts et telles que abc soit une droite d. Alors a'bc' est une droite si et seulement si d | (AC).

Conséquence constructive : 1 - la droite d = abc Le principe avec Cabri : Soit M un point sur objet de b, N et P sur a et c respectivement, telles que (MN) | a et (MP) | c. La droite d cherchée est la (une ?) perpendiculaire à (NP) appartenant au faisceau.

Conséquence constructive : 1 - la droite d = abc Le principe avec Cabri : Soit M un point sur objet de b, N et P sur a et c respectivement, telles que (MN) | a et (MP) | c. La droite d cherchée est la (une ?) perpendiculaire à (NP) appartenant au faisceau. Il convient de savoir construire la perpendiculaire à une droite donnée appartenant à un faisceau donné, ce qui ne pose aucun problème dans les modèles utilisés

Conséquence constructive : 2 - Droite de F(a’b’) par P Le principe avec Cabri : a' et c' étant deux droites distinctes, on construit les deux perpendiculaires a et c aux droites a' et c' respectivement, passant par P. Notons alors A = aa' et C = cc'

Conséquence constructive : 2 - Droite de F(a’c’) par P Le principe avec Cabri : a' et c' étant deux droites distinctes, on construit les deux perpendiculaires a et c aux droites a' et c' respectivement, passant par P. Notons alors A = aa' et C = cc' Si A = C, alors A | c' et la droite a convient. Si A et C sont distincts, soit d la (une) perpendiculaire à (AC) issue de P. Alors adc est une droite b passant par P et telle que abc = d. D'après le théorème fondamental b est la droite cherchée car a'bc' est une droite.

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