質點運動學

1. 質點運動學 University Physics Chapter 2

2. Key Concepts 2-1 直線運動 2-2 自由落體運動 2-3 向量與向量運算 2-4 平面運動 2-5 平面拋物體運動

3. 2-1 直線運動 2-1-1　質點與位置 • 一般物體都具有體積，但當物體的體積或尺寸，遠小於它的活動空間或運動所涵蓋的範圍時，我們為了簡化對物體運動的描述，通常可以將物體的內部結構忽略不計，而把這物體當成為一個幾何上的點，稱之為質點。 • 例如，考慮行星在太陽系中的運動時，由於太陽與行星間的距離遠大於太陽及行星的半徑，因此可以把太陽及行星均看成是質點，而使一個複雜的系統變成為簡單的雙質點運動的系統。

4. 質點的位置，可以用空間裡的一個位置點來表示，當這位置點不隨時間變動時，我們說質點是靜止的，當這個質點的位置點隨著時間變化時，我們說質點是運動的。質點的位置，可以用空間裡的一個位置點來表示，當這位置點不隨時間變動時，我們說質點是靜止的，當這個質點的位置點隨著時間變化時，我們說質點是運動的。 質點運動的情形，可以用它的位置點隨著時間變化的數學關係來描述 圖2-1 直線上的位置點

5. 要描述一個質點在一直線上的位置，可以先在直線上固定一個點O，做為參考點（或稱為原點），並規定要描述一個質點在一直線上的位置，可以先在直線上固定一個點O，做為參考點（或稱為原點），並規定 • 質點若位於 O的右方，則其位置取為正號， • 質點若位於 O 的左方，則其位置取為負號。 圖2-1 直線上的位置點

6. 2-1-2速率與速度 速度： 表達質點運動快慢及方向的物理量，稱為速度。像這種有數值也有方向的量，稱為向量。 速率： 速度是一個向量，其量值稱為速率。 位移：位置的改變量 。 設一個質點在 t1 時刻的位置P為x1單位，在t2時刻，它行進到Q點，而 Q點的位置則為x2單位，則質點從P點行進到Q點，其位置的改變量 稱為位移，以 表示。

7. 平均速度： 質點從P點行進到Q點時，其位移為 ，經歷了時間 ，我們定義在這段時間內，質點每單位時間所行進的位移，稱為質點的平均速度，表示為 平均速度的單位為公分／秒或公尺／秒。

8. 在 x-t 圖中的曲線只是表示質點的位置 x（相對於原點的距離）隨時刻 t 的變化情形，並非表示質點運動的真正軌跡（路徑）。 (b) (a) 圖2-2 質點作直線運動的 x-t 圖：(a) 等速運動，斜率即為平均速度；(b) 變速度運動。

9. 等速度運動 圖2-2(a) 的 x-t曲線為一直線，表示一個質點相 對於原點O的距離 x每經過一秒，就多行進同樣 長的距離。這種運動，其平均速度 是一個定值（設其為v0），因此稱為 等速度運動。 質點作等速度運動時，其 x-t圖的曲線是一條直線， 這直線的斜率見圖 2-2(a) 可知即為 平均速度即為 x-t 圖曲線的斜率。

10. 變速度運動 圖2-2(b) ，質點的速度不是定值而是隨著時刻 的增大而增多。這種速度不是固定值的運動，稱為變速度運動。質點的平均速度為 圖2-2 質點作直線運動的 x-t 圖： (b) 變速度運動。 直線的斜率。

11. 瞬時速度 任一質點運動的 x-t圖，在P點切線的斜率，即為該質點在 P處（即在時刻 t，位置 x）的瞬時速度。常簡稱為速度，它的單位是公尺／秒或公分／秒。 圖2-4 變速度直線運動 dx/dt稱為位移 x 對時間 t 的導數（derivative），亦即位移 x對時間 t的一階微分，簡寫為 。幾何意義，即為曲線在 P處的切線的斜率。

12. 2-1-3等速度運動 一個質點運動時，它速度的量值及方向均不改變，則我們稱此質點為等速度運動，簡稱為等速運動。 質點作等速度運動時，速度保持不變，故在任何時段內的平均速度，即為質點的瞬時速度 ，由質點的平均速度之定義可得 由上式即可得質點在運動過程中的任何位置為

