Vectors and motion in space
Download
1 / 104

Vectors and Motion In Space - PowerPoint PPT Presentation


  • 103 Views
  • Updated On :

Chapter 10. Vectors and Motion In Space. 170 121 Engineering Mathematics II 16 พฤศจิกายน 2547. Content. เนื้อหาในบทนี้ Cartesian Coordinate, vector และ operations ในสามมิติ , เส้นตรงและระนาบในสามมิติ ,

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Vectors and Motion In Space' - taite


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Vectors and motion in space l.jpg

Chapter 10

Vectors and Motion In Space

170 121 Engineering Mathematics II

16 พฤศจิกายน 2547


Slide2 l.jpg

Content

เนื้อหาในบทนี้

Cartesian Coordinate, vector และ operations ในสามมิติ, เส้นตรงและระนาบในสามมิติ,

พื้นผิวสามมิติ, vector-valued functions และ curve สามมิติ, ความยาวของ curve และ

unit vector ที่สัมผัสกับ curve

คำว่า Space (แปลตรงตัวว่า อวกาศ) ในทางคณิตศาสตร์ไม่ได้หมายถึงที่ๆไม่มี

อากาศ แต่หมายถึง ที่ที่บรรจุระบบของเราเอาไว้ เช่นตัวเราเองก็อยู่ใน Three

Dimensional Space คือเราอยู่ในระบบสามมิติที่มีทั้งความกว้าง ความยาวและความสูง

(ความจริง Space ที่เราอยู่มีมากกว่าสามมิติ เช่นทฤษฎีสัมพัทธภาพได้นับเอาเวลา

เป็นอีกมิติหนึ่ง และอาจจะมีมิติมากกว่านี้ที่เหนือการรับรู้ของเราแต่เนื้อหาของเราใน

วิชานี้ใช้แค่ Space สามมิติก็เพียงพอ)


Slide3 l.jpg

Cartesian Coordinate

Z

Z

P(x,y,z)

C

z

Y

Y

(0,0,0)

x

X

X

y

การบอกตำแหน่งใน 3 มิติ เรานิยมใช้ Cartesian Coordinate ซึ่งประกอบ

ด้วยเลข 3 ตัว (x,y,z) ซึ่งแทนระยะทางตามแนวแกน X, Y และ Z ตามลำดับ

วัดเทียบกับจุด Origin (0,0,0)

แกน X แกน Y และแกน Z จัดเรียงตามระบบมือขวา (RightHand System)

ดังรูป กล่าวคือ ถ้านิ้วมือขวาทั้ง 4 กวาดจากแกน X ไปยังแกน Y แล้ว นิ้วหัวแม่มือจะชี้

ไปทางแกน Z


Slide4 l.jpg

Cartesian Coordinate

Cartesian Coordinate มีชื่อเรียกอีกชื่อว่า Rectangular Coordinate

เนื่องจากว่า แกน X, Y, Z ตั้งฉากกันดังนั้นจุด (x,y,z) ก็คือจุดยอดของกล่อง

สี่เหลี่ยม (Rectangular box) จุดที่อยู่ตรงข้ามกับจุด (0,0,0)

Z

P(x,y,z)

Y

(0,0,0)

X


Slide5 l.jpg

Octants

เมื่อเราใช้แกน XYZ เป็นแกนอ้างอิง(Reference frame)เราสามารถแบ่ง

Space โดยใช้ระนาบ x=0, ระนาบ y=0 และระนาบ z=0 ออกเป็น 8 ส่วนเท่าๆกัน

เรียกว่า Octant ส่วนที่ x เป็น +, y เป็น +, z เป็น + เรียกว่า First Octant

Z

ระนาบ x=0

(เรียกว่า YZ plane)

ระนาบ y=0

(เรียกว่า XZ plane)

Y

ระนาบ z=0

(เรียกว่า XY plane)

