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從「數學思考」到「思考數學 」

國立勤益科技大學　基礎通識教育中心 劉柏宏 101 年 10 月 4 日於北市教育大學數學系. 從「數學思考」到「思考數學 」. 數學解題. George Polya 的數學觀. 大發現解決大問題，但並不是只有大發現才有存在的價值。每一個問題都必須要有某種 發現 才行。 數學有兩面， ...... 以歐幾里德的方式呈現的數學，看起來像是一門有系統的演繹科學；但 發展中的數學，又像是一門實驗的歸納科學 。 --《 如何解題 》. 數學解題角色的演變 (NCTM). NCTM (1980) ：數學解題應當成為學校數學教學的中心焦點

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從「數學思考」到「思考數學 」

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  1. 國立勤益科技大學　基礎通識教育中心 劉柏宏 101年10月4日於北市教育大學數學系 從「數學思考」到「思考數學」

  2. 數學解題

  3. George Polya 的數學觀 • 大發現解決大問題，但並不是只有大發現才有存在的價值。每一個問題都必須要有某種發現才行。 • 數學有兩面，......以歐幾里德的方式呈現的數學，看起來像是一門有系統的演繹科學；但發展中的數學，又像是一門實驗的歸納科學。 --《如何解題》

  4. 數學解題角色的演變(NCTM) • NCTM (1980)：數學解題應當成為學校數學教學的中心焦點 • NCTM (1989)：數學解題應為學校教學的主要目標，並整合所有的數學活動 • NCTM (2000)：數學解題應為學校數學的基石

  5. 數學解題角色的演變(ICME) • ICME-4 (1980):數學解題被分派在課程的獨特面向項目之下 • ICME-5 (1984):數學解題為7個TSG之一 ...... • ICME-9 (2000):數學解題為23個TSG之一 • ICME-10 (2004):數學解題為29個TSG之一 • ICME-11 (2008):數學解題為38個TSG之一 • ICME-12(2012):數學解題為37個TSG之一

  6. 啟發式教學(Heuristic Teaching) • Guess and Test • Use a variable • Draw a picture • Look for a pattern • Solve a simpler problem • Solve an equivalent problem • Work backward ......

  7. 啟發式教學之限制 new vertical context new context ? ? old context new horizontal context ?

  8. 問題解決的網絡 信念 beliefs 認知 cognition 後設認知 metacognition 解題 problem solving 問題情境 context 知識 knowledge 情緒 emotion

  9. 後設認知 • knowing about knowing/thinking about thinking • 和個人的認知管理 (cognitive management) 與自我修正(self-regulative)行為有關 • 在解題過程中如何有效地讀取並配當相關的知識，決定在適當時機應用適當的解題策略 • 監控整個解題思考過程

  10. 信念 • Schoenfeld：信念系統包含自我概念、情境、主題、和數學知識本身 • 含括理性與非理性的心理層面 • 一個相當模糊的概念，缺乏明確的定義 • 後設認知和數學信念有著緊密的連結 • Schoenfeld：構成解題者的數學世界觀，進而影響解題者所採取的策略

  11. Alan Schoenfeld 獲獎

  12. Alan Schoenfeld 演講

  13. 信念的分類區塊 Descriptive Evaluative Prescriptive Beliefs, Attitudes, and Values. Rokeach, 1967

  14. 數學信念的階層體系 Global beliefs Domain-specific beliefs Subject-matter beliefs Mathematical Beliefs: A search for common ground, Torner, 2002

  15. 數學認識信念 • 探究特定信念比較可行也比較有收穫(Pajares, 1992) • 數學認識信念(epistemological beliefs): 對於數學知識和數學認識本質的信念(beliefs about the nature of mathematical knowledge and knowing) • 宏觀(macro-)和微觀信念(micro-belief)

  16. 透視數學 宏觀數學 微觀數學

  17. 數學史和數學信念 • 數學是純邏輯演繹(logically deductive)的科學？ • 歷史說明數學知識的發展先是直覺歸納(intuitively inductive)，隨後才繼之以邏輯演繹。

  18. 歷史導向微積分課程 • 以微積分概念的發展歷程為主架構 • 以微積分歷史上的關鍵問題為導向 • 比較歷史上東西數學家的解題策略 • 瞭解數學概念發展過程的非邏輯性 • 認知數學社群間的自我修正與建構 • 觀察學前學後學生數學信念的演變

  19. 劉徽割圓術 半 徑 半圓周

  20. 《論圓的測量》：圓面積等於一個以此圓半徑為高、圓周長為底之直角三角形的面積《論圓的測量》：圓面積等於一個以此圓半徑為高、圓周長為底之直角三角形的面積 阿基米德求圓面積