13. 2-1-4 加速度運動 平均加速度 如一質點在 t1時的速度為v1 ，t2 時的速度為 v2，即在 時段內 ，質點速度的變化值 為 ，則我們定義每單位時間內質點速度的變化值為平均加速度，表示為 (2-6) 平均加速度的單位是公尺／秒2或公分／秒2。

14. (a) (b) (c) 圖2-5 質點作直線運動的 v-t圖：(a) 等速度運動；(b) 等加速度運動；(c) 變加速度運動 圖 2-5 示出三種不同的質點運動的情形。(a)圖表示一質點的運動速度不因時刻的變化而改變者，因此為一種等速度運動，其加速度為零。 (b)圖示出一質點運動時，其速度隨時間作直線式遞增的情形。我們很容易推知此直線上的任兩點 P、Q間的平均加速度即為該直線的斜率。

15. 圖2-5(b) 直線上的任兩點 P、Q間的平均加速度 即為該直線的斜率，即 (b) (2-7a) 運動情形，稱為等加速度運動 (c) 圖2-5(c) 也示出一質點的速度隨著時刻t的增大而增加，但速度v增大的程度並不均勻，因此不是一種等加速度運動，而是一種變加速度運動。在質點作加速度運動時，其加速度可正可負。 圖2-5 質點運動的 v-t圖(b) 等加速度運動；(c) 變加速度運動

16. 在質點作加速度運動時，其加速度可正可負， • 若 a > 0，則質點的速度隨著時刻 t的增加而增大，為加速度運動； • 若 a < 0，則速度隨著時刻t的增加而減小，稱為減速度或負加速度運動。 P、Q兩點間的平均加速度即為該直線的斜率。 圖2-5 質點運動的 v-t圖(c) 變加速度運動

17. 瞬時加速度 由圖 2-5(c) 可知，當Q點越接近P點，則時段 也越小，質點在此一時段的速度變化值也越小，若Q點趨近於P 點，則時段 及速度變化值 均趨近於零，但兩者之比值 既不為零也 圖2-5 (c) 變加速度運動 非無窮大，而是趨近一個極限值 即質點位於P點的瞬時加速度，簡稱加速度。乃速度v(t)對時間t的微分，寫成 瞬時加速度乃是速度 v對時間 t的一階微分，也是位移 x對時間 t的二階微分。

18. 已知質點的加速度a(t)，則在 t時刻，質點的速度 v(t) 和位移 x(t) 應如何求出呢？ 如質點係作等速度運動，質點所經的距離 由圖2-6(a) 可知，在等速運動中，質點從 t = 0至 t = t 的位移（或距離），恰等於v-t圖中曲線從t = 0至 t = t所包圍的面積（圖中陰影部份）。 圖2-6(a) 質點運動的 v-t 圖

19. 考慮質點運動的速度不是常數，而是隨時刻 t 而變的情形，即v = v(t) 如圖2-6(b) 中的平滑曲線所示，今沿此平滑曲線另繪一鋸齒形的曲線，若每一鋸齒均足夠小，則圖中的鋸齒形的曲線將與平滑曲線差別甚 小，鋸齒形曲線在任一鋸齒的左右兩點間所包圍的面積與平滑曲線在此兩點間所包圍的面積之差別也甚小。因為鋸齒形曲線所代表的運動過程中，每一鋸齒均為一種等速度運動，而按前述已知：v-t圖中曲線所包圍的面積即代表質點所行的位移 圖2-6(b) 質點運動的 v-t 圖

20. (c) (d) 圖2-6 質點運動的 v-t 圖 由圖 2-6(c) 所示 如圖2-6(d) ，在 t趨近零時，質點在 t – t0 的時段內所行的距離（位移） ，等於 v-t圖中曲線在該 時段所圍住的面積。

21. 若已知質點運動的加速度 a(t) 隨時間變化的情形，我們如何可以求出在任何時刻，質點運動的位移（距離） x(t)或速度 v(t) ？ 先畫出質點運動的a-t圖。則按上述的思考方式，此a-t圖中從時刻 t 至時刻 t0 所包圍的面積，即為 t-t0 時段中，質點由於作加速度運動所引起的速度變化量，即 按微積分中積分的定義，也可表示為

