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第五章 直線與道路偵測

第五章 直線與道路偵測. 內容. 5.1 前言 5.2 蠻力法 5.3 霍式轉換法 5.4 隨機式方法 5.5 道路偵測 5.6 結論. 數位直線. 直線由虛線兩側的數位邊點所構成。 圖 5.2 .1 中， v 1 、 v 2 、 v 3 和 v 4 皆為邊點。 灰色帶狀區的頻寬以及離散邊點集會影響直線偵測的結果 。 圖 5.2 .1 中的數位直線的邊點集往往並非如圖所 示的這般密集。 利用測邊法得到邊點 集，利用其來決定出直線。. 圖5.2 .1 數位直線. 例如　　　　，有 6 種可能被偵測到的直線。. 5.2 蠻力法.

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第五章 直線與道路偵測

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  1. 第五章直線與道路偵測

  2. 內容 • 5.1 前言 • 5.2 蠻力法 • 5.3 霍式轉換法 • 5.4 隨機式方法 • 5.5 道路偵測 • 5.6 結論

  3. 數位直線 • 直線由虛線兩側的數位邊點所構成。圖5.2.1中，v1、v2、v3和v4皆為邊點。 • 灰色帶狀區的頻寬以及離散邊點集會影響直線偵測的結果。 • 圖5.2.1中的數位直線的邊點集往往並非如圖所 示的這般密集。 • 利用測邊法得到邊點 集，利用其來決定出直線。 圖5.2.1 數位直線

  4. 例如　　　　，有6種可能被偵測到的直線。 5.2 蠻力法 邊點集為V且 　　。每2個邊點可構成一直線，共有 條可能的直線。 令這些直線為　、　、…和　，此處　　　　　。 圖5.2.3 m=4時的所有可能線

  5. 若總得分數超過門檻值 ，則我們稱 為一真正的直線(True Line)。 每一邊點 計算其與 的距離: (5.2.1) 若d小於設定的門檻值 ，例如 ，則邊點 對 投了一票。 此處 代表允許頻寬為1。 圖5.2.4 距離 d 的決定

  6. 已知 ，計算 的貢獻分數，共需花費的時間 。 考慮 條直線，總時間複雜度為 。 定理5.2.1 令邊點集 的邊點數為 ，蠻力法可在 的時 間完成直線偵測的工作。 證明：

  7. 範例 1：今有二維空間上通過直線 的兩點 和 ，試問這兩點在(m,b)參數空間的分 佈情形為何？這裏m代表斜率，而b代表截距。 解答： 這兩點滿足等式 和 如此一來，這兩點必定相交於 參數空間上的一點。 解答完畢

  8. 範例2：利用(m,b)參數空間，可否在O(m2)的時間內完成直線偵測的工作?範例2：利用(m,b)參數空間，可否在O(m2)的時間內完成直線偵測的工作?

  9. ， 由直角三角形 由直角三角形 5.3 霍式轉換法 • 霍式轉換法的精神為將 - 空間轉換成 -參數空間(Parameter Space)，即所謂的法距－法角空間(Normal Distance - Normal Angle Space)。    圖5.3.1 - 空間和 - 空間的關係 (5.3.1)

  10. 令 座標(2,1)，代入式子(5.3.1)後，得到 座標(1,2)，透過式子可得到 座標(0,3)，透過式子可得到 座標(3,3)，透過式子可得到  (2,1)、(1,2)和(0,3)為共線 假設門檻值定為　　 。所以可得知在圖5.3.2中有一條角度為 的直線通過該影像。 圖5.3.2 的影像小例子

  11. 若在某一個投票箱(小房子)中，其記錄的邊點數超過門檻值 ，則投票到該投票箱的那些邊點可說形成了一條可接受的直線。 • 將角度範圍　　切割成n份。 • 使用二維陣列來完成　　參數空間的資料維護。這二維陣列稱作累積陣列(Accumulation Array)。 • 霍式轉換法在累積陣列上的投票動作： 　　　 ｛將二維累積陣列歸零｝ 對邊點集 V的每一邊點 for to n end 圖5.3.3 累積陣列

  12. 定理5.3.1　霍式轉換法可在　　　的時間內完成直線偵測的工作，定理5.3.1　霍式轉換法可在　　　的時間內完成直線偵測的工作， 　　　 此處 且 n 為 的角度分割數。 證明： 針對任一個 ， ，花 的時間完成在 的投票工作。考慮所有的 ，共需 的時間來完成投票的工作。 圖5.1.1 道路影像 圖5.2.2 圖5.1.1的邊點集 圖5.3.4 測得之直線

  13. 範例1：給予下列八個點(2,4), (2,8), (4,3), (4,6), (5,5), (7,3), (10,0), (10,5)，請利用霍式轉換法並配合圖5.3.3所給的二維累積陣列(假設門檻為4) (1)求出滿足條件直線的法距(γ)及法角(θ) (2)並把連成直線的點列出來 解答：令角度以45°為跳躍基準，利用副程式 for i = 0 to n end

