離散數學中許多有趣的問題

1. 離散數學中許多有趣的問題 By 孫一凡 老師

2. 簡介 • 「離散數學」亦稱「組合數學」。自古的數學，算術與幾何便分別代表了離散與連續觀念的源頭。 • 兩種思維相互發展，造就了數學世界。但自牛頓開創微積分以後，連續性數學便獨領風騷三百年。今日離散數學的若干題材，雖可在數論、代數、機率、幾何等學科中發現其身影，但始終是理論深度不明的研究課題。

3. 本世紀以來 離散的工具與方法，逐漸在各個學科中被發展及使用，而產生出新的焦點及新的科學意識。一些彼此關連的研究領域，開始匯聚。 特別自三十年代以後，計算科學在理論與實用上都有突破性的發展。這是因為電腦的出現。電腦利用離散的表示處理資訊，離散現象的重要開始被重視。此外，電腦幫人處理大量的有限數及有限結構，跑出了很多新層次的問題需研究。

4. 「離散數學」包含了什麼? • 包羅了許多學域，比較重要的包括下列幾種： • 古典計算問題，包括有限集合上的各類排列組合問題 • 以代數、拓樸方法建立組合學體系的研究 • 以群論、有限幾何為主要工具的設計理論(Design Theory) • 圖形、網路與超圖的理論(Hypergraphs) 請修：離散數學 請修：組合設計初步 請修：圖論初步、離散專題

5. 「離散數學」包含了什麼? • 最佳化、運籌學(Operation Research)與賽局理論(Game Theory) • 編碼(Coding Theory)與密碼理論(Cryptography) • 擬陣(Matroid)、廣義擬陣論(Greedoid) • 離散與計算幾何學 • 演算法則的設計與分析 請修：代數編碼學、密碼學 請修：演算法

6. 離散數學有些什麼應用？ • 在應用方面，最大的市場之一是資訊科學，已成為資訊系的必修課程。數位化的產物，如光碟、大哥大、衛星通訊等等都仰賴錯誤糾正碼(Error Correcting Code)設計以增加可靠性；提款卡、簽帳卡等也是密碼學的附產品；另外，DNA的定序問題，選舉權力的分析，生物食物網的平衡，實驗設計的安排，處處可見離散數學應用的例子。

7. 討論整數 也可說是組合數學的重要關鍵 • 整數（Z）與實數（R）不同，兩者分別代表了離散觀念與連續觀念。 • 因此離散數學中，整數的觀念通常相當重要，整數與整數的關係也是如此，可以廣泛的應用在許多事上。

8. 先看一些整數的性質      來熱熱身！ • 正整數 : 1,2,3,4,5,6, … • 零 : 0 • 負整數 : -1,-2,-3,-4, … 單數(奇數) : ±1,±3,±5, … 雙數(偶數) : 0,±2,±4,±6, …

9. 性質 1 : • 奇數：(odd) 被2除餘1的數字 任何奇數都可表為 2n+1的形式 • 偶數： (even)可被2整除的數字 任何偶數都可表為 2n的形式

10. 動動腦 1 某班49位同學，坐成七行七列。每個座位的前後左右稱做它的鄰座。要同時讓這49位同學中的每一位都換到他的鄰座上去，是否能辦到？ 提示

11. 當一聲令下，所有同學都換到他們的鄰座時，原本坐 位子的同學會換到原本就坐 的位子，可是 . . . . • ：24個 • ：25個   所以，不可能！

12. 性質 2 : • 奇數 + 奇數 = 偶數 • 偶數 + 偶數 = 偶數 • 奇數 + 偶數 = 奇數 • 奇數 - 奇數 = 偶數 • 偶數 - 偶數 = 偶數 • 奇數 - 偶數 = 奇數

13. 動動腦 2 設 a1, a2, a3, … ,a8 是1,2,3,…,8的一種任意排列。  （如：1,8,7,6,5,2,3,4） 令 b1=|a1-a2|,b2=|a3-a4|,… ,b4=|a7-a8| c1=|b1-b2|,c2=|b3-b4| α=|c1-c2| 這樣一直做下去，最後得到的整數α一定會為偶數。

14. 例如： • 1, 8, 7, 6, 5, 2, 3, 4 • 7 1 3 1 • 6 2 • 4 • 4, 8, 1, 6, 5, 3, 2, 7 • 4 5 2 5 • 1 3 • 2 Why？