22. 2-1-5 等加速度運動公式 等加速度運動：在任何時刻的瞬時加速度應等於任何時段的平均加速度

23. 質點所經的位移為 代入上式，即可得

24. 2-2 一小汽車以 v0 之速度在高速公路上等速行進，忽然看到前方距離 d 處有砂石車拋錨停在路中央，小汽車駕駛隨即踩上煞車，若想不撞上砂石車則小汽車的煞車系統提供給小汽車的等加速度最少需要多大？又需時多久才能停住車子？

25. ： 以開始煞車處為原點，則x0 = 0、x = d、v = 0 停住車子所需時間為 如以高速公路限速 v0 = 90 km／h，並取 d 為 36 m

26. 2-2 自由落體運動 最常見的等加速度直線運動，就是初速度為零的自由落體（free-falling body）運動。 所謂自由落體運動指的是一個質點或一個物體，在運動過程中，除了地球的引力外，沒有任何其它的力對它施加作用。 在不考慮空氣對落體施力的情況下，伽立略（G. Galileo）發現所有的自由落體，不論其輕重、大小如何，在地球表面附近均做等加速度的運動，且在地球上同一地點的所有落體，其加速度均相同。

27. 重力加速度（gravitational acceleration） • 自由落體加速度的方向係沿鉛垂線向下，其量值通常以 g表示，g 值常稱為重力加速度（gravitational acceleration）。 • 由實驗發現在地球緯度 45的海平面上，g 值為 9.8 公尺／秒2。 • 由赤道到南北兩極的g值會隨著緯度增高而增大，但改變的數值不大，大約由 9.78 公尺／秒2增加到 9.83 公尺／秒2。 • 因平常在探討自由落體運動時，均考慮距地表不遠處，故 g值變化甚小，可視為一個定值，g 之值常取為 9.8 公尺／秒2。

28. 因為在距地表不遠處的自由落體運動實際上為一等加速度運動，因此初速度為零的自由落體運動的公式，可利用等加速度運動公式得出。即取垂直向下為正x 方向，令 v0=0 、 a=g 並且 ，即可得到在距地表 x - x0=H 高處， 初速度為零的自由落體運動公式如下：

29. 2-4 一冰雹在離地面1000公尺處形成後，即從靜止往地面落下，假設冰雹在落下過程為一自由落體運動，試問當它掉落至地面時需時若干？其掉落至地面的速度又為何？

30. ： 令x0=0、x=1000m ，代入 即得冰雹掉落至地面所需時間 再利用（2-14a）式即可得冰雹掉落至地面的速度為 ；

31. 2-3 向量與向量運算 • 在討論物理問題的時候，我們常常會遇到一些物理量，例如：溫度、質量、位移、速度、加速度、長度、體積、作用力、…等等。 • 在這些物理量裡面，有些是只需一個數值就可以完全描述其意義的，例如上述的溫度、質量、長度及體積等，這些物理量我們稱之為純量（scalar）。 • 另外有一些物理量，例如質點的位移、速度、加速度、作用力、…等等，這些物理量除了需要有一個數值來表現出它們的量值（數值的大小）外，還需要有一個方向才能完整的表示出它們所代表的意義，稱之為向量（vector）。

32. 2-3-1 位移與向量 圖 2-7 所示是最常用的直角坐標，兩相互垂直的軸線為 x、y 軸，相交於原點 O；x 軸亦稱橫軸，y 軸亦稱縱軸。x 軸的右方定為正值，左方為負值；y軸向上定為正值，向下定為負值。 圖2-7 平面直角坐標

33. 在平面上任一點的位置可以用兩個數來表示，一是此點與y 軸的距離，因為這距離是沿 x軸方向來測量計數的，因此稱為 x 坐標，另外一個是此點與x軸的距離，它是沿 y 軸方向來測量計數的，故稱為y 坐標。質點在平面上任一位置可用此兩個坐標表示，寫為（x, y）。因此原點表為（0, 0）。 圖2-7 平面直角坐標

34. 位置向量 如我們自原點連一線段 至平面上一點P，P 的坐標為 (x, y)，則線段 為一有向線段，方向定義為由 O 至P，用符號表示為 。因 是表示出 P 點相對於原點 O的位置及方向， 因此稱為位置向量，見圖 2-8。 圖2-8 位置及位移向量， 及

35. 位移向量 當質點由 P移至 Q，則質點的位移可用向量 表示，這 稱為質點由 P移動至 Q的位移向量。兩個位移向量相等時，其方向及量值都需相等。因為將一個向量平移後，不會改變它的方向及量值，因此平移後的向量與原向量相等。 圖2-8 位置及位移向量， 及

