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  1. Calcolo delle variazioni Modellistica e Ottimizzazione di Sistemi e Processi Energetici K.D. Bizon

  2. Ottimizzazione in spazi funzionali: il calcolo variazionale • Si può generalizzare il concetto di ottimizzazione, costruendo un cosiddetto funzionale, ossia un’espressione a valori in  , l’equivalente concettuale della funzione obiettivo, che dipende non più da un certo numero di parametri di progetto, ma da una o più funzioni incognite. • Tali funzionalipossono per esempio essere formulati come integrali che coinvolgono una funzione incognita e le sue derivate. L’interesse è per le funzioni estremali: quelle cioè che rendono massimo o minimo il valore del funzionale. • Come per i problemi di minimizzazione in spazi a dimensione finita, anche in quest’ambito esistono condizioni necessarie per l’esistenza di estremi, che corrispondono a una condizione di stazionarietà per il funzionale. L’analisi delle piccole variazioni attorno ad una presunta soluzione porta a una condizione necessaria del primo ordine.

  3. I problemi classici di calcolo delle variazioni • Tra i grandi problemi passati alla storia della matematica, vale la pena citarne alcuni, oltreché per il loro interesse soprattutto geometrico e fisico, per il ruolo che hanno avuto nello sviluppo del calcolo delle variazioni. • Nel problema isoperimetrico ci si chiede quale figura piana o spaziale renda massima l’area o il volume, a seconda della dimensione, a parità di perimetro o di area della superficie che lo racchiude. • Un altro problema interessante è quello della ricerca delle geodetiche di una superficie, che sono le curve di minima lunghezza, di estremi assegnati e giacenti su di essa. Per la sfera le soluzioni sono gli archi di cerchio massimo. • Il celebre problema della brachistocrona venne posto nel 1696 da Jean Bernoulli. Si tratta della traiettoria prestabilita liscia lungo la quale deve scivolare un punto materiale pesante, con posizioni iniziale e finale assegnate, affinché il tempo impiegato per la discesa sia minimo.

  4. Rampa/galleria più veloce ?

  5. Problema isoperimetrico ? Massimo volume a parità di area di superficie Massima area a parità di perimetro

  6. Geodetiche di una superficie Geodetica è una particolare curva che descrive localmente la traiettoria più breve fra punti di un particolare spazio

  7. Problema della brachistocrona

  8. Calcolo delle variazioni • Lo strumento chiave del calcolo delle variazioni classico è l’equazione di Eulero-Lagrange. • Nella sua forma più semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel minimizzare il cosiddetto integrale d'azione: al variare della funzione y (x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni y (x1) = y1 ed y (x2) = y2 . Si cerca dunque una funzione y = y(x) (x1 x x2 ) che collega i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e che minimizza l'integrale d'azione I .

  9. Calcolo delle variazioni Nella sua forma più semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel minimizzare il cosiddetto integrale d'azione: al variare della funzione y(x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni: y (x1) = y1 ; y(x2) = y2 . Questo appena enunciato si chiama problema fondamentale del calcolo delle variazioni. Si cerca dunque una funzione y = y(x) , (x1 x  x2 ) che collega i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e che minimizza l'integrale I .

  10. Calcolo delle variazioni: l’equazione di Eulero-Lagrange Supponiamo che f sia di classe C1 nelle tre variabili x, y ed y´, e consideriamo le due funzioni y(x) ed Y(x) = y(x)  (x) , entrambe passanti per i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), dove  è un parametro. Poiché y(x1) = Y(x1) ed y(x2) = Y(x2) , allora (x1) = (x2) = 0 ; per il resto, la funzione (x) è arbitraria. Il termine (x) rappresenta la variazione di y(x). Noi vogliamo determinare quella y(x) per la quale il funzionale I ha un estremo relativo, e dunque quella y(x) che, comunque perturbata dalla variazione (x), con  piccolo,lascia stazionario il valore del funzionale:

  11. Calcolo delle variazioni: l’equazione di Eulero-Lagrange Calcoliamo quindi la derivata rispetto ad  del funzionale I . Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte, si ha: Scomponiamo l’integrale in somma di integrali ed integriamo il secondo per parti:

  12. Calcolo delle variazioni: l’equazione di Eulero-Lagrange Poiché (x1) = (x2) = 0, l’integrale del fattore finito si annulla e dunque, portando  a fattor comune, si ha: Dato che (x) è una funzione arbitraria, l’integrale è nullo se e solo se è identicamente nulla la quantità in parentesi. Di conseguenza, la derivata rispetto ad  del funzionale I si annulla se e solo se y(x) è soluzione dell’equazione (detta di Eulero-Lagrange):

  13. Calcolo delle variazioni: l’identità di Beltrami Se la funzione f è esplicitamente indipendente da x, si può dimostrare che la soluzione del problema variazionale soddisfa una forma particolare dell’equazione di Eulero-Lagrange, detta Identità di Beltrami: dove C è una costante.

  14. Esempio 1: percorso più corto (1)

  15. Esempio 1: percorso più corto (2)

  16. Esempio 1: percorso più corto (3)

  17. Esempio 2: problema della brachistocrona (1)

  18. Esempio 2: problema della brachistocrona (2)

  19. Esempio 2: problema della brachistocrona (3)

  20. Esempio 2: problema della brachistocrona (4)

  21. Esempio 2: problema della brachistocrona (5)

  22. Esempio 2: problema della brachistocrona (8)

  23. Esempio 2: problema della brachistocrona (7)

  24. Esempio 3: galleria più veloce

  25. Problema isoperimetrico (1)

  26. Problema isoperimetrico (2)

  27. Esempio 5: cavo sospeso (1)

  28. Esempio 5: cavo sospeso (2)

  29. Esempio 5: cavo sospeso (3)

  30. Metodi numerici • Metodo di Eulero • Metodo di Ritz • Metodo di Kantorowicz (per più variabili)

  31. Metodo di Ritz (1)

  32. Metodo di Ritz (2)

  33. Metodo di Ritz (3)

  34. Metodo di Ritz: esempio (1)

  35. Metodo di Ritz: esempio (2)

  36. Metodo di Ritz: esempio (3)

  37. Metodo di Eulero (1)

  38. Metodo di Eulero (1)

  39. Metodo di Eulero (3)

  40. Metodo di Eulero: esempio (1)

  41. Metodo di Eulero: esempio (2)

  42. Metodo di Eulero: esempio (3)

  43. Metodo di Eulero: esempio (4)

  44. Metodo di Eulero: esempio (5)