الحساب والجبر بين الاستمرارية والقطيعة

1. الحساب والجبر بين الاستمرارية والقطيعة الحساب والجبر الاستمرارية والقطيعة: الحروف، علامة المساواة، العبارات الملتقيات الجهوية 2013/2014 اليوم الثاني

2. نشاط: تحليل أخطاء التلاميذ • تقومون بتحليل إجابات التلاميذ في ثنائيات من أجل: • تحديد أخطاء التلاميذ. • وضع فرضيات لتفسير هذه الأخطاء • توزع الأسئلة على النحو التالي: • ف 1 : 1-7-3-9-2-8 • ف 2 : 2-8-4-7-5-10 • ف 3 :3-9-5-7-6 • ف 4: -17-6-10-4

3. منازل (مدارج) الحرف Statut de la lettre • حرف من أجل تعيين • شيئ (كائن) • متغيّر • مجهول • عدد غير معيّن • وسيط • Lettre pour désigner • Un objet • Une variable • Une inconnue • Un nombre indéterminé • Un paramètre

4. الحرف لتعيين كائن • يرمز الحرف إلى كائن رياضي، رمز لوحدة، كما يسجل اختصارا: يشير الحرف إلى: • كائن محدّد: نقطة A، دائرة C • إلى وحدة: 4m للتعبير عن 4 أمتار، 2t للتعبير عن 2 طن. • اختصار لكائن رياضي: A = L lP =   D . التعليم الابتدائي، وبداية التعليم المتوسط

5. الحرف من أجل تعيين متغيّر • القيم التي يمكن للحرف أن يأخذها تتغيّر في مجال أو مجموعة • أي عدد يمكن وضعه مكانt في 1,2 < t < 1,5؟ • ABCD مربع طول ضلعه 8cm و Mنقطة من الضلع [AB]بحيث AM = x. عبّر عن المساحة A للرباعي MBCD لمّا يتغير M على الضلع [AB]. منذ بداية التعليم المتوسط

6. الحرف من أجل تعيين مجهول • نصادف هذا المعنى للحرف عند ترييض المشكلات أو عند حل معادلة: • كم يساوي العدد x إذا كان ثلاثة أضعاف الفرق بينه وبين 7 يساوي نصف مجموع x مع 1 ؟

7. حرف يشير إلى عدد غير معيّن • في هذه الحالة لا يشير الحرف إلى أعداد معيّنة، بل يشير إلى أعداد كيفية كما هو الحال بالنسبة للمتطابقات الشهيرة أين مساواة صحيحة دوما: • من أجل كل الأعداد k، a ، b : k(a + b) = ka + kb • من أجل كل الأعداد x :x + x = 2x • المتطابقات الشهيرة

8. الحرف من أجل تعيين وسيط • حرف يمثل كمية مفترض أنّها معلومة بالنسبة إلى حروف أخرى لها: • إما منزلة المتغيّر: f : x → ax • إما منزلة المجهول: ax + b = 0 • إما منزلة غير المعيّن: a(x + y) = ax + ay

9. منزلة الحرف حسب المهمّة سؤال أ) اكتب مساحة المستطيل بدلالة x ب) ما هي قيمة التي تساوي من أجلها المساحة 24 ؟ • أ) A(x) = 3(x + 4) • في هذه الكتابةx متغيّر • ب) 3(x + 4) = 24 • في هذه الكتابة x مجهول 3 x 4 x

10. من جهة التلاميذ • 6 مستويات للترجمة محدّدة عند التلاميذ من 11 إلى 17 سنة: • حرف يتجاهله التلميذ • حرف أرفقت له قيمة • حرف – شيئ (كائن) • حرف – مجهول خاص • حرف – عدد معمّم • حرف - متغيّر مستوى ما قبل الجبر ضرورية لفهم المدخل إلى الجبر

11. من جانب التلاميذ • حرف متجاهل • الأخذ بعين الاعتبار العناصر العددية فقط. مثلا: 5 + 3y = 8 أو 5 + 3y = 8y • حرف مقدر • بحاجة إلى إعطاء قيمة عددية للحرف المتعامل معه. مثلا: محيط مضلع ذي n ضلع متقايس بطول 2 cm لكل ضلع هو 28 cm . • حرف - كائن • ليس للحرف معنى العدد، فهو يتماشى مع اختصار كلمة. مثلا:5 + 3t = 8 tonnes

12. معاني للعلامة ” المساواة ” • 4 + 6 = 10 • علامة المساواة للإعلان عن النتيجة • 54 = 3  18 • علامة المساواة للدلالة عن تحليل عدد • 15/10 = 3/2 • علامة المساواة للدلالة عن أن كتابات مختلفة تمثل نفس العدد التعليم الابتدائي

13. منزلة علامة المساواة التعليم المتوسط • k(a + b) = ka + kb • علامة المساواة لترجمة متطابقة • أحسب a + 2bمن أجل a = 1 et b = 0,7 • علامة المساواة كرمز للتعيين • (2x + 3)(x – 2) = 2x² – x – 6 • علامة المساواة للدلالة على أنّ لعبارتين نفس القيمة مهما كان x • ما هي قيم x التي يكون من أجلها 2x + 3 = 5x؟ • علامة المساواة للدلالة على أنّه يمكن لعبارتين أن تأخذا نفس القيمة من أجل قيمة معيّنة لـ x.

14. من جانب التلاميذ • مثال: في مقابلة لكرة القدم، سجل الفريق المستقبل x هدفا، بينما سجل الفريق الزائر y هدفا. عبّر عن العدد الكلي للأهداف التي سجلت في هذه المقابلة. • جواب: z هدفا (x + y = z) علامة المساواة كتصريح بالنتيجة

15. من جانب التلاميذ • هل صحيح دائما أنّ: 4 + 3x = 7x؟ • إنّه نفسه الشيء لأنّ 7=4+3 وقد قال الأستاذ بأنّ 3x هي 3 ضرب x ، ونحن ضربنا الحالتين • إنّه خاطئ لأنّه يلزم الأقواس، إنّ (4+3)x هو الذي يساوي 7x • إذا عوضنا x بـ 1 هو صحيح • إذا عوضنا x بـ 2 هو خاطئ • لا نستطيع أن نعرف، في بعض الأحيان صحيح وفي بعض الأحيان خطأ • ليس صحيحا دائما • صحيح دائما إذا أخذنا 1 لـ . x

16. الجوانب الإجرائية والهيكلية لعبارة • العبارة 2n+1 تصلح في آن واحد: • لحساب قيمة العبارة من أجل قيم معطاة لـ n جانب إجرائي • لتعيين عدد فردي عندما يكون n عدد صحيح جانب بنيوي

17. من جانب التلاميذ • مثال : أوجد قيمة 2r+1 في 4(2r+1)+7=35 • حل المعادلة ذات المجهول r ثمّ حساب 2r+1(جانب إجرائي) • إيجاد العدد الذي عندما نضيف 7 إلى 4 أضعافه نجد 35 (جانب بنيوي)

18. خلاصةConclusion • صعوبات في تعلّم الجبر • خلق إضطرابات في بعض التصورات الحسابية لدى التلاميذ • يتطلب من الأساتذة إيجاد سبل تساعد التلاميذ على فهم المعاني الجديدة لكائنات رياضية معروفة • Difficultés dans l’apprentissage de l’algèbre • Bouleverse certaines conceptions d’arithmétique des élèves • Nécessite de la part des enseignants de trouver des moyens de faire comprendre les nouvelles significations des objets mathématiques connus