PROBABILITÀ

1. PROBABILITÀ Corsi Abilitanti Speciali Classe 59A III semestre - 3

2. ESERCIZI!

3. ESERCIZIO 1 Siano date due urne contenenti palline colorate: la prima contiene due palline bianche e tre nere, mentre la seconda tre bianche e quattro nere. Una pallina a caso viene presa dalla prima urna e messa nella seconda e solo in seguito viene estratta una pallina dalla seconda urna e se ne osserva il colore. Qual è la probabilità che sia nera?

4. ESERCIZIO 2 • Si lancia una moneta due volte. • Calcolare la probabilità che: • Escano due teste • Esca almeno una croce • Non escano croci • Esca una testa e una croce • Esca prima una testa e poi una croce

5. ESERCIZIO 3 Sia dato un mazzo di 40 carte. Calcolare la probabilità di estrarre un asso alla seconda estrazione ( senza reimbussolamento). Calcolare ora la probabilità di estrarre un asso alla terza estrazione, poi alla quarta ……. ecc

6. ESERCIZIO 4 In un sacchetto ci sono 5 palline, 3 rosse e 2 blu. Paolo vince 4 euro se esce una pallina rossa, Giovanni 5 euro se esce blu. Il gioco è equo? In caso negativo, quanto dovrebbe vincere Giovanni perché il gioco sia equo?

7. ESERCIZIO 5 In una classe di 30 alunni, tutti sportivi, 20 praticano il calcio e 15 la pallavolo. Quanti alunni praticano entrambi gli sport? Qual è la probabilità, scegliendo un alunno, che pratichi il calcio? Qual è la probabilità che pratichi il calcio, sapendo che gioca a pallavolo?

8. Pallavolo Calcio 12 3 17 n.alunni = 28 P(calcio) = 15/28 P(calcio\pallavolo) = 3/20 = p(CP)/p(P)

9. Cosa comporta il possedere un’informazione in più? Siano dati due eventi A e B in uno spazio di probabilità e sia p(B) >0. Si dice probabilità di A supposto che si verifichi B (o prob. di A condizionata a B):

10. ESERCIZIO 6 Una famiglia ha due figli. Qual è la probabilità che siano entrambe femmine? Qual è la probabilità che siano entrambe femmine sapendo che una è femmina? Qual è la probabilità, sapendo che la prima è femmina, che il figlio successivo sia femmina?

11. 1/2 1/2 F M 1/2 1/2 1/2 1/2 F M F M {FF; FM; MF; MM} Spazio eventi elementari P1 =1/4 P2= 1/3 P3= 1/2 Grafo ad albero

12. ESERCIZIO 7 In una popolazione il 40% delle persone fuma. Il 25% dei fumatori è affetto da una malattia respiratoria cronica, così come il 7% dei non fumatori. Determinare la probabilità che una persona scelta a caso sia affetta dalla malattia.

13. ESERCIZIO 8 • In un gruppo di 100 neonati 51 sono maschi, 68 hanno gli occhi chiari e 38 hanno entrambe le caratteristiche. • Determinare la probabilità che: • Un neonato sia maschio se ha gli occhi chiari • b) Un neonato abbia gli occhi chiari se è maschio

14. ESERCIZIO 9 Un’urna contiene 10 palline, di cui 6 bianche e 4 rosse. Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa? Estraggo una pallina e la metto in tasca senza guardarla. Ne estraggo una seconda e vedo che è rossa. Qual è la probabilità che la pallina che ho in tasca sia rossa?

15. EVENTI INDIPENDENTI Due eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi di uno non modifica la probabilità che si verifichi l’altro. p(AB) = p(A) p(B)

16. ESERCIZIO 10 In una popolazione nordica un bambino ha la probabilità di nascere con i capelli biondi è del 60%, mentre quella di raggiungere una statura inferiore a 170 cm è del 35%. Le due caratteristiche non sono correlate. Qual è la probabilità per un bambino di quel Paese di avere i capelli biondi e una statura inferiore a 170 cm?

