アルゴリズム FK

アルゴリズムFK はじまるよ

アルゴリズムFKとは • はじめに • 単調DNFと単調CNF • 等価性判定と双対性判定 • アルゴリズムFK • 今度のアプローチ • 考えるべきこと • ハイパーグラフ • 木分割 • 参考文献

はじめに アルゴリズムFKとは単調DNFの双対性判定アルゴリズムで、現在最も効率の良いとされているもの実行時間は

単調DNFと単調CNF • DNF（Disjunctive Normal Form, 選言標準形） (x1∧x2∧…∧xk) ∨ (xk+1∧xk+2∧…) ∨… • CNF（Conjunctive Normal Form, 連言標準形） (x1∨x2∨…∨xk) ∧ (xk+1∨xk+2∨…) ∧ … 単調・・・否定を含まない

等価性判定と双対性判定 （問題）二つの否定を含まない（単調な）ブール式が等価であるか？・単調DNFと単調DNFの場合与えられた単調DNFに対してはそれと等価な最小のDNFが一意に決まり、それは容易に求められる ↓ 二つの単調DNFの等価性の判定は容易

・単調DNFと単調CNFの場合 （素朴な方法）単調CNFを分配則によって展開、整理 ↓ 単調DNFと比較このアルゴリズムの最悪の実行時間は指数的 →見方を変えてみる →二つの単調DNFの双対性判定問題とみなす

二つの論理関数 f(x1,x2,…,xm)とg(x1,x2,…,xm)が互いに双対 → A…単調DNF B…単調CNF　とする BのANDとORを入れ替えてできる DNFをB’とおくドモルガンの定理より BとB’は互いに双対 ↓ AとB’が等価 = AとB’が双対

つまり、この問題は「単調DNFの双対性判定問題」と呼べるつまり、この問題は「単調DNFの双対性判定問題」と呼べるこれはさらに短縮して「単調双対性問題（monotone duality）」とも呼ばれる

アルゴリズムFK 単調双対性問題に多項式時間アルゴリズムは存在するか？多項式時間のクラスに属するか、coNP完全であるかは未解決 FredmanとKhachiyanによって no(log n/log log n)時間のアルゴリズムが発表 →アルゴリズムFK

アルゴリズムFK 詳しい内容は省略させてください m(_ _;)m でも簡単に説明すると・・・

問題 DUALITYを考える 入力　単純な集合族の対(F, G) 問い　ClFとClGは互いの双対か？ここで、 ClF…Fの閉包 ClF = ｛J ⊆ [m] | ∃I∈F : I⊆J

ClF = ｛J ⊆ [m] | ∃I∈F : I⊆J} [m] ・・・ m以下の正整数の集合 ex) [3]={1,2,3} [5]={1,2,3,4,5} たとえば m=3 F={{1}{1,3}{2,3}}のとき ClF={{1}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}}

集合族FはDNFを通じて fF(x1,x2,…,xm) = ∨∧xi I∈F i∈I のような単調論理関数fFを表現する実は ClFとClGが互いに双対であればfFとfGも互いに双対だといえる ↓ 問題 DUALITYを解けば単調DNFの双対性判定問題が解ける

ClFとClGが互いの双対 ↓ (1)交差条件 C|Gの要素がすべてFの横断集合（transversal）これは、Gの要素がFの横断集合であることと同値 (2)網羅条件 Fの横断集合すべてがC|Gに属するここで、Fの横断集合とは　　すべてのJ∈Fで、I∩J≠φであるようなIのこと ex) m=3 F={{1}{1,3}{2,3}}のとき {1,2} {1,3} {1,2,3}がFの横断集合交差条件は判定が容易 →主に網羅条件を判定するそれをうまくやったのがアルゴリズムFK

今後のアプローチ • 木分割の幅が小さいようなハイパーグラフについて能率のよい方法を考える

ハイパーグラフ • グラフ点の集合と辺の集合によってできている通常のグラフの辺は２点によって表す ex)V={1,2,3}E={{1,2}{1,3}} • ハイパーグラフ点の集合と辺の集合によってできているしかし辺に含まれる点は２つとは限らない ex)V={1,2,3}E={{1}{1,3}{1,2,3}}

木分割 • 木である • 葉頂点の集合がグラフGの辺集合と等しい • 内部頂点の次数が３以下

参考文献 終わりなのバイバイ♪ • 単調DNFの双対性判定問題Duality Testing of Monotone DNFs （玉木久夫）

アルゴリズム FK

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