15. 1. a1+ a2+ a3+ … + a8 = 1+ … + 8 = 36 • 2. b1=|a1-a2|,b2=|a3-a4|, • b3=|a5-a6|,b4=|a7-a8| • 則 b1+b2+b3+b4 •  =|a1-a2|+|a3-a4|+|a5-a6|+|a7-a8| = ? •  如何將絕對值拆掉？ • 3. 若a1＞a2 則|a1-a2|=a1-a2 • a1＜a2 則|a1-a2|=a2-a1

16. 4. 假設絕對值都拆掉了，上式會變成如 • = (a1-a2)+(a4-a3)+(a6-a5)+(a7-a8) • = (a1+a4+a6+a7)-(a2+a3+a5+a8) 之類的 •  (總之，有4個數字在前括號中，另外4 • 個數字在後括號中) • 5. (a1+a4+a6+a7)+(a2+a3+a5+a8) = 36 • 因為A+B=偶數，則A,B必同為偶數或同為 • 奇數，所以A-B必為奇-奇或偶-偶 = 偶數 • 6. 如此一來，上一列的總和為偶數，下一列 • 的總和也必為偶數，則最後的α必為偶數

17. 動動腦 3 在平面上任意標出五個整數座標的點。 證明：其中必至少有兩個點，它們的連線的中點也是整數座標的點。 提示1：(x1,y1)與(x2,y2)的連線中點座標為 ((x1+x2)/2,(y1+y2)/2) 提示2：整數點只會有以下四種奇偶性： (奇,奇) (偶,偶) (奇,偶) (偶,奇)

18. 根據鴿洞原理，5個整數點中必有某兩點的奇偶性相同！根據鴿洞原理，5個整數點中必有某兩點的奇偶性相同！ (因為奇偶性總共只有四種，點有五個) 而當兩點(x1, y1), (x2, y2)有相同奇偶性時 x1+ x2 與 y1 + y2都是偶數 即 (x1+x2)/2 與 (y1+y2)/2皆為整數 ((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)為整數點

19. 性質 3 • 1. 奇數個奇數的和必為奇數 • 2. 如果若干個整數a1a2a3…的連乘積 • 是奇數，則其中每個數ai都是奇數

20. 動動腦 4 設 n 為一奇數。又設 a1,a2, … ,an 是1,2,… ,n 的任意一種排列。 求證： (1- a1)(2- a2) …(n- an)必為偶數。

21. 假設(1- a1)(2- a2) …(n- an)為奇數 則 1- a1 , 2- a2 , … , n- an都是奇數 (1- a1)+(2- a2)+…+(n- an) =1+2+…+n - (a1+a2+…+an) =1+2+…+n - (1+2+…+n) = 0     產生矛盾！

22. 動動腦 5 n 個整數 a1, a2, … ,an 滿足以下等式 (i) a1a2…an = n (ii) a1+a2+…+an = 0 求證： n 為 4 的倍數。

23. 若n為奇數，且滿足 a1a2…an = n • 則， a1、a2、…、an皆為奇數 a1+a2+…+an 即為奇數個奇數的和(=奇數)≠0 且因為a1+a2+…+an=0，所以a1、a2、…、an中 奇數必為偶數個，則偶數也必為偶數個， 即a1、a2、…、an中偶數至少兩個， 所以 a1a2…an 連乘積必為4的倍數！

24. 動動腦 6 某博物館共有25間展覽室，如圖所示，這裡相鄰的展覽室之間都有門相通。參觀者自東北角大門口開始參觀，希望依次不重複地看遍每一間展覽室之後仍回到東北角大門去。請問參觀者有哪幾種路線可以參觀？

25. 如圖示，東北角的展覽室為藍色，無論選擇怎樣路線，看展覽的順序依序為如圖示，東北角的展覽室為藍色，無論選擇怎樣路線，看展覽的順序依序為 • 藍1-橘1-藍2-橘2-藍3-…-橘12-藍13 (因為藍展覽室有13間，橘展覽室有12間) 然後呢？ 藍13必須接到藍1啊！？矛盾！！

26. 定理 1 • 任何一個非完全平方數的正整數都有偶數個因數。 • 如20的正因數有：1, 2, 4, 5, 10, 20 • 25的正因數有：1, 5, 25

27. 動動腦 7 有一百盞燈，排列成一列，從左至右依次標上 1,2,…,100 這些號碼。每一盞燈都有一根拉線開關。另外，還有一百個人。最初燈全是關著的，第一個人走過來把號碼為1的倍數的燈的開關拉一下；接著第二個人走過來把號碼為2的倍數的燈的開關拉一下；第三個人走過來把號碼為3的倍數的燈的開關拉一下；如此繼續著，最後那個人走過來把最後那盞燈的開關拉一下。 這樣做過之後，請問留下哪些燈是亮著的？