36. 2-3-2 向量的合成與分解 (a) 向量的合成 以一個向量取代兩個向量的 過程，稱為向量的合成。 圖 2-9所示，一質點要從 A 點 移至C 點，它可以由 A 點直接 移向C 點，因此其位移為向量 ，但質點亦可由A 點先移至 B點，再由 B 點移至C 點，也就是說 A、C 兩點間的有向線段 ，可以寫成A、B兩點間的有向線段 及 B、C 兩點間的有向線段 的和，以數學式表示即為： 圖2-9

37. 　如圖 2-10(a) 所示，求兩向量 及 的和，可將 的起點連接在 的箭頭上，再從 的起點畫一直線接到 的箭頭上，即得 及 的合向量 ，其構成一個封閉三角形。這種求得兩向量之和的方法，稱為三角形法。 • 求兩向量的合成有下列數種方法： • 三角形法 (a) 圖2-10 兩向量相加

38. 又如圖2-10(b) 所示，兩向量相加時，我們也可由A點做 平行且等於 ，因此 ，另由 D 點做 平行等於 ，因此 。則在 ΔABC 及ΔADC 中，顯見 。因此可知：求任何兩向量的和，與取那一個向量的先後次序是無關的。 （b） 圖2-10(b) 兩向量相加

39. 平行四邊形法 假如我們把 往右平移，使其起點移至與 的起點B重合，並以 及 為兩邊作一平行四邊形，如圖2-10(c)所示，則此時平行四邊形的對角線即係圖2-10(a) 中的 向量。這種以由圖2-10(c) 的平行四邊形作圖法求得兩向量之和的方法，稱為平行四邊形法。 平行四邊形法 圖2-10(c) 兩向量相加

40. 多邊形法 考慮四個向量 的相加，則我們可以先把 兩向量利用三角形相加成向量 ，再把 與 相加得向量 ，最後再把 與 相加即得所求四個向量的合向量 ，見圖 2-11。像這種利用多邊形作圖來求得多個向量之和的方法，稱為多邊形法。 圖2-11 向量相加的多邊形法

41. (b) 向量的分解 已知兩個向量可以合成為一個合向量。反過來一個向量也可以分解為兩個向量的和。這種以兩個向量代替一個向量的過程稱為向量的分解。 • 兩個向量合成只得到一個合向量，但一個向量分解成兩個向量（分量）卻可有很多種，如圖2-12 所示， 向量可分成 ，也可分成 、…等等。通常為了方便，我們選擇兩個分向量與 x及 y 軸重合（見圖 2-12(c)）， (c) (a) (b) 圖2-12 向量可分解成多組分向量

42. 直角坐標法 如圖2-12(c)所示，自原點 O出發，則沿 x及 y 軸分解時，其分量 cx、cy 及 與 x 軸的夾角θ 可得為 (c) 圖2-12(c) 向量 可分解成多組分向量

43. 先把圖2-13(a)中的兩向量 及 ，經各自平移後，即如圖 2-13(b)中所示，其起點均已與原點 O 重合。次將 及 各別沿 x 軸及 y 軸分解，如圖2-13(c) 中所示，得到分量 ax、ay及 bx、by ，則沿 x 軸的分量和即為 ，而沿 y 軸的分量和即為 。 。 玆以兩個向量 、 的合成為例，說明在向量合成法中，最普遍使用的直角坐標法。 (c) (b) (a) 圖2-13 向量合成的直角坐標法

44. 圖2-13(c) 向量合成的直角坐標法

45. 如把與 量值相等、方向相反的向量定義為 的反向量 ，則我們即可定義兩向量 及 的相減為 引入沿平面直角坐標的x軸及y軸的兩個單位向量 及 ， 及 的方向各沿著x軸及y軸，但其量值均等於1。 因 與 平行且其量值為 量值的 倍，故可表示成 ，同理 ，因此上式可寫成

46. 圖2-13(c) 向量合成的直角坐標法

47. 圖2-13(c) 向量合成的直角坐標法

48. 2-5 質點A之速度為5.0 +5.0 m/s，質點B之速度為 3.0 +4.0 m/s。(a) 試求二質點速度和及其量值。(b) 試求質點A對質點B的相對速度及其量值。

49. ： （a） + = 8.0 + 9.0 m/s 其量值為 m/s

50. ： (b) + = 2.0 + m/s 其量值為 m/s