X


Slide6 l.jpg

Cylinder

ใน 3 มิติเราสามารถสร้างพื้นผิวของทรงกระบอก

ที่มีแกน Z เป็นแกนกลางได้จากสมการ

โดย R คือรัศมีของทรงกระบอก

สมการนี้ออกมาเป็นพื้นผิวทรง

กระบอกได้เพราะว่า ค่า z ไม่ได้

ถูกระบุไว้ในสมการ แปลว่า z

จะเป็นอะไรก็ได้ ดังนั้นที่ความสูง

z = ค่าคงที่ใดๆ เราก็จะได้

วงกลม 1 เสมอ เมื่อนำวงกลมที่

ทุกๆค่า z มาต่อกันก็จะได้ผิว

ทรงกระบอกออกมา

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide7 l.jpg

Component Form of a Vector in Space

เราสามารถอธิบาย vector ใน Space 3 มิติได้หลายรูปแบบ เช่น

แบบ Component Form

Z

v1, v2, v3คือส่วนประกอบของ

ในแนวแกน X,Y, Z ตามลำดับ

Y

X


Slide8 l.jpg

Standard Unit Vectors For 3D Space

เราสามารถอธิบาย vector โดยใช้ standard unit vector ดังนี้

โดย คือ standard

Unit vectors ตามแนวแกน X, Y,

Z ตามลำดับ ดังรูป

Z

Y

X


Slide9 l.jpg

Position Vector

เมื่อเราใช้ vector ในการบอกตำแหน่ง เราเรียก vector นี้ว่า Position vector

เช่น

เป็น Position vector ของจุด P(x,y,z)

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide10 l.jpg

Directed Line Segment

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide11 l.jpg

Magnitude of Vectors

ขนาดของ vector สามารถคำนวณได้จากสูตร

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide12 l.jpg

Unit Vector

ใช้ในการบอกทิศทางของ vector โดยขนาดของ unit vector จะเป็น 1 เสมอ

เราสามารถเขียน vector ในรูปของ “ขนาดและทิศทาง” ได้ดังนี้

ขนาดของ

ทิศทางของ


Slide13 l.jpg

Dot Product

นิยาม

เป็น operation ระหว่าง vector กับ vector ที่ได้ผลเป็น Scalar

สามารถใช้หามุมระหว่าง vector สองตัวได้

ถ้า ตั้งฉากกับ จะได้



Slide15 l.jpg

Vector Projection

Projection of onto หมายถึงส่วนประกอบของ

ในทิศทางเดียวกับ

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide16 l.jpg

Vector Project

เราสามารถแบ่ง ออกเป็น 2 ส่วนประกอบ

ส่วนประกอบของ

ที่ขนานกับ

ส่วนประกอบของ

ที่ตั้งฉากกับ

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide17 l.jpg

Cross Product

นิยาม

เป็น Operation ระหว่าง กับ ที่ให้ผลเป็น

vector อีกตัวที่ตั้งฉากกับทั้ง และ

(นับตามตามกฎมือขวา)

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide18 l.jpg

Cross Product

ขนาดของ เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน

(Parallelogram)ที่มีด้านประกอบเป็น และ

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide19 l.jpg

Properties of Cross Product

1.

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)





Slide23 l.jpg

Application of Cross Product: Torque

Torque ในทางกลศาสตร์หมายถึงแรงกระทำที่ทำให้เกิดการหมุน คำนวณได้จาก

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide24 l.jpg

Box Product (Triple Scalar Product)

นิยาม Box product ระหว่าง (เรียงตามลำดับ) คำนวณจาก

มีค่าเท่ากับปริมาตรของ parallelpiped ดังรูป

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide25 l.jpg

Formula for Box Product

Box product สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร Determinant ดังนี้

คุณสมบัติของ Box product


Slide26 l.jpg

Lines in Space

เราสามารถสร้างเส้นตรงได้ ก็ต่อเมื่อเรารู้จุด P0ที่เส้นตรงลากผ่าน และทิศทางv

ของเส้นตรง

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

เมื่อเรารู้ว่าเส้นตรงผ่านจุด P0และ P เราจะได้ว่า vector ขนานกับ v

กล่าวคือ

tเป็นค่า scalar ค่าหนึ่ง


Slide27 l.jpg

Equations for a Line in Space

และ

จาก

เราได้

เขียนให้อยู่ Parametric Equations for a Line เราได้

เราสามารถคำนวณหาจุดใดๆบนเส้นตรงนี้ได้ตามสมการข้างบนนี้

ถ้าเขียนในรูป vector equation เราจะได้

โดย

Position

vector


Slide28 l.jpg

Example: Lines in Space

จงเขียนสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (-2,0,4) และ (0,4,2)

วิธีทำ 1. คำนวณทิศทาง

2. เขียนสมการ

0

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide29 l.jpg

Distance Between a Point and a Line

ระยะทางจากจุด S ถึงเส้นตรง L คำนวณได้จาก

L


Slide30 l.jpg

Planes in Space

เราจะสร้างระนาบได้ก็ต่อเมื่อเราทราบตำแหน่งของจุด P0ที่อยู่บนระนาบและ

Vectorที่ตั้งฉากกับระนาบ (Normal vector)

