クラス編成問題

1. クラス編成問題 • 総合講義のシステム • 定式化：和の最大費用流 • 一番を100点に固定 • やっぱり 7：3 に固定 • 情報科学演習第3 • 前期後期の組み分け

2. 事の始まり：総合科目のクラス分け •総合科目では、東工大の1年生全員をいくつかのクラスに分ける •学生がどの講義を受けたいか、という希望を取る 　　（第3希望まで調べる） •それぞれの講義には定員がある なるべく学生の希望が多くかなうようにクラス編成したい

3. 歴史的な方法 1.各学生の第1,2,3希望、を取り、それを札に書く 2. 各講義の紙を用意する 3. 定員の条件を満たすよに、エイヤと札を講義の紙に貼る 4. （うまく）希望どおりに分かれていたら終了 5. うんうんと考えて、札を入れ替え、 4 に戻る 手馴れた教授でも1日以上かかったそうな．．．

4. 講義×定員 学生 マッチング問題として見ると •まずは簡単のため、3つの希望のうち1つがかなえば良い、として考えて、希望がかなう学生の数を最大にする たんなる最大マッチング問題 • 最大マッチングを求めるアルゴリズムを使うと、 　講義数を m、学生の人数を nとして O(n5/2/m) の時間で解ける •学生数が n=2000 、講義数が m =10でも、 n5/2/m ≒ 200,000,000 (2億) 最近のパソコンなら、1,2分で解けそう

5. 最適マッチング •グラフ G = (V,E)と、枝の重み w：E→Rが与えられたとき、互いに隣接しない枝集合で、枝重み和が最大（最小）なものを求めよ という問題が最適マッチング問題 •最適マッチングは、O(|V||E|)時間で求められる 最大マッチング（枝数が最も多いマッチング）は、 O(|V|1/2|E|)時間で求められる

6. 最大重みマッチングとして見る •まずは簡単のため、それぞれの枝に、学生の第1,2,3希望に応じて重みをつけて、最大重みのマッチングを求める 第1希望が優先されるようになる •講義数を m、学生の人数を nとすると、 O(n3/m) の時間で解ける •学生数が n=2000 、講義数が m =10でも、 n3/m ≒ 10000,000,000 (100億) • それでも、最近のパソコンなら、1,2時間で解けるでしょう。

7. 割当問題として見る •１つの講義に対応する頂点がたくさんあって、これがなんとも無駄が多いので、割当問題で考える • 各仕事（講義）を受け持つ人（学生）の上下限 　それぞれの講義の最低・最高受講者数 •各人（学生）が受け持つ仕事（講義）の上下限 　両方とも 1 •各枝のコスト 　学生の希望順位に応じてつける

8. 割当て問題のおさらい •それぞれの人は、同時に受け持てる仕事の上下限がある •それぞれの仕事は、受け持つ人の最低人数がある •人 iが仕事 jを受け持つときに費用 aijがかかる •これらを満たす、最低コストの、 　　人 対 仕事の割当を見つける問題 目的関数：Σaijxij 制約条件：li≦ Σj=1,…,mxij≦ ui l'j≦Σi=1,…,nxij≦ u'j • 「単体法（シンプレックス法）で得られる最適解は、（条件の係数が整数なら）必ず整数解になっている」

9. 割当問題の求解時間 •割当問題を線形計画のソルバーで解くときの、計算時間を算定しよう •変数の数　 ＝ 　枝の数　 ＝ 　学生の数×希望数 •制約条件の数　＝ 各頂点に対して3つ、各枝に対して2つ ＝　 （講義の数 ＋ 学生の数 ×（希望数+1 ） ）× 2 •学生数 n=2000、講義数 m =100でも、 　－変数の数　 ＝6000 　－制約条件の数　 ＝16100 •最近のパソコンなら、10分で解けるでしょう

10. 実際に解いてみると •ほとんどの場合、全ての学生は第3志望までの講義に割り当てられる。つまり、「第3希望までのどこかに割り当てる問題」と考えて差し支えない。 •枝重みは：　　 第1希望：70 　　　　　　　　　 第2希望：30 　　　　　　　　　 第3希望： 0 として、最大コストの割り当てを線形計画ソルバーで求める 何時間もかかって、そこそこの割当てしか得られなかったものが、 1時間で（ある意味で）最適•公平なものが得られるようになった