  21. 阿基米德洋蔥術 半 徑 圓周

  22. 牟合方蓋求圓球體積(劉徽與祖氏父子)

  23. 阿基米德求圓球體積

  24. 11+11+11...= ? (11) + (11) + (11) +...= 0 1(11)(11)(11) ...= 1 令S = 11+11+11... S = 1 (11+11+11...) = 1S 所以S =1/2 24

  25. 牛頓的鬼魂量 自由落體之距離與時間的關係式為s(t) = at2 令Δs = s(t1)  s(t0) = at12at02 = a [(t0+Δt)2 t02] = a (2t0Δt +Δt2) 因此 Δs /Δt = a (2t0Δt +Δt2) /Δt = 2at0+Δt…… (*) 牛頓：當Δt為無窮小量時，將(*)式等號右邊之Δt忽略即可得t0時之瞬間速度為2at0 25

  26. 研究發現(一) 機械式思考 拼圖式思考 《Mathematical Thinking & Learning 》 (Liu & Niess, 2006)

  27. 研究發現(二) 堅實的鐵塔 堆疊的堡壘

  28. 研究發現(三) 數學真理 數學真理 《科學教育學刊》(劉柏宏,2007)

  29. 研究發現(四) 推論相對主義 直覺經驗主義 推論經驗主義 《International Journal of Science & Mathematics Education 》(Liu, 2009)

  30. 研究發現(五) • 需要厚實數學知識背景的題目，抱持著精熟信念 (sophisticated beliefs) 的學生通常表現較佳 • 僅需低度數學知識的非制式問題，抱持著素樸信念(naïve beliefs)的學生有時反而表現得較好 《Journal of Mathematical Behavior 》 (Liu, 2010)

  31. 解題 認知 信念 • 對數學解題的內涵已瞭解得相當透徹？ • 它遠比我們原先所想像的更為複雜？ 思考 信念 信念 可能是後者！ 解題 認知 解題

  32. 數學素養 個體能夠辨認和瞭解數學在世上所扮演的角色，能夠進行有根據的判斷，並且根據個體在生活上的需求來運用數學或者投入數學活動，以成為一個積極的、關懷的、和反思的國民。 (資料來源：台灣參加PISA2006成果報告)

  33. 台灣學生數學成就與素養

  34. 數學本質構面 歷史哲學 數學通識 生活應用 數學基礎 邏輯歸納

  35. 邏輯歸納

  36. 完美數 上帝利用6天的時間創造了世界 月亮繞行地球需28天 畢達哥拉斯學派稱6及28為完美數 因為 6 = 1 + 2 + 3 ; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 均為其所有真因數之和 36

  37. 關於完美數的猜測 古希臘人只知前四個完美數為6, 28, 496, 8128 猜測一:完美數之個位數以6, 8, 6, 8…...交錯出現 猜測二:第五個完美數為五位數，依此類推…… 37

  38. 夢想的幻滅 第五個完美數為33550336 第六個完美數為8589869056 第七個完美數為 137438691328 38

  39. 繼續努力猜！ 所有的完美數都是偶數? 已檢驗至小於101500 39

  40. 1742年哥德巴赫告知歐拉他的一個猜測： 每一個大於6的奇數皆可表示為三個質數之和 • 歐拉將此猜測改為： 所有大於2的偶數皆可表為兩質數之和

  41. 哥德巴赫(Goldbach)猜想 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 14 = 3 + 11 = 7 + 7; 16 = 3 + 13 = 5 +11 18 = 5 + 13 = 7 + 11 20 = 3 +17; 22 =3 +19; 24 = 5 +19… 所有大於2的偶數皆可表為兩質數之和? 41

  42. 遇見哥德巴赫猜想

  43. x2+ y2 = z2有無限多組整數解 x3+ y3 = z3有沒有整數解？ x4+ y4 = z4有沒有整數解？ ...... 對n>2，xn+ yn = zn呢？ 費馬最後定理 43

  44. Andrew Wiles 44

  45. 哥尼斯堡七橋問題

  46. 哥尼斯堡市民的問題 是否可能從某地出發經過七座橋後(每一座橋只能經過一次) 又回到原地? 若起點與終點不須一樣是否可能一次走過七座橋且每一座橋只能經過一次?

  47. 七橋問題的抽象化

  48. 歐拉 若一圖形只有兩個點連接奇數個邊，則存在一路徑使得恰好可以經過每一個邊一次 若一圖形中每個點都與偶數個邊相連，則存在一路徑使得恰好可以經過每一個邊一次且起點與終點相同

  49. 拓樸學的同構

  50. 拓樸學家是分不清咖啡杯和甜甜圈的人

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