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AX = b

（ 3.1 ）. 第六章 解线性方程组的直接法. AX = b. （ 3.2 ）. （ 3.3 ）. §1 高斯消去法. 1 ．三角形方程组的解法. =. 首先将 A 化为上三角阵 ，再回代求解 。. ( 一 ) 高斯消去法的求解过程 , 可分为两个阶段 : 首先 , 把原方程组化为上三角形方程组 , 称之为 “ 消元 ” 过程 ; 然后 , 用逆次序逐一求出三角方程组 ( 原方程组的等价方程组 ) 的解 , 并称之为 “ 回代 ” 过程. 下面分别写出 “ 消元 ” 和 “ 回代 ” 两个过程的计算步骤. 其中. 记.

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AX = b

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  1. （3.1） 第六章 解线性方程组的直接法 AX = b

  2. （3.2） （3.3） §1 高斯消去法 1．三角形方程组的解法

  3. = 首先将A化为上三角阵 ，再回代求解 。

  4. (一) 高斯消去法的求解过程,可分为两个阶段: 首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为 “消元”过程; 然后,用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,并称之为“回代”过程. 下面分别写出“消元”和“回代”两个过程的计算步骤.

  5. 其中 记 Step 1：设 ，计算因子 将增广矩阵第 i 行  mi1 第1行，得到

  6. Step k：设 ，计算因子 且计算 共进行 ？ 步 n 1

  7. 回代 若A的所有顺序主子式 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到惟一解。

  8. §1.2 高斯消元法_例题分析 利用高斯消元法求解方程组: 解：

  9. 利用 得 得 利用

  10. 利用 得 显然，方程组(4)与(1)是等价的，其系数矩阵为上三角状的，易于求解.称以上过程为高斯消去法的消去过程.通过方程组(4)的回代求解，可以得到准确解为 这一过程为高斯消去法的回代过程。

  11. 消元公式 回代公式

  12. §1.3 高斯消元法_选主元消去法 主元素及其选取问题 Gauss消元法第 k 次消元是用第 k 个方程 来消去第 k+1,…,n 个方程中的 xk , 条件是 . 是实现第 k 次消元的关键元素，称为第k次消去的主元. Gauss消元法存在的问题是：

  13. 例：单精度解方程组 /* 精确解为 和 */ 8个 8个 8个 §1.3 高斯消元法_选主元消去法 用小主元10-9作除数，致使其它元素的数量级大大增加，舍入误差的扩散将准确解淹没了。 用Gaussian Elimination计算：

  14. 每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证 。 Step k: ① 选取 全主元消去法 ② If ik kthen 交换第 k 行与第 ik行; If jk kthen 交换第 k 列与第 jk列; ③ 消元 注：列交换改变了 xi的顺序，须记录交换次序，解完后再换回来。

  15. 考虑在整个矩阵范围选主元，这就是所谓的全主元考虑在整个矩阵范围选主元，这就是所谓的全主元 消去法，此时要注意的是，在做列的变换时，要同 时记录当前变量的次序，以免自变量的含义不清。 算法：1. 消元过程，对 (1) 选主元，找 使得 (2) 若 ，则停止，推出 (3) 若 ，则换行， (4) 消元，对 有 有

  16. 回代过程： (1)若 ，则停止 (2)对

  17. 例： 列主元消去法 在计算机上实现全主元素消去法意味着进行数的比较操作， 选全主元素法需要相当多的计算时间，因此常采用局部选主 元素的方法.省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。 例：  注：列主元法没有全主元法稳定。 

  18. 例题分析（Guass全选主元法) 精确解为：x1=1.9273,x2=-0.698496, x3=0.9004233

  19. 例题分析（Guass列选主元法) 精确解为：x1=1.9273,x2=-0.698496, x3=0.9004233

  20. 2、对于 (2) 如果 ，交换 A(n,n+1)的第k行与底l行元素 列主元消去法计算步骤： 1、输入矩阵阶数n，增广矩阵A(n,n+1); (1) 按列选主元：选取 l 使 (3) 消元计算 ： 3、回代计算

  21. 4．无回代过程的主元消去法 算法： 第一步：选主元，在第一列中选绝对值最大的元素，设第k行为主元行， 将主元行换至第一行，将第一个方程中x1的系数变为1，并从 其余n – 1个方程中消去x1。 第二步：在第二列后n – 1个元素中选主元，将第二个方程中x2的 系数变为1，并从其它n – 1个方程中消去x2。 ………… 第k步：在第k列后n – k个元素中选主元，换行，将第k个方程xk的系数 变为1，从其它n - 1个方程中消去变量xk，

