第二章转子的临界转速

第二章 转子的临界转速

转子的振动问题是影响机组能否长期安全运行 的决定性因素，一旦发生大的振动，就要影响生产，甚至被迫停产，造成巨大的经济损失，可见，如何设计出具有良好振动特性的转子是设计人员在设计阶段必须做好的一项十分重要的工作。

第一节 基本概念造成振动的原因是复杂的，多方面的，其中一个重要的其危害性最大的方面就是“临界转速”的问题。有一个圆盘转子，如图所示：

由于加工的原因，转子的质心与其几何轴线心不完全重合，产生的偏心（距）为e，转子质量为M，以角速度 旋转，产生的离心力为P，使轴挠曲，圆盘处挠度为y，由力的平衡有：（3-1）式中： ——质量偏心距（质心到几何中线心的距离） ——转子的固有频率（弯振频率）由上式可知： 1）若质量偏心 =0（理论而言），那么在一般转速（也即一般）下，转轴无挠度，y=0，即不发生弯曲。

2）若 =0，但 时（即转子在临界转速下运转）则此时可能任意值（即发生弯曲）在这三种情况的无穷多个值中，的机会只有一个。所以由此说明：在质量完全匀布而无质量偏心时即 =0 时，转子只有以运转时，转子才会发生挠曲，即弯曲，而且y值有可能很大。

3）当（即存在质量偏心时），若 ，则y值会很大，甚至当时都会使y值很大。 4）以上2）、3）说明，转子不能在临界转速下工作，否则转子会因弯曲过大而折断。 5）式（3-1）也说明，质量偏心e的大小并不影响临界转速的数值，它们是互相独立的二个参数。也就是说存不存在临界转速以及它的大小如何，与存不存在质量偏心无关。但是，偏心严重影响振幅y的大小。它说明加工和平衡都不好的转子，由于其偏心过大，即使其工作转速远离临界转速，由于振幅y大，转子也会发生强烈的振动。反之，若加工和平衡都做得很好的转子，只要保证工作转速不等于临界转速，即使工作转速很接近临界转速，转子也能良好运转。

6）行业规定，为安全起见，应该有： ——此状态下的轴称为刚轴 ——此状态下的轴称为柔轴。

第二节 等直径轴的临界转速讨论：无圆盘、等直径光轴的临界转速以及轴弯曲振动的形式假设：无质量偏心即 = 0，轴的临界角速度为

（1）由材料力学知：轴挠曲时，轴上任意一截面弯矩方 • 程为： • （A） • （2）目前状态下，轴单位长度所受的载荷就是轴单位长 • 度的质量所产生的离心力： • （B）（3）又由材料力学知：沿轴长度弯矩的二次导数，等于轴单位长度所受的载荷，即：（C）

（4）由（A）（B）（C）得： 令常数项的组合：得到：（3-2）上式的通解为：

（3-3） 系数（常数）C1、C2、C3、C4由边界条件决定。对两端铰支座（一般滑动轴承相当于这种情况），边界条件为： A）当x=0时， B B）当x=l时， C）当x=0时， D）当x=l时，最终解得：

（1）有显然，对正弦函数，当 时，上式可满足，i为任意整数（i=1，2，3，……），因为前面令有，现又得到，所以有：（3-5）式中： ——为整个轴得质量，

由上式可知： （A）一个转子的临界转速不是一个，而是无限多个。（B）第一阶振动时的临界转速称为第一临界转速，；第二阶振动时的临界转速称为第二临界转速，；余依次类推。（C）行业一般要求（为安全起见）：（2）（3-4）可见：轴的振动弹性线为正弦曲线。第一阶振动（i=1）轴无节点；第二阶振动（i=2）有一个节点；第三阶振动（i=3）有二个节点；余依次类推。

第三节 普洛尔法计算转轴的临界转速前面已讨论了有关“临界转速”的基本概念，下面将介绍真实转子临界转速的计算。

一．力学模型的建立 1．将质量连续分布的实际转轴，简化为一系列质量集中而又分散分布的计算轴，在各个集中质量之间用没有质量但有弹性的轴段连接起来，因而将整个转轴分为许多小段，如图所示：

2．转轴中凡直径改变之处，一般均取为分段点，如“1”、“3”点； 3．叶轮和其他回转零件通常作为一个质量集中于其质心的集中质量来考虑，同时取质心所在位置作为分段点，如“2”点； 4. 每段轴的质量均分为二半，分别集中到该段轴的两端的截面上（即分段点处）。这样，各段之间的分段点上则分别集中有相临两段轴的质量和的一半。如分段点“1”点上集中有第Ⅰ段的质量与第Ⅱ段的质量之和的一半；即

