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T R A S F O R M A Z I O N I - PowerPoint PPT Presentation


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T R A S F O R M A Z I O N I. La figura rappresenta un’incisione di M.C.Escher (1898-1972). Essa fornisce un esempio di riflessione sulla sfera; è interessante notare che le linee rette degli spigoli della stanza dove si trova l’artista sono diventate linee curve.

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Presentation Transcript
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T

R

A

S

F

O

R

M

A

Z

I

O

N

I

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La figura rappresenta un’incisione di M.C.Escher (1898-1972).

Essa fornisce un esempio di riflessione sulla sfera; è interessante notare che le linee rette degli spigoli della stanza dove si trova l’artista sono diventate linee curve.

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LE TRASFORMAZIONI DEL PIANO SONO

  • CORRISPONDENZE BIUNIVOCHE TRA PUNTI DEL PIANO
  • Date due figure corrispondenti, ad ogni punto della prima figura
  • corrisponde uno ed un solo punto delle seconda
  • COLLINEAZIONI
  • Ovvero conservano l’allineamento dei punti.
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Ogni trasformazione si caratterizza per qualche cosa che rimane invariato, i cosiddetti INVARIANTI

  • Alcuni invarianti di una trasformazione possono essere
  • La lunghezza dei segmenti
  • L’ampiezza degli angoli
  • Il parallelismo
  • Le direzioni
  • Il rapporto tra i segmenti
  • L’orientamento dei punti del piano
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Un punto che nella trasformazione corrisponde a se stesso si dice unito o fisso.

Una figura che si trasforma globalmente in se stessa, anche se non tutti i punti sono fissi, si dice unita nella trasformazione.

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DUE ESEMPI DI TRASFORMAZIONI

1.

Una trasformazione che consiste in uno spostamento ovvero un movimento rigido ha come invariante globale la MISURA delle figure.

  • Sono suoi invarianti :
    • La lunghezza dei segmenti
    • L’ampiezza degli angoli
    • Il parallelismo
    • Il rapporto tra segmenti

Il cavaliere nero è il risultato dell’applicazione, alla figura di sinistra, di una traslazione.

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2.

Una trasformazione che consiste in un ingrandimento o riduzione ha comeinvariante globale la FORMA delle figure.

  • Sono suoi invarianti :
  • L’ampiezza degli angoli
  • Il parallelismo
  • Il rapporto tra segmenti
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B'

B

F‘

F

A'

A

C'

C

LE ISOMETRIE

In matematica, e in particolare in geometria, si definisce isometria (o trasformazione rigida) una trasformazione che non modifica le distanze tra i punti (e, di conseguenza, le ampiezze degli angoli).

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Proprietà delle isometrie

  • In una isometria:
  • a una retta corrisponde una retta
  • a rette incidenti corrispondono rette incidenti
  • a retta parallele corrispondono rette parallele
  • a ogni triangolo corrisponde un triangolo ad esso congruente
  • ad ogni angolo corrisponde un angolo ad esso congruente
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Quattro particolari isometrie del piano euclideo sono:

    • rotazioni, di cui sono un caso particolare le simmetrie centrali
    • traslazioni
    • simmetrie assiali, anche dette riflessioni
    • antitraslazioni, anche dette glissosimmetrie, glissoriflessioni o simmetrie con scorrimento(composizione di una simmetria assiale e di una traslazione di direzione parallela all'asse di simmetria.)
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Le quattro classi di isometrie del piano possono essere a loro volta classificate in:

    • isometrie invertenti, che comprendono le simmetrie assiali e le antitraslazioni
    • isometrie non invertenti, tra cui si trovano rotazioni e traslazioni
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Una generica isometria T, non appartenente ad una di queste classi, sarà ottenibile come composizione di alcune isometrie che vi appartengono.

Si può dimostrare un altro risultato interessante:

le simmetrie assiali sono sufficienti per generare tutte le isometrie

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ISOMETRIE IN NATURA E NELL’ARTE

In natura si possono individuare forme geometriche interpretabili assumendo come modello le trasformazioni isometriche.

Le più frequenti sono la simmetria centrale e la simmetria assiale, presenti in natura sia nelle forme più elementari quali le diatomee, i protozoi e i cristalli di neve, sia in fiori, piante, pesci, uccelli, mammiferi.

Nell’arte sin dall’antichità le trasformazioni isometriche del piano sono state usate per creare fregi ornamentali e pavimentazioni, per decorare soffitti e pareti di palazzi, per disegnare tessuti, per costruire rosoni ed edifici monumentali, realizzare statue.

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I FREGI

Se si utilizzano due colori, ci sono solamente 7 motivi lineari che possono essere ripetuti all’infinito su una striscia di carta per ottenere un fregio.

Le 4 operazioni elementari che possono essere applicate per ottenere un motivo che si ripete.

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Le diverse possibilità si creano agendo su un motivo di partenza, che non deve possedere alcuna simmetria, tramite le seguenti operazioni:

I sette fregi distinti che si possono generare combinando le quattro operazioni fondamentali. Alle lettere corrispondono le combinazioni di tali operazioni.

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I sette possibili tipi di fregio simmetrico, ciascuno illustrato da due esempi tratti dalle tradizioni decorative di diverse culture.

(da: John D. Barrow, L’Universo come opera d’arte, Rizzoli 1997)