17. ESERCIZIO 11 Estraggo una pallina da un’urna che ne contiene 10 B, 15 R, 25 N, poi, dopo averla rimessa nell’urna, ne estraggo un’altra. Qual è la probabilità di estrarre due palline rosse? E se l’estrazione fosse senza reimbussolamento?

18. ESERCIZIO 11 Estraggo una pallina da un’urna che ne contiene 10 B, 15 R, 25 N, poi, dopo averla rimessa nell’urna, ne estraggo un’altra. Qual è la probabilità di estrarre due palline rosse? E se l’estrazione fosse senza reimbussolamento?

19. L’APPROCCIO ASSIOMATICO

20. L’ambiente ESPERIMENTO - processo qualunque di cui non possiamo conoscere il risultato, ma del quale ci sono noti gli esiti possibili, che chiamiamo casi elementari.  : spazio dei casi elementari (insieme che ha come elementi i casi elementari). • Ogni sottoinsieme di  è detto evento. • Ogni caso elementare è anche un evento •  è l’eventoimpossibile •  è l’evento certo

21. Il linguaggio È QUELLO DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI • Dati due eventi A e B, si indicherà: •   con AB l’evento corrispondente al verificarsi di A o di B ( cioè se si verifica almeno uno dei due eventi) • con AB l’evento corrispondente al verificarsi di A e di B ( cioè se si verificano entrambi gli eventi) • con Ac l’evento corrispondente al non verificarsi di A ( evento contrario ad A) • con A - B l’evento corrispondente al verificarsi di A e al non verificarsi di B (A - B = ABc)

22. Il linguaggio EVENTI INCOMPATIBILI - la loro intersezione è l’insieme vuoto (non possono verificarsi contemporaneamente) EVENTI INDIPENDENTI- il verificarsi di uno non modifica la probabilità del verificarsi dell’altro N.B. Due eventi indipendenti possono essere compatibili Due eventi incompatibili sono sempre dipendenti

23. L’approccio assiomatico  può essere anche un insieme costituito da infiniti elementi Tutti gli eventi sono sottoinsiemi di  , ma non è necessario che tutti i sottoinsiemidello spazio dei casi elementari siano eventi.

24. L’approccio assiomatico Ad ogni esperimento è possibile associare una coppia (; F ), dove -    è l’insieme dei casi elementari ( casi possibili) -  F è una famiglia (-algebra) di sottoinsiemi di  che contiene tutti gli eventi a cui siamo interessati. Es. Nel lancio di un dado, F può essere costituita dagli eventi:“esce un numero pari” e “ esce un numero dispari”

25. L’approccio assiomatico Def. : Misura di probabilità su (; F ) è una funzione da R nell’intervallo [0;1], che soddisfa le seguenti proprietà a) p( ) = 1 b) Se A e B sono elementi disgiunti di F, allora p(AB) = p(A) + p(B) c) se A1, A2, .....,An, ........ è una collezione di elementi disgiunti di F, allora proprietà di additività infinita La terna (; F; p ) è detto spazio di probabilità.

26. L’approccio assiomatico La probabilità costituisce un caso particolare di misura in (; F ) ed è espressa da un numero reale appartenente all’intervallo [0;1] . Una misura è una funzione : F[0;+) tale che ()=0 , e valga la proprietà di additività. Esercizio – Dimostrare le seguenti proprietà: a)    p() = 0; b)    p(Ac) = 1 – p(A) corollario: p()=1-p()=1-1=0

27. L’approccio assiomatico N.B. Gli eventi che non possono accadere hanno probabilità 0, ma non vale il viceversa; cioè non è vero che un evento con probabilità 0 non può accadere. Esercizio – Dimostrare: p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB)

28. L’approccio assiomatico Se  è un insieme finito di cardinalità n, F è l’insieme delle parti di  e p(A) =  A  F, si ritrova la definizione classica di probabilità.