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

เนื่องจาก ตั้งฉากกับระนาบ ดังนั้น Dot product ระหว่าง vector ใดๆใน

ระนาบกับ จะเป็น 0 เสมอ


Slide31 l.jpg

Equations for a Plane in Space

ให้ P0(x0,y0,z0) และ P(x,y,z)

เป็นจุดใดๆบนระนาบ M เราจะได้

เป็น vector บนระนาบ M ดังนั้นเราจะได้สมการของระนาบเป็น

เมื่อ

เป็น normal vector ของระนาบ M


Slide32 l.jpg

Equations for a Plane in Space

จากสมการระนาบ

เราสามารถเขียนเป็น

จะได้

หรือ

โดย


Slide33 l.jpg

Example: a Plane in Space

จงสร้างสมการของระนาบที่ผ่านจุด A(0,0,1), B(2,0,0) และ C(0,3,0)

วิธีทำ 1. สร้าง vector 2 ตัวที่อยู่บนระนาบนี้

2. คำนวณ normal vector ของระนาบ

3. จัดรูป

=


Slide34 l.jpg

Example: a Plane in Space

ระนาบที่ผ่านจุด A(0,0,1), B(2,0,0) และ C(0,3,0)

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide35 l.jpg

Lines of Intersection Between Planes

เราสามารถคำนวณหาทิศทางvของเส้นตรงที่เกิดจากการตัดกันของระนาบได้จาก

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide36 l.jpg

Example: a Line of Intersection Between Planes

จงคำนวณหาเส้นตรงที่เกิดจากการตัดกันระหว่างสองระนาบ

1. คำนวณทิศทางของเส้นตรง

2. คำนวณหาจุดที่เส้นตรงผ่าน

3. สร้างสมการเส้นตรง


Slide37 l.jpg

Distance Between a point and a Plane

ระยะทางจากจุด S ถึงระนาบ M

คำนวณได้จาก

q

M

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)



Slide39 l.jpg

Cylinders

ตามปกติเมื่อพูดถึง Cylinder เรามักจะนึกถึงท่อทรงกระบอกกลมๆ แต่ในที่นี้

Cylinder ไม่ได้จำกัดอยู่ที่ทรงกระบอกกลมๆอย่างเดียว แต่ Cylinder หมายถึง

พื้นผิวที่ประกอบขึ้นมาจากเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรงเส้นหนึ่งที่กำหนดให้

ตัวอย่าง

สมการ ใน space

3 มิติคือรูปนี้

เส้นตรง ขนานกับ

แกน z เสมอ ไม่ว่า x0เป็นค่าอะไร

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide40 l.jpg

Example: Cylinder

คือพื้นผิวในรูป

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide41 l.jpg

Cylinders

จากตัวอย่างจะเห็นว่า

- ถ้าสมการของ Cylinder อยู่ในรูป f(x,y) = c เราจะได้ Cylinder ที่ประกอบ

ด้วยเส้นตรงที่ขนานกับแกน Z

- ถ้าสมการของ Cylinder อยู่ในรูป f(x,z) = c เราจะได้ Cylinder ที่ประกอบ

ด้วยเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y

สรุปได้ว่า

สมการของ 2 ตัวแปรในระบบ Cartesian coordinate 3 มิติ

คือสมการของ Cylinder ที่ขนานกับแกนของตัวแปรที่เหลือ

อย่างไรก็ตาม Cylinder ไม่จำเป็นที่จะต้องขนานกับแกนใดแกนหนึ่งเสมอไป

Cylinder อาจจะวางเฉียงๆก็ได้


Slide42 l.jpg

Example: Cylinder

พื้นผิวของ Cylinder

(ขนานกับแกน X)

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide43 l.jpg

Quadric Surfaces

Quadric Surface เป็น graph ใน Space ของสมการดีกรี 2 ของตัวแปร

x,y, และz โดยมีรูปแบบทั่วไปดังนี้

(1)