5. 如分段点之上还有其他回转零件（如叶轮）则分段点上还应该加上这部分零件（如叶轮）的集中质量，例如：在分段点“2”上面，除了集中有第Ⅱ段的质量与第Ⅲ段的质量之和的一半，还应加上叶轮的质量，即，式中 ——叶轮的质量 6.除上所述，按变直径和集中载荷自然分段外，一般分段数应该高于所求临界转速阶数的5~6倍，例如：求转轴2阶临界转速，则至少要划分2*（5~6）段，上述的图中，可在每一段中人为再增加段数。

二．计算公式——递推公式 • 1．基本参数 • 由材料力学可知，弯曲梁上任一截面的变形情 • 况可由 4个基本参数来反映，即切力——Q 弯矩——M 转角——θ 挠度——y • 2．计算公式 • 将实际轴简化为计算轴后，如下图所示：

以左边为起点，转轴的第一个分段点为0点，依次各以左边为起点，转轴的第一个分段点为0点，依次各个分段点分别为1，2，3，……i-1，i，……j，分段点0 于1之间称为第1段，1与2之间称为第2段，…..（i-1）与I 点之间称为第i段，依次类推。规定：第i段包括第（i-1）分段点的集中质量，不包括第i分段点的集中质量，而第i分段点的质量包含再i与i+1 分段点组成的第（i+1）段上，依次类推。

取第i段轴分析，i和（i+1）分段点上的Q、M、θ和y，取第i段轴分析，i和（i+1）分段点上的Q、M、θ和y，当轴以某临界角速度旋转时，根据“规定”，再（i-1）分段点上除有切力Qi-1外，还有因为i-1分段点上的集中质量产生的离心力，所以由力的平衡则有：（A）再由力矩的平衡，则有：（B）

又因为由实轴简化为计算轴的过程及上述“规定”，在当前讨论的第i段轴上，除了在i-1分段点有集中质量外，其他部分是无关质量，只有弹性的轴，所以这一段内的切力为常数，即Qi，因此在这段轴上i与i-1分段点的距离为x的地方的弯矩就为：又因为由实轴简化为计算轴的过程及上述“规定”，在当前讨论的第i段轴上，除了在i-1分段点有集中质量外，其他部分是无关质量，只有弹性的轴，所以这一段内的切力为常数，即Qi，因此在这段轴上i与i-1分段点的距离为x的地方的弯矩就为：（C）

另：由材料力学知有： （D）由材料力学及数学知识有：（E）将（C）代入（D）得到：

对上式积分一次，得： 由边界条件：处有：所以得 C1= 所以有：（F）

又对上式积分，得： （F+）又由边界条件：处有：所以有： C2=

C2代入（F+）得： （G）又由边界条件：时有：所以当时由（F）和（G）式及则有：

（H） （I）将以上2式整理后与（A）、（B）两式归纳在一起，得：

（i=1，2，3…n） （3-6）式中

上式表明： 只要知道第i-1分段点上的4个基本参数（Qi-1、Mi-1、 θi-1 、yi-1），在选定一个临界角速度值后，利用上式就可求得相邻的后一个分段点i分段点上的4个基本参数（Qi、Mi、θi、yi），依次类推，就可以求得转轴上任一个分段点上的这4个基本参数，直至最后一个分段点，因此，上式又称为“递推公式”。

三．计算步骤： 1．将实际轴简化为计算轴； 2．假设（试凑）一个临界角速度； 3．在保证满足轴始端（一般取左端）的边界条件的情况下，给定一组始端的参数（Q0、M0、 θ0、y0）。

4．利用递推公式逐段递推计算各个分段点的4个基本参数 （、、、），直到计算出转轴终端（右端）的 4个边界参数（、、、） 5．如果计算出的终端的4个参数能满足边界条件，则所假设（试凑）的就是真实的临界角速度，否则就不是真实的临界角速度。 6．重新假设（试凑）临界角速度，重复上述1-5步骤，直到满足边界条件为止。注：不同的支撑和联接方式有不同的边界条件，计算时根据具体情况确定相应的边界条件。

四．几种情况的计算： 1．二支座单跨

如图所示，两端铰支，这是一种最简单又最常见的转子支撑情况。一般单根轴且无外伸端时均属这种情况。如图所示，两端铰支，这是一种最简单又最常见的转子支撑情况。一般单根轴且无外伸端时均属这种情况。从递推公式可以看出，若把O支座作为始端，那么，只要知道这个分段点（也即截面）上的4个弯振基本参数、、、（称为初参数），再假设（试凑）一个临界角速度，就可按公式逐段递推，依次计算了。由此便可求出轴上任一个分段点i上的4个参数，即、、、。那么始端O分段点上的4个基本参数知道不知道呢？实际情况是：有的知道，有的不知道。

