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§3-2单变量系统的实现

§3-2单变量系统的实现. 首先研究单变量系统的可控性、可观性与传递函数零、极点相消之间的关系。. 一、可控性、可观测性与零极点对消问题. 考虑单变量系统，其动态方程为. (3-22)式对应的传递函数为：. 定理3-6 动态方程(3-22)可控、可观测的 充分必要条件 是 g ( s ) 无零、极点对消，即 D ( s ) 和 N ( s ) 无非常数的公因式。. 证明： 首先用反证法证明条件的必要性。若有 s = s 0 既使 N ( s 0 )=0， 又使 D ( s 0 )=0：. 利用恒等式. 将 s = s 0 代入，可得.

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§3-2单变量系统的实现

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  1. §3-2单变量系统的实现 首先研究单变量系统的可控性、可观性与传递函数零、极点相消之间的关系。 一、可控性、可观测性与零极点对消问题 考虑单变量系统，其动态方程为 (3-22)式对应的传递函数为：

  2. 定理3-6动态方程(3-22)可控、可观测的充分必要条件是g(s) 无零、极点对消，即 D(s)和N(s)无非常数的公因式。 证明：首先用反证法证明条件的必要性。若有s=s0 既使N(s0)=0，又使D(s0)=0： 利用恒等式

  3. 将s= s0代入，可得 将上式前乘 c、后乘 b后即有 式(1)前乘cA、后乘b，并考虑到(2)的结果后即有 ……..，依次类推可得

  4. 这组式子又可写成 因为假设动态方程可观测，上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，故

  5. 考虑到式(1-45)，我们有 这与系统可控的假设相矛盾。

  6. 矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子，即g(s)不会出现零、极点相消的现象。 充分性：即若N(s)和D(s)无相同因子，要证明动态方程(3-30) 是可控、可观的。用反证法。设系统不是既可控又 可观测的。不妨设 (3-30) 是不可控的。这时可按可 控性分解为(2-36) 的形式，并且可知这时传递函数，

  7. 在上面的式子中，D(s)是n次多项式，而D1(s)是n1次多项式，由于系统不可控，所以 n1 < n，而N(s)和D(s)无相同因子可消去，显然 这和两者应相等矛盾。同样可以证明动态方程也不可能不可观测。 证完。

  8. 推 论 • 单输入系统(A, b)可控的充分必要条件是adj(sIA)b与D(s)=Δ(s)无非常数公因式; • 单输出系统(A, c)可观的充分必要条件是cadj(sIA)与D(s)=Δ(s)无非常数公因式。 对单输出系统亦有类似的结论。

  9. 零极对消问题小结 • 一、 • 若 cadj(sIA)b与A的特征式Δ(s)有公因子ss0 , 则s0 或是不可控模态，或是不可观模态，或是既不可控又不可观的模态； • 若adj(sIA)b与Δ(s)有公因子ss0 , 则s0是不可控模态 • 若cadj(sIA)与Δ(s)有公因子ss0 , 则s0是不可观模态

  10. 二、 若 adj(sIA)与Δ(s)有零、极对消，则 • ad(sIA)b与Δ(s)有零、极对消； • cadj(sIA)与Δ(s)有零、极对消； • 即使adj(sIA)与Δ(s)无零、极对消，也有可能 adj(sIA)b与Δ(s) 、 cadj(sIA)与Δ(s)都有零、极对消。 但即使消去数值上相同的模态，也未必是既不可控又不可观的模态。见下面的例1：

  11. 例题 1 不可控模态：1； 不可观模态：1； 既不可控又不可观的模态：无。 adj(sIA)与 Δ(s)有 s=1 对消； adj(sIA)b与Δ(s)有s=1 对消； cadj(sIA)与Δ(s)有s=1 对消。 尽管消去了数值上相同的模态 s=1，但s=1却不是既不可控又不可观的模态。

  12. adj(sIA)与Δ(s)无零、极对消，也有可能有既不可控又不可观的模态。见下面的例2。adj(sIA)与Δ(s)无零、极对消，也有可能有既不可控又不可观的模态。见下面的例2。 例题2 不可控模态：3、4, adj(sIA)b与 Δ(s)可对消 (s3)(s4)； 不可观模态：2、4, cadj (sIA)与 Δ(s)可对消 (s2)(s4)； 既不可控又不可观的模态：4 , (但 adj(sIA)却与Δ(s)无对消！)。

  13. 总结例1和例2： • 既不可控又不可观的模态一定使adj(sIA)b与Δ(s)有零、极对消，也使cadj(sIA)与Δ(s)有零、极对消； • 反之，即使adj (sIA)b与Δ(s)有零、极对消、 cadj(sIA)与Δ(s)有零、极对消，也不一定adj(sIA) 与Δ(s)有零、极对消(例题2), 也不一定有既不可控又不可观的模态(例题1 )。

  14. 无必然联系 有既不可控又不可观的模态s-s0 。 adj(sI-A)与Δ(s)有s-s0对消 反之不成立 反之不成立 adj(sI-A)b与Δ(s)有s-s0对消， cadj(sI-A)与Δ(s)有s-s0对消。 adj(sI-A)b与Δ(s)有s-s0对消， cadj(sI-A)与Δ(s)有s-s0对消。

  15. 如何从对消中求既不可控又不可观的模态? • cadj(sIA)与A的特征式Δ(s)消去的是不可观模态，记为集合｛｝ • adj(sI-A)b与Δ(s)消去的是不可控模态。将公因式消去后的adj(sIA)b与Δ(s)分别记为H(s)和Δ1(s)(留下了可控的部分) • 若cH(s)和Δ1(s)仍有公因子相消,设消去的模态之集合,记为集合｛｝(这是可控、不可观的部分) • ｛｝ ｛｝即为既不可控又不可观的模态集合。(不可观的除掉可控、不可观的部分就是既不可控又不可观的部分)

  16. 二、有理传递函数的最小实现 设给定有理函数 (3-30) 式中的d就是下列动态方程中的直接传递部分 所以只需讨论(3-30)式中的严格真有理分式部分。

  17. 问题的提法是：给定严格真有理函数 要求寻找 （A, b, c），使得 并且在所有满足(3-33)式的（A, b, c）中，要求A的维数尽可能的小。下面的讨论中总假定g(s)的分子和分母无非常数公因式。 对(3-33)式，可构造出如下的实现 (A ,b,c)

  18. 1. 可控标准形的最小阶实现(3-34)： 具体构造如下：

  19. 1)

  20. 3)

  21. (3-42)式给出的(A, b, c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是(3-34)的传递函数。由于已经假设g(s)无零、极点对消，故可知(3-42)式对应的动态方程也一定是可观的。这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得出传递函数的分母是n次多项式的结果。所以(3-42)式给出的就是(3-34)的最小阶动态方程实现。

  22. 2. 可观标准形的最小阶实现

  23. 可控和可观标准型实现小结 • 在传递函数为即约的条件下，无论是可控还是可观标准型均是最小实现； • G(s)实现为可控标准型 (Ac,bc,cc)时, 其中，an 和 n分别是分母和分子多项式的常数项。

  24. 根据对耦原理，由G(s)的可控标准型可得到其可观标准型(Ao,co,bo)：根据对耦原理，由G(s)的可控标准型可得到其可观标准型(Ao,co,bo)： 其中，an 和 n分别是分母和分子多项式的常数项。

  25. 3. 若当标准形实现

  26. 因 则

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