โดย A, B, C, D, E, F, G, H, J และ K คือค่าคงที่

สำหรับใน 2 มิติเราคงจะคุ้นเคยกับ Ellipses, Parabolas และ Hyperbolas

เช่นเดียวกัน ใน Space 3 มิติเรามี Quadric Surfaces ที่สำคัญคือ

Ellipsoids, Paraboloids, Elliptic Cones และ Hyperboloids

สำหรับทรงกลม (Sphere)นับเป็น Ellipsoid แบบหนึ่ง


Slide44 l.jpg

Analysis of Quadric Surface

เวลาที่เราต้องการวิเคราะห์ถึงรูปร่างของ Quadric surface ว่าเป็นอย่างไร เรามักจะ

นิยมสังเกตที่ Graph ที่เกิดจากการตัดกันของ Quadric surface กับระนาบ XY,

ระนาบ YZ และระนาบ XZ (ระนาบเหล่านี้เรียกว่า Coordinate planes)

เมื่อต้องการดู Graph ที่เกิดจากการตัดกันของ Surface กับระนาบ YZ เราสามารถ

ทำได้โดยการตั้งค่าให้ x ในสมการของ Quadric surface เป็น 0

เมื่อต้องการดู Graph ที่เกิดจากการตัดกันของ Surface กับระนาบ XY เราสามารถ

ทำได้โดยการตั้งค่าให้ z ในสมการของ Quadric surface เป็น 0

เมื่อต้องการดู Graph ที่เกิดจากการตัดกันของ Surface กับระนาบ XZ เราสามารถ

ทำได้โดยการตั้งค่าให้ y ในสมการของ Quadric surface เป็น 0

Graph ที่เกิดจาการตัดกันของระนาบกับ Quadric Surface จะเป็น Curve

ในเรื่องภาคตัดกรวย


Slide45 l.jpg

Ellipsoid

สมการทั่วไปของ Ellipsoid ที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ

(2)

c

Ellipsoid ที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) จะมี

จุดตัดแกน X ที่ (a,0,0) และ (-a,0,0)

มีจุดตัดแกน Yที่ (0,b,0) และ (0,-b,0)

มีจุดตัดแกน Z ที่ (0,0,c) และ (0,0,-c)

a

b

-c

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide46 l.jpg

Cross Sections of an Ellipsoid

เมื่อ set ให้ z = z0เราได้

เมื่อ set ให้ z = 0 เราได้วงรี

เมื่อ set ให้ x = 0 เราได้วงรี

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide47 l.jpg

Cross Sections of an Ellipsoid

จะเห็นว่า Cross sections ของ Ellipsoid กับ Coordinate planes

จะเป็นสมการของวงรี (Ellipse)เสมอ

สำหรับ Cross section ของ Ellipsoid กับระนาบ z = z0เราจะได้

จัดรูปใหม่เป็น

ซึ่งยังคงเป็นสมการของวงรี

ถ้าค่า a,b,c ของสมการ Ellipsoid คู่ใดคู่หนึ่งเท่ากันเราเรียกว่า Ellipsoid

of Revolutionและถ้าค่า a,b,c เท่ากันทั้งหมดเราจะได้ทรงกลม(Sphere)


Slide48 l.jpg

Elliptic Paraboloid

สมการทั่วไปของ Elliptic Paraboloid ที่สมมาตรกับแกน X และ Y คือ

(3)

สมการนี้ผ่านจุด Origin (0,0,0)

ซึ่งเป็นจุด Vertex ของ Graph

และมีแกน z เป็นแกนของ Paraboloid

รูปทรงของจานรับส่งสัญญาณดาวเทียม

โดยทั่วไปที่ใช้ในการสื่อสารเป็นทรงของ

Elliptic Paraboloid ที่มีค่า a =b

(0,0,0)

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide49 l.jpg

Cross Sections of Paraboloid

เมื่อ set ให้ y = 0 เราได้

เมื่อ set ให้ z = c เราได้วงรี

เมื่อ set ให้ x = 0 เราได้

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide50 l.jpg

Cross Sections of Paraboloid

- Cross section ที่เกิดจากระนาบ z = z0, z0 > 0 ตัด Paraboloid

ในสมการที่ 3 จะเป็นรูป Ellipse เสมอ

- ระนาบแนวดิ่งที่บรรจุแกน z เอาไว้เมื่อตัดกับ Paraboloid ในสมการที่ 3

จะได้ Parabola เสมอ


Slide51 l.jpg

Cone

สมการทั่วไปของ Elliptic Paraboloid ที่มีแกน z เป็นแกนของกรวย คือ

(4)

สมการนี้ผ่านจุด Origin (0,0,0)