  22. 消元公式为： 对k = 1, 2, …,按上述步骤进行到第n步后，方程组变为： 即为所求的解

  23. 5．无回代消去法的应用 （1）解线性方程组系 设要解的线性方程组系为： AX = b1, AX = b2, … AX = bm 上述方程组系可以写为 AX = B = (b1, …, bm)

  24. 因此X = A-1B 即为线性方程组系的解。 在计算机上只需要增加几组右端常数项的存贮单元， 其结构和解一个方程组时一样。 行 系数 右端

  25. （2）求逆矩阵 设A = (aij)nn是非奇矩阵，A 0，且令 由于 AA-1 = AX = I 因此，求A-1的问题相当于解下列线性方程组 相当于（1）中m = n,B = I 的情形。

  26. （3）求行列式的值 用高斯消去法将A化成

  27. §2 解三对角方程组的追赶法

  28. Step 1: 记 L1 = L1－1 = §3矩阵的三角分解及其在解方程组中的应用  高斯消元法的矩阵形式: 记 于是

  29. Lk = Step n 1: 其中

  30. L 记U = 记为

  31. 由上述讨论可知，高斯消去法实质上产生了一个将系数由上述讨论可知，高斯消去法实质上产生了一个将系数 矩阵A分解为上三角阵与下三角阵相乘的因式分解。 若A的所有顺序主子式 均不为0，则 A的LU分解唯一（其中 L为单位下三角阵）。 设有方程组AX=b,并设A=LU,于是 AX=LUX=b 令UX=Y,则 LY=b. 于是求解AX=b的问题等价于求解两个方程组UX=Y和LY=b （1）利用顺推过程解LY=b, 其计算公式为: （2）利用回代过程解UX=Y , 其计算公式为:

  32. 定理1：（矩阵的三角分解）设A为n  n实矩阵，如果 解AX = b用高斯消去法能够完成（限制不进行行的交 换，即 ），则矩阵A可分解 为单位下三角矩阵L与上三角知阵U的乘积。 A = LU 且这种分解是唯一的。

  33. 定理2：约化主元素（ , i = 1, 2, …, k） 充要条件是矩阵A的顺序主子式

  34. 矩阵的三角分解 思路 通过比较法直接导出L 和U 的计算公式。 （1）对i=1,2,…,n （2）计算 U 的第 r 行, L 的第 r 列元素 对r =2,3…,n

  35. 直接三角分解法解AX = b的计算公式 (1) 对于r = 2, 3, …, n计算 （2）计算U的第r行元素 （3）计算L的第r 列元素(r n)

  36. (4) (5)

  37. §4 平方根法 1．矩阵的LDR分解 定理3：如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不等于零， 则矩阵A存在唯一的分解式A = LDR其中L和R分别是 n阶单位下三角阵和单位上三角阵，D是n阶对角元素 的不为零的对角阵，上述分解也称为A的LDR分解。

  38. 2．平方根法 定理4：（对称正定矩阵的三角分解） 如果A为对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异 下三角矩阵，使A=LLT，且当限定的对角元素为正时， 这种分解是唯一的。

  39. 定理 设矩阵A对称正定，则存在非奇异下三角阵 使得 。若限定 L 对角元为正，则分解唯一。 1 u11 uij / uii uij 1 u22 记为 U = = 1 unn A 对称 即 记 D1/2 = 则 仍是下三角阵 注： 对于对称正定阵 A ，从 可知对任意k  i有 。即 L的元素不会增大，误差可控，不需选主元。 将对称正定阵A做 LU分解

  40. 用平方根法解线性代数方程组的算法 （1）对矩阵A进行Cholesky分解，即A=LLT，由矩阵乘法： 对于i = 1, 2,…, n 计算

  41. （2）求解下三角形方程组 （3）求解LTX = y

  42. 其中 3．改进平方根法

  43. 改进平方根法解对称正定方程组的算法

  44. 令LTX = y，先解下三角形方程组LDY = b得 解上三角形方程组LTX = Y得

  45. §5 向量和矩阵的范数 1．向量的范数 定义1：设X  R n，Ｘ表示定义在Rn上的一个实值函数， 称之为X的范数，它具有下列性质： (1) 非负性：即对一切X  R n，X 0, Ｘ>0 (2) 齐次性：即对任何实数a  R，X  R n， （3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y R n，恒有

  46. 常用的向量x的范数有 --------(1) --------(2) --------(3) --------(4)

  47. 下述范数的几何意义是:

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