  14. 可得到在θ= 45 °且γ=處的投票箱內， 得票數等於5。因為得票數大於4，所以法 距(γ)為 ，而法角(θ)為45 ° 。 將投票箱內每個邊點取出來，可得知 (2,8), (4,6), (5,5), (7,3), (10,0)五個點是連成一直線的。 解答完畢

  15. 5.4 隨機式方法 、 和 在邊點集 中，隨機抽出三個邊點： 。可決定出三條可能線： 和 。 、 到可能線 的距離： (5.4.1) ，由式子(5.4.1)得到三個距離值 、 和 。假設這最小的 這二個邊 距離值為 ，則 和 點便被稱作代理點。代理點形成的直 線可被稱作候選線。 必需小於 圖5.4.1 三個邊點決定出三條可能線 設定的門檻值。

  16. 有時候 、 和 三個邊點靠得太近了， 此一異常現象也必需予以排除。 將邊點集V中的每一邊點代入式子(5.4.1)中，若距離 小於門檻值，代表邊點 對候選線投了一票，我們這時就在計數器C上加1。當邊點集V中的每一邊點都完成了投票後。假設C值 大於門檻值 ，則候選線 是真正線。 圖5.4.2 三個邊點太靠近的異常例子 重覆上面的程序。設定檢查失敗的容忍最大次數。檢查次數一經超過容忍次數，若仍沒有偵測出直線，則強迫重新進行抽樣的動作。

  17. 圖解概念: 在邊點集中，隨機抽出三個邊點： 決定出一條可能線： 到可能線 的距離：

  18. 三個邊點不共線： 三個邊點共線：

  19. 利用計算點到線距離的方式，檢測共線的邊點：利用計算點到線距離的方式，檢測共線的邊點：

  20. 檢測共線的邊點數大於門檻值， 為一條真實的直線

  21. 移除所有與 共線的邊點 利用隨機抽樣程序檢測下一條直線

  22. 隨機式測線法的實驗結果 圖5.4.3 地板影像 圖5.4.4 圖5.4.3的邊點集 圖5.4.5 測出之直線

  23. 比較RHT和RLD的時間複雜度 令 代表邊點數， 代表落在直線上邊點數。令 。 A為所抽樣的二個邊點皆在線上的事件，其機率　　　　　　， B為所抽樣的三個邊點皆在線上的事件，其機率　　　　　　　　。 因為 和 皆很大，所以 而 。 RHT：經過多少次失敗才會使得事件A發生二次為一隨機變數X： 負的二項式分配(Negative Binomial Distribution) RLD：事件B發生過一次，則該候選線即算確定： 幾何分佈(Geometric Distribution)

  24. RHT和RLD的機率分布 圖5.4.6 p=0.5時的 fRHT(x)和 fRLD(x) 圖5.4.7 p=0.25時的 fRHT(x)和 fRLD(x)

  25. 和 　　　　　　 RHT和RLD的累計分布函數 圖5.4.8 p=0.5時的 FRHT(x)和 FRLD(x) 圖5.4.9 p=0.25時的 FRHT(x)和 FRLD(x)

  26. 5.5 道路偵測 (a) 輸入的道路影像 (b) 得到的道路邊圖 圖5.5.1 首先來看一張道路彎曲度較大的邊圖，如圖5.51(a)，很明顯地，圖中的道路邊緣用肉眼看的確蠻像拋物線。利用測邊算子，我們可得到圖5.5.1(a)的邊圖如圖5.5.1(b)。

  27. 根據Kluge[11]的數學推導，在(c,r)影像平面上，道路的邊緣形狀可以下列的拋物線數學式表示:根據Kluge[11]的數學推導，在(c,r)影像平面上，道路的邊緣形狀可以下列的拋物線數學式表示: (5.5.1) • 上式中 k 、β和 v 為待解參數。利用求出的數學表示式，我們就可以標出道路的邊緣了。 • 植基於陣列上的隨機式演算法來求解式(5.5.1)。 • 在邊圖上抽取出四個邊點，將其中的三個邊點代入式(5.5.1)，解出來的三個參數 k 、 β和 v 可用來決定描述道路邊緣的拋物線。

  28. 令選用的三個邊點座標為 、 、 代入式(5.5.1)後，可以得到下列的3×3線性系統: (5.5.2) 利用高斯消去法，式(5.5.2)中的三個參數 k 、 β和 v 就可輕易解出了。圖5.5.1(b)的道路邊緣圖示於圖5.5.2。

  29. 圖5.5.2偵測到的道路邊緣

  30. 5.6 結論 本章中介紹了四種直線偵測的方法。蠻力法在計算速度上太慢了。霍式轉換法是非隨機方法，缺點是使用了很花記憶體的累積陣列以及需檢查全部的邊點。隨機式方法避開上述兩種方法的缺點，且在道路偵測上也有一定的效果。 直線偵測在文件處理時對於文件內的欄位邊界之定位有很大的幫助。 斜截式的霍式轉換法[2]也可經由線性轉換而得到更省記憶體和更快的直線偵測法。

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