และสมมาตรกับแกน X และ Y

ถ้าค่า a และ b เท่ากัน เราจะได้กรวย

ที่เรียกว่า Circular cone

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide52 l.jpg

Cross Sections of a Cone

เมื่อ set ให้ z = c เราได้วงรี

1

เมื่อ set ให้ x = 0

เราจะได้เส้นตรง 2 เส้น

เมื่อ set ให้ y = 0

เราจะได้เส้นตรง 2 เส้น

เมื่อ set ให้ z = 0

เราจะได้จุดตัดแกน z

ซึ่งเท่ากับจุด Origin

(0,0,0)

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide53 l.jpg

Cross Sections of a Cone

สำหรับสมการของกรวย เมื่อ set ให้ z = z0โดย z0ไม่เท่ากับ 0, เราได้วงรี

เมื่อ set ให้ x = x0โดย x0ไม่เท่ากับ 0 เราได้

เมื่อ set ให้ y = y0โดย y0ไม่เท่ากับ 0 เราได้


Slide54 l.jpg

Cross Sections of a Cone

- Cross section ที่เกิดจากระนาบ z = z0, z0ไม่เท่ากับ 0, ตัดกรวยในสมการ

ที่4 จะเป็นรูป Ellipse เสมอ

- ระนาบแนวดิ่งที่บรรจุแกน z เอาไว้เมื่อตัดกับกรวยในสมการที่4 จะได้เส้นตรง

2 เส้นที่ตัดกันที่จุด (0,0,0) เสมอ


Slide55 l.jpg

Hyperboloid

Hyperboloid มี 2 ชนิด

Hyperboloid of One Sheet

Hyperboloid of Two Sheets

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide56 l.jpg

Hyperboloid of One Sheet

สมการทั่วไปของ Hyperboloid of One Sheet ที่มีแกนเป็นแกน Z คือ

(5)

สมการนี้ได้พื้นผิวเป็นแผ่นเดียว ที่สมมาตรกับ

Coordinate planes ทั้งสาม

ถ้า a = b เราเรียก Hyperboloid นี้ว่า

Surface of Revolution

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide57 l.jpg

Cross Sections of Hyperboloid of One Sheet

เมื่อ y = 0 เราได้

เมื่อ z = c เราได้

เมื่อ z = 0 เราได้

เมื่อ x = 0 เราได้

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide58 l.jpg

Cross Sections of Hyperboloid of One Sheet

- Cross section ที่เกิดจากระนาบ z = z0ตัด Hyperboloid ในสมการ

ที่ 5 จะเป็นรูป Ellipse เสมอ ถ้า a = b เราจะได้รอยตัดเป็นรูปวงกลม

- ระนาบแนวดิ่งที่บรรจุแกน z เอาไว้เมื่อตัดกับ Hyperboloid ในสมการที่ 5

จะได้ Hyperbola เสมอ


Slide59 l.jpg

Hyperboloid of Two Sheets

สมการทั่วไปของ Hyperboloid of Two Sheets ที่มีแกนเป็นแกน Z คือ

(6)

สมการนี้ได้พื้นผิวเป็น 2 แผ่นแยกกัน

ซึ่งจะสมมาตรกับ coordinate planes ทั้งสาม

แต่จะไม่ตัดกับระนาบ XY

จุด (0,0,c) และ (0,0,-c) เป็นจุด Vertices

ของ Graph

(0,0,c)

(0,0,-c)

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide60 l.jpg

Cross Sections of Hyperboloid of Two Sheets

เมื่อ y = 0 เราได้

เมื่อ x = 0 เราได้

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide61 l.jpg

Cross Sections of Hyperboloid of Two Sheets

- Cross section ที่เกิดจากระนาบ z = z0, |z0| > c, ตัด Hyperboloid

ในสมการที่ 6 จะเป็นรูป Ellipse เสมอ ถ้า a = b เราจะได้รอยตัดเป็นรูปวงกลม

- ระนาบแนวดิ่งที่บรรจุแกน z เอาไว้เมื่อตัดกับ Hyperboloid ในสมการที่ 6

จะได้ Hyperbola เสมอ


Slide62 l.jpg

Hyperboloids

Both hyperboloids are asymptotic to cone

จากสมการที่ 5 และ 6 ถ้าเราเปลี่ยน

เลข 1 ทางขวาของสมการให้เป็น 0

เราจะได้สมการของกรวย

หมายความว่า Hyperboloid

สามารถบรรจุ (ถูกล้อม) ไว้ในกรวยได้

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide63 l.jpg

Hyperbolic Paraboloid: a Saddle

พื้นผิวทรงอานม้า (Saddle)หรือ Hyperbolic Paraboloid มีสมการดังนี้

(7)