( (1)边界条件： 由材料力学知，对一根两端绞支的梁，应有：而且不为0 （2）分析：从递推公式可看出，前后两截面4个基本参数 Q、M、、Y之间的关系是线性的（在已经假定之后），从数学知识可知，如果我们一开始就将和作为未知数代入递推公式（此时的边界条件），逐个分段点递推，那么很显然，任一截面（分段点）i上的4个基本参数、、和都只是和的线性函数，即有：

（i=1，2，3……n）（3-7） 另外，递推公式清楚地表明，在目前两端绞支这种情况下，在递推过程中，未知的始终只是和（已先假定了一个数值），所以上式中的系数、、…… 都是有确定值的。

（3）计算系数、、…… 首先假定一个值，且对两端绞支，已知有边界条件：再分两次计算系数、、…… 第一次：取，（已知）因为转轴的第一个分段点（即始端点）、、和均已知，代入递推公式（3-6），就可逐段递推依次计算出各个分段点的参数，写为：、、、（i=1，2，……n……j）

将第一次计算的结果与（3-7）式对照，显然有:将第一次计算的结果与（3-7）式对照，显然有: （i=1，2，……n……j）（3-8）上式说明：第一次取，，用递推公式（3-6）所计算出来的各个截面（分段点）的、、和并不是在各个分段点的真实挠度、转角、弯矩和切力，而只是相应的系数、、、

第二次： 取，（同样已知有）同第一次一样，将、、、代入递推公式，逐段递推，得出各个分段点的4个基本参数，写为：、、、（II=1，2，……n……j）上标II表示第二次计算结果。同理，将此次结果与（3-7）式对照，显然有：

（II=1，2，……n……j）（3-9） 同样，第二次计算得出的并不是各个分段点（截面）上的真实参数、、和，而只是相应的系数。这样，通过以上二次计算，边可得出各个分段点（截面）上的所有系数、、……

(4)临界转速的判别： 经过以上二次计算，已得出各个分段点截面上的系数，设最后一个分段点（转轴终点）为“j”点，则、、…… 已求出。则由（3-7）式，有而目前讨论二端绞支的情况下，终端参数应该有如下边界条件：即

（3-10） 和虽为未知数，但材料力学知识告诉我们，和在两端绞支的情况下肯定不为0。这样在和不为0的前提下，要式（3-10）成立，只有系数行列式必须为0，即（3-11）也即：（3-11A）经过上述计算与分析，得出如下结论：

（A）若最初假设（试凑）的角速度 为真实临界角速度 ,则式（3-11A）成立。反之，则式（3-11A）不成立（即不为0），这样，就要重新假设（试凑）新的值，再重复上述的计算及判别过程，直至式（3-11A）成立，从而求出各阶之临界角速度。（B）由于不可能很快就试凑出真实，而上述计算过程又是一个繁琐的重复过程，为计算方便起见，不妨先令式（3-11A）式为：显然与假设（试凑）的有关，称为残值。若 (3-11B)

不同的对应不同的残值 。当试凑过一定数量的角速度后，就可画出曲线，如图所示：

显然，曲线与轴的交点， =0，这些交点的值就是转轴的各阶临界角速度，例如、、 …… 。实际上，利用计算机计算时，是很容易搜索出各个交点，也即各阶临界角速度值的。

2．多支点多跨情况 下图就是实轴简化为计算轴的一根3跨（二支撑点间为一跨）4支点的转轴。（例如二根转轴用刚性联轴器联接后，就构成一根4支点3跨的转子）

如如图所示，始终端点用o、z表示，中间支座用j、s表示。（1）第1跨从o到j之间各个分段点上参数Y、、M、Q的计算显然与前面介绍的2支座单跨的情况一样。（2）第2 跨从j到s分段点之间任意一分段点（截面）的计算与第一跨基本一致，只是要多考虑一个问题——即“跨越支座点”的问题。具体如下：在计算j支座点后一点，即j+1分段点时，按第推公式，需要用到j分段点的4个基本参数（作为已知数）。而j分段点的4个基本参数则应该在上一次的第推中求出。但我们再仔细分析一下第推公式（3-6）式就可知，第推公式中没有考虑“支座反力”的影响，这是j点既具有一般分段点的性质有具有其作为“支座点”的特点。

显然，这个“支座反力”在4个基本参数（Y、 、M、Q）中应反映在切力Q的大小中，也就是说按递推公式计算出的j点的切力还应再加上支反力（写为）即，那么支反力有多大呢？不知道！它也是一个未知数，既然这样，为计算方便，就将作为一个未知数来处理（因为），这样，在用递推公式计算j +1分段点时就似乎有三个未知数了，即、和。但在深入分析后又可以发现，在j分段点，既然它又是支座点，那么必有：则：

第二章 转子的临界转速