28. 號碼為 k 的燈，會不會被第i個人所拉，端看i是不是k的因數，是，則此人拉，不是，則此人不拉！ 所以， 1. 如果 k 有 t 個因數則此盞燈共被拉了t次。 2. 燈原本全都是關的，被拉奇數次的燈是亮的，被 拉偶數次的燈是關的 3. 所以最後亮著的燈為號碼 k 只有奇數個因數， 為完全平方數，即： 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 只有這10盞燈是亮的！

29. 動動腦 8 在一條環形公路上，n個車站被n段公路連接了起來。車站所在地的海拔高度共有5米和10米兩種。相鄰車站若海拔高度相同，則他們之間的公路是水平的；若不同，則他們之間的公路是有坡的。 有一個旅遊者開車在這條環形公路上沿順時針方向繞了一圈，發現有坡的公路段數與水平公路段數一樣多。 求證：車站的個數 n 是 4 的倍數。

30. 5 1 2 1 4 5 2 3 4 6 3 因為：有坡的公路段數與水平公路段數一樣多，表示n為偶數，所以n個路段中一半為水平路段、一半為有坡度路段。 但是，有坡度路段中，一半為上坡、一半為下坡（才回得來啊！），所以，n為4的倍數。

31. 動動腦 9 有 n 個數 α1, α2, … , αn，所有的數只能為1或-1。如果 α1α2+α2α3+…+αn-1αn+αnα1=0 求證： n 是 4 的倍數。 提示：跟上一題有關係

32. 把這 n 個數 α1, α2, … , αn想成 n 個車站， 海拔10公尺的車站標為1，海拔5公尺的車站標為-1。 如此一來，α1α2若為1，表示兩車站同為1或同為-1 α1α2若為-1，則表示兩車站一為1一為-1，也就是 α1α2為1表示該路段為水平路段， α1α2為-1表示該路段為有坡度路段， α1α2+α2α3+…+αn-1αn+αnα1 = 0表示兩種路段 數目相同，而有坡度的路段繞一圈後上坡下坡各一半      因此， n 是 4 的倍數。

33. α1α2 , α2α3 , … , αn-1αn , αnα1當中 1的個數等於-1的個數，所以 n = 2k 如果 α1α2 =1 則 α1=α2 =1 或 α1=α2 = -1 表示從α1到α2符號沒有發生變化 如果 α1α2 =-1 則說明符號有發生變化 從α1開始，最後回到α1，說明這一過程中發生了k次符號變化，但α1與本身是同號的，所以k也為偶數。

34. 動動腦 10 一百個人排成一列縱隊。從頭到尾報完數之後，凡報奇數的一律出列，只有報偶數的仍依次留在隊列之中，接著從頭至尾再次報數，凡報奇數者一律出列，留下報偶數者，接著第三次從頭到尾報數，如此進行下去，請問最後留在隊列中的那個人，他在第一次報數時報多少號？

35. 提示：第一次留下誰？第二次之後留下誰？   第三次之後留下誰？ 第一次留下了：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,… 第二次留下了：4,8,12,16,20,… 第三次留下了：8,16,… 也就是說，擁有2最多的數可以留到越後面，那麼1~100中，誰有2的次數最多呢？ 答案是：64 = 26

36. 定理 2 • 偶數的平方可以被 4 整除。 • 奇數的平方被 8 除，餘數為 1。 • 因為(2k)2 = 4k2 • (2h+1)2 = 4h2+4h+1 = 4h(h+1)+1 •  h與h+1中必有一個為偶數，所以 • 4h(h+1)+1 = 8m+1

37. 動動腦 11 求證： x2+1=8yn沒有整數解。 若 x 是偶數明顯有問題！ 若 x 是奇數，則 x2被 8 除餘 1 所以 x2+1 被 8 除餘 2， 但是右式為 8 的倍數

38. 動動腦 12 求證：正整數a與b， ab為偶數 若且唯若 存在正整數c與d使得 a2+b2+c2 = d2。

39. ab為偶數 若且唯若 存在正整數c與d使得 a2+b2+c2 = d2。 試想：若a,b,c皆為奇數，則   a2、b2與c2皆為除8餘1，也就是合起來 除8餘3，此時d為奇數或偶數皆不合。 若a,b 為奇數，c為偶數，則 左式為(8m+2)+(4k)=4(2m+k)+2為偶數， 故d不能是奇數，但是若d為偶數則右式 為4的倍數，而左式除4餘2，也不合，也就 是說， a2+b2+c2 = d2要成立的話，a,b不能 全為奇數。

40. 先預祝大家聖誕快樂