โดย c > 0

Saddle นี้สมมาตรกับ

ระนาบ x=0 (ระนาบ YZ)

และระนาบ y = 0 (ระนาบ XZ)

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide64 l.jpg

Cross Sections of a Saddle

เมื่อ x = 0 เราได้

เมื่อ z = c เราได้

เมื่อ z = -c เราได้

(เมื่อ y = 0)

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide65 l.jpg

Cross Sections of a Saddle

- Cross section ที่เกิดจากระนาบ z = 0ตัดกับ Saddle ในสมการที่ 7

จะเป็นเส้นตรง 2 เส้นที่ตัดกันที่จุด (0,0,0)

- Cross section ที่เกิดจากระนาบ z = z0, z0ไม่เท่ากับ0, ตัดกับ Saddle

ในสมการที่ 7 จะเป็นรูป Hyperbola

- ระนาบตั้งฉากกับแกน X เมื่อตัดกับ Saddle ในสมการที่ 7 จะได้ Parabola

ที่หงายขึ้น

- ระนาบตั้งฉากกับแกน Y เมื่อตัดกับ Saddle ในสมการที่ 7 จะได้ Parabola

ที่คว่ำลง


Slide66 l.jpg

Saddle Point

เมื่อเราให้ x = 0 เราจะได้ Parabola หงายที่มีจุดต่ำสุด (minimum) ที่ (0,0,0)

รวมแล้วเรียกว่าจุด

Minimax หรือ

Saddle Point

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

เมื่อเราให้ x = 0 เราจะได้ Parabola คว่ำที่มีจุดสูงสุด (Maximum) ที่ (0,0,0)


Slide67 l.jpg

Vector-Valued Functions in 3-D: Space Curve

Space curve ในที่นี้หมายถึง curve ใน 3 มิติซึ่งประกอบด้วย 3 components

จุด P(x,y,z) บน curveอยู่ในรูป

I = time interval

เราสามารถจินตนาการ

Space curve ได้

กับทางเดินของอนุภาค

ที่ล่องลอยในอวกาศ

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

Space curve เขียนในรูป Position vector ได้เป็น


Slide68 l.jpg

Examples: Space Curves

Function เรียกว่า vector-valued function หรือ vector function

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide69 l.jpg

Example: Helix

Helix คือ space curve ที่มีลักษณะเป็นเหมือนขดสปริง สำหรับ Helix ในรูป

อธิบายได้ด้วยสมการ

เมื่อพิจารณาเฉพาะค่า x และ y เราจะได้

ถ้าใน 2 มิติแล้ว (x,y) นี้จะเป็นจุดบนวงกลม

เนื่องจากตำแหน่ง x และ y เคลื่อนที่เป็นวงกลม

ขณะที่ค่าความสูง z ของจุดบน Helix แปรผัน

ตรงกับ t ทำให้เกิดทางเดินแบบขดสปริงขึ้น

จากรูปจะพบว่า Helix รูปนี้อยู่บน Cylinder

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide70 l.jpg

Examples: Helix

อัตราการเปลี่ยนค่า z เป็นตัวกำหนดความเร็วในการเคลื่อนที่ในแกน z ซึ่ง

ส่งผลต่อจำนวนขดของ Helix ต่อระยะทางดังแสดงในรูป

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide71 l.jpg

Examples: Helix

MATLAB Code

กำหนดค่าเริ่มต้นให้ t=0 และให้ t เพิ่มค่าทีละ 0.1

จนถึงค่าสุดท้าย t = 30

t = 0:0.1:30;

x = cos(t);

y=sin(t);

z = t;

plot3(x,y,z)

คำนวณค่า

x,y,z

แสดงผล


Slide72 l.jpg

Limit

นิยามของ Limit สำหรับ vector functions

(คือทำ limit แต่ละ component ของ นั่นเอง)

Continuity

A vector function จะต่อเนื่อง(continuous)ที่จุด t = t0

ก็ต่อเมื่อ

จะเป็น continuous function ก็ต่อเมื่อ ต่อเนื่องที่ทุกๆจุด

ใน Domain ของ


Slide73 l.jpg

Example: Limit and Continuity

ต่อเนื่องหรือไม่


Slide74 l.jpg

Derivative at a Point

นิยาม

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

A vector function is

differentiable at t = t0 if f, g and h are differentiable at t0.

is differentiable if it is differentiable at every

point of its domain.