11. 重みの自由化 •重みはこれでいいのか？ •どっちでもいいから、と適当に選んでいる学生と、熱心に 「ここに行きたい」と思っている学生が、同じ扱いなのはおかしい •第1希望　＋　第2希望　＝100 　　　となるように、自由に選べるようにする 強い希望が通りやすくなる

12. 重みの自由化 (2) •そのうちに、まじめに考えて希望の配点をつける人が損をするようになった •楽な単位を取りたい学生が、 　第１希望 100　：　第２希望 0 と書いて、無理やり配属されるように仕組むようになった  70:30 と書いた人たちより優先される 第１希望＝100、第２希望＝0~100 とすることにした。 （ 100 : 100 というように書けるようになる） （学生の持ち点は固定でなくなるが、どのみち、学生は100点以内しかもらえない）

13. 重みの自由化 (3) •やっぱり、楽な単位を取りたい学生が、 第１希望 100　：　第２希望 0 と書いて、無理やり配属されるように仕組むようになった やっぱり、第１希望 ＝70、第２希望 ＝30 で 固定することにした •新しいルールを作ると、そのルールの抜け穴を狙う人が出る •抜け穴を狙う人がでてくると、ルールが変わる •最適化は、ルールがあるところで成り立つので、 　　ルールの変更や、抜け穴のレベルには関与できない

14. 理学セミナー （旧） •学生が研究室２箇所に仮所属する 総合科目と違うところは、 •学生は３つの希望を出す。希望順位はなし •前期・後期２つに分かれていて、各学生は希望の研究室に前期か後期どちらかに所属する • 授業の内容から（どの本でゼミをするか決めるため）、各研究室の前期と後期の人数はほぼ同じであってほしい 総合科目と同じように、クラス分けを数理的に行えるか

15. 割り当て問題として、直接解く •A研究室を「前期のA研究室」｢後期のA研究室」と２つのクラスに分けて考えると、うまくいきそう •同じ研究室に前期と後期に所属する学生が出てくる 　　可能性がある •「研究室の、前期と後期の学生数がほぼ同じ」 　　という制約が守られない この２つの問題点をどのように解決するかが鍵

16. ２段階でクラス分けする •第１フェイズで、総合科目と同じ方法で、学生を希望が通る数を最大にして、各研究室に割り振る。前期後期は考えない •第２フェイズで、各研究室の学生を、前期後期に割り振る － 各学生が、前期に１つ、後期に１つ、 　　　　　　研究室に割り当てられるようにする － 前期と後期の人数がほぼ同じようにする 第２フェイズをどのように解くか、が問題

17. ２部グラフの色分け •学生と所属研究室を結んだ２部グラフを作る •このグラフを、サイクルと極大なパスに分解する •それぞれのパスとサイクルを、交互に２色で塗り分ける  パスの端以外の頂点では、枝２本が２色に塗り分けられる •塗り分けた色で、前期か後期かを決める 　（各枝は、学生・研究室の割当てに対応することに注意）

18. 色分け法の正当性 •このグラフを、サイクルと極大なパスに分解する  学生頂点は、パスの端にならない  各研究室頂点を端とするパスは、高々１本 •それぞれのパスとサイクルを、交互に２色で塗り分ける  学生頂点に接続する枝は２色  研究室頂点に接続する枝は、両色同数か１つ異なる

19. 計算時間 •グラフを、サイクルと極大なパスに分解する  グラフ探索で、O（枝数 ＋頂点数 ）の時間でできる •それぞれのパスとサイクルを、交互に２色で塗り分ける  自明、O（枝数 ＋ 頂点数 ）の時間でできる ※たいした手間ではない

20. まとめ •総合科目のクラス分けは、線形計画法（割当て問題）で解くと、すばやくできる •学生の希望も、工夫すればうまく取り入れられるが、抜け道ができてしまうようだ •理学セミナー（旧）のクラス分け（前期後期がある）は、２段階で分けるとうまくいく