Slide75 l.jpg

Tangent Line

Z

Y

X

เส้นตรงที่สัมผัสกับ ที่จุด P0(x0,y0,z0) คือเส้นตรงที่ผ่านจุด P0 และมีทิศทาง

ขนานกับ

Tangent Line

P0

0


Slide76 l.jpg

Smooth Curve

Curve traced by is smooth if is continuous

and

Piecewise Smooth

Curve ที่ประกอบด้วย smooth curve หลายๆ curve มาต่อกัน

เราเรียกว่า Piecewise smooth curve


Slide77 l.jpg

Velocity, Speed, Acceleration, Direction of Motion

นิยาม ถ้าให้ เป็นตำแหน่งของอนุภาคเคลื่อนที่ไปบน smooth curve

1. ความเร็ว (Velocity)

จะสัมผัสกับ curve

2. อัตราเร็ว (Speed) หมายถึงขนาดของความเร็ว

3. ความเร่ง (Acceleration)

4. ทิศทางการเคลื่อนที่ (Direction of Motion)คือ


Slide78 l.jpg

Example: A Hang Glider

เครื่องร่อนเครื่องหนึ่งเคลื่อนที่เป็นรูปก้นหอยตามสมการนี้

จงคำนวณหา Velocity, Speed, Acceleration และจงคำนวณหาเวลาที่

Velocity กับ Acceleration ตั้งฉากกัน


Slide79 l.jpg

Differentiation Rules for Vector Functions

ให้ และ เป็น Differentiable vector functions ของตัวแปร t

เป็นค่าคงที่แบบ vector, cเป็นค่าคงที่แบบ scalar, และ

fเป็น differentiable scalar function

1. Constant Function Rule:

2. Scalar Multiple Rules:

3. Sum and Difference Rules:


Slide80 l.jpg

Differentiation Rules for Vector Functions

4. Dot Product Rule

5. Cross Product Rule

6. Chain Rule




Slide83 l.jpg

Derivative of Triple Scalar Product

Show that if are differentiable vector

functions of t, then


Slide84 l.jpg

Vector Functions of Constant Length

ตัวอย่างโจทย์กรณีพิเศษ เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่บนผิวทรงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุด Origin

Position vectorของอนุภาคจะมีความยาวเท่ากันหมด ไม่ว่าอนุภาคจะอยู่ที่ใด

บนผิวทรงกลม เราเรียกว่า Vector function of Constant length

จากคุณสมบัติที่ว่า สัมผัส

กับ Curve เสมอ และ Curve นี้อยู่บน

ผิวทรงกลม ทำให้เราได้ว่า

ตั้งฉากกับ เสมอดังรูป

หรือ

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide85 l.jpg

Property of Vector Functions of Constant Length

จากคุณสมบัติ

Take derivative ทั้งสองข้าง

จะได้ว่า


Slide86 l.jpg

Integral of Vector Function

คือค่าคงที่แบบ vector

A differentiable vector function is an antiderivative

of a vector function on an interval I if

at each point of I.

Indefinite Integral

ตัวอย่าง


Slide87 l.jpg

Definite Integral

If the component of are

Integrable over [a,b], then the definite integral of

From a to b is

Example


Slide88 l.jpg

Example: the Flight of a Glider

An acceleration of a glider is

At time t = 0, the glider is at (3,0,0) with velocity

Find the equation of the glider position

จาก

ได้

คำนวณหา โดยการแทนค่า

ดังนั้นได้

จาก

ได้

คำนวณหา โดยการแทนค่า

ดังนั้นได้


Slide89 l.jpg

Example: Motion along a Cycloid

Curve

is called a cycloid.

Find the maximum and

Minimum of and


Slide90 l.jpg

Arc Length Along a Curve

ความยาวของ smooth curve

คำนวณได้จาก

or


Slide91 l.jpg

Example: Distance Traveled by a Glider

ตำแหน่งของเครื่องร่อนเครื่องหนึ่งอธิบายได้จาก

จงคำนวณหาระยะทางที่เครื่องร่อนเดินทางจากเวลา

t = 0 ถึง t = 2p

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide92 l.jpg

Arc Length As a Function of Time

เราสามารถคำนวณ Arc length ที่เป็น function of tได้จาก

โดยมี เป็น Base point

ในกรณีนี้เราจะได้ s(t) เป็นฟังก์ชันของเวลาที่บอกว่าระยะทางจากจุด

ถึงตำแหน่งที่เวลาtเป็นเท่าไร

เมื่อให้

ตัวอย่าง


Slide93 l.jpg

Arc Length Parameterization

จากฟังก์ชัน ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างเวลาและ

ความยาวของ curve

ถ้าเราสามารถหา inverse function ของ s(t) ได้

กล่าวคือ

เราจะสามารถเขียน ให้อยู่ในรูป ได้

ซึ่งจะได้ตำแหน่ง ในรูปของฟังก์ชันของระยะทางsจากจุดเริ่มต้น

เราเรียกการเขียน ในรูปฟังก์ชันของ sว่า

Arc length parameterization


Slide94 l.jpg

Arc Length Parameterization

โดยทั่วไปเรามักจะอธิบายตำแหน่งของวัตถุในรูปของฟังก์ชันของเวลา

เช่น มีรถยนต์คันหนึ่งแล่นออกจากจังหวัดขอนแก่นไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือด้วย

ความเร็ว 90 km/hr. อยากทราบว่าอีกหนึ่งชั่วโมงต่อมารถยนต์คันนี้อยู่ที่ใด

ซึ่งคำตอบก็ไม่อยาก เพราะเอาเวลาคูณความเร็วเข้าไปก็จะได้ตำแหน่ง

แต่ถ้าถามว่า รถยนต์คันนี้อยู่ที่ตำแหน่งใดเมื่อรถยนต์แล่นไปได้ระยะทาง 30 km

จากจังหวัดขอนแก่น คำตอบนี้เราจะต้องทราบว่า ตำแหน่งของรถ สามารถคำนวณ

จากระยะทางได้อย่างไรเสียก่อน ซึ่งวิธีการนี้เราต้องใช้ Arc length

parameterization


Slide95 l.jpg

Length is independent of Parameterization

ในการทำ Arc length parameterization นั้น function

ที่ได้จะไม่ขึ้นกับ parameter ไม่ว่าเราจะใช้ parameter ที่แตกต่างกัน

ได้

ได้

หมายเหตุ ตำแหน่งของอนุภาคในข้อ 1 และข้อ 2 อยู่บนทางเดินเดียวกันแต่อนุภาคในข้อ

หนึ่งมีอัตราเร็วเป็นสองเท่าของอนุภาคในข้อ 2


Slide96 l.jpg

Speed on a Smooth Curve

Speed หรืออัตราเร็วคำนวณได้จาก ซึ่งจากนิยาม อัตราเร็วหมายถึงอัตราการ

เปลี่ยนแปลงระยะทาง sเทียบกับเวลาt

เราจะได้

Unit Tangent Vector

ทิศทางการเคลื่อนที่คำนวณได้จาก

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)

เนื่องจาก

และ

ดังนั้น


Slide97 l.jpg

Unit Tangent Vector

นิยาม

Example


Slide98 l.jpg

Curvature

Curvature เป็นสิ่งที่บอกว่า curve มีการหมุนหรือการตีโค้งอย่างไร

โดยเราสามารถดูได้จากอัตราการเปลี่ยนทิศทางของ curve เป็นหลัก

นิยาม

If is the unit tangent vector of a smooth curve,

the curvature function of a smooth curve is

เราสามารถคำนวณจาก


Slide99 l.jpg

Example: Curvature of a Circle

วงกลมรัศมี a สามารถเขียนเป็น


Slide100 l.jpg

Principal Unit Normal

โดยปกติ จะตั้งฉากกับ ทิศทางของ คำนวณได้จาก

นิยาม At any point where the principal unit normal

vector for a curve in the plane is

เราสามารถคำนวณได้จาก

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)



Slide102 l.jpg

Circle of Curvature

Definition: The circle of curvature or osculating circle at a point P

on a plane curve where is the circle in the plane of the curve that

1. is tangent to the curve at P

2. has the same curvature the curve has at P

3. lies toward the concave or inner side of the curve

Radius of Curvature

Center of Curvature = center of the circle

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide103 l.jpg

Example: Find Osculating Circle of a Parabola at t = 0

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


Slide104 l.jpg

Tangential and Normal Components of Acceleration

จาก

ดังนั้น

(ภาพจากหนังสือ Thomas’ Calculus)


ad