第六章不定积分

第六章不定积分 • 不定积分的概念与基本积分公式 • 换元积分法 • 分部积分法

第六章不定积分 一不定积分的概念与基本积分公式首页上页返回下页结束铃

一、原函数 原函数：定义1如果在区间I上，可导函数F(x) 的导数为 f(x)，即对任一xI，都有 F(x)f(x) 或dF(x)f(x)dx，则称函数F(x) 是函数f(x) 在区间I上的原函数。例如，在区间(-, +)内，因为(sin x)cos x，所以sin x是cos x的一个原函数。提问： cos x还有其它的原函数吗？提示： cos x的原函数还有sin x+C。首页上页返回下页结束铃

一、原函数 原函数：定义1如果在区间I上，可导函数F(x) 的导数为 f(x)，即对任一xI，都有 F(x)f(x) 或dF(x)f(x)dx，则称函数F(x) 是函数f(x) 在区间I上的原函数。两点说明： 1、如果F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)C 都是f(x) 的原函数，其中C 是任意常数。 2、f(x) 的任意两个原函数之间只差一个常数，即如果(x) 和F(x) 都是f(x) 的原函数，则(x)F(x)C (C为某个常数)。首页上页返回下页结束铃

定义2函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，定义2函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，二、不定积分不定积分的相关名称： ———叫做积分号， f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量。首页上页返回下页结束铃

定义2函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，定义2函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，二、不定积分根据定义，如果F(x) 是f(x) 的一个原函数，则其中C 是任意常数，称为积分常数。首页上页返回下页结束铃

例1． 例2．例3．解：首页上页返回下页结束铃

y y=x2+C1 y=x2 C1 y=x2+C2 -1 O 1 x y=x2+C3 C2 C3 三、不定积分的几何意义函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。首页上页返回下页结束铃

y yx2+2 yx2 2 1 x -2 -1 O 1 2 -1 -2 例4．求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。解：设所求的曲线方程为yf(x)，则yf (x) 2x，即f(x)是2x的一个原函数。所以y=f(x)x2C。因为所求曲线通过点(1, 3)，故31C，C2。于是所求曲线方程为 yx22。 (1, 3) ．首页上页返回下页结束铃

四、基本积分公式 首页上页返回下页结束铃

例1． 例2．例3．首页上页返回下页结束铃

例4． 首页上页返回下页结束铃

例5． 练习：习题五：2(1, 3, 5,7) 首页上页返回下页结束铃

例6． 例7．例8．例9．例10．首页上页返回下页结束铃

例11． 例12．首页上页返回下页结束铃

例13．某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成例13．某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以已知当x=0 时，y=1000，因此有C =1000，首页上页返回下页结束铃

第六章不定积分 二换元积分法首页上页返回下页结束铃

一、第一类换元积分法 复习引入一.求下列不定积分: 解：直接运用公式法不能直接运用公式法计算二.复合函数的微分：设y=f(u),u=φ(x).则y=f[φ(x)] 故dy=f'(u)φ'(x)dx 首页上页返回下页结束铃

一、第一类换元积分法 设 y=f(u) 及 uj(x) 都可导，则有微分过程： df[j(x)] =df(u) =f (u)du =f [j(x)]dj(x) =f[j(x)]j(x)dx，凑微分过程： f[j(x)]j(x)dx =f[j(x)]dj(x) =f(u)du =df(u) =df[j(x)]，积分过程：这种积分方法称为第一类换积分元法。首页上页返回下页结束铃

一、第一类换元积分法 定义: φ(x)=u 回代这样的积分方法称为第一换元积分法. 注：上述积分方法中关键是将被积表达式g(x) 写成f[φ(x)]dφ(x)，所以第一换元积分法也叫凑微分法。首页上页返回下页结束铃

一、第一类换元积分法 例题与练习：例1：求下列不定积分. 解：解：练习1.求不定积分： 1)∫e2x+1dx 2)∫(2x+1)5dx 首页上页返回下页结束铃

一、第一类换元积分法 例2.求下列不定积分解：注：练习2. 求下列不定积分首页上页返回下页结束铃

一、第一类换元积分法 例3：求下列不定积分解：解：注：练习3：求下列不定积分首页上页返回下页结束铃

一、第一类换元积分法 例4.求下列不定积分解: (1) 解: (2) 解: (3) 解: (4) 注:(Ⅳ) 练习4：求下列不定积分：首页上页返回下页结束铃

一、第一类换元积分法 例5.求下列不定积分解(1)：解(2)：另解：首页上页返回下页结束铃

一、第一类换元积分法 解：注:Ⅴ 练习5：求下列不定积分首页上页返回下页结束铃

一、第一类换元积分法 例6.求下列不定积分解：解：首页上页返回下页结束铃

一、第一类换元积分法 解：注:Ⅵ 练习6：求下列不定积分首页上页返回下页结束铃

例7． 例8．一、第一类换元积分法首页上页返回下页结束铃

例9． 一、第一类换元积分法当运算熟练以后，可以不必把u写出来。首页上页返回下页结束铃

例10． 例11．例12．例13．一、第一类换元积分法首页上页返回下页结束铃

例14． 一、第一类换元积分法首页上页返回下页结束铃

例15． 一、第一类换元积分法首页上页返回下页结束铃

例16． 例17．当a>0时，练习：3(8, 9, 10) 首页上页返回下页结束铃

例18． 例19．例20．首页上页返回下页结束铃

例21． 例22．练习：3(24, 28, 30) 首页上页返回下页结束铃

二、第二类换元积分法 设x=j(t)单调可导，且j(t)0。如果f(x)的原函数不易计算，而复合函数f[j(t)]j(t) 的原函数F(t)易于求得，则有积分法：这是因为，由复合函数和反函数求导法则， =f[j(t)] =f(x)。首页上页返回下页结束铃

a x t 例23．解：首页上页返回下页结束铃

例24． x t a 解：其中C 1Clna。首页上页返回下页结束铃

x 例25． t a 解：设xasect，那么dx=asecttgtdt，其中CC1lna。试比较例2 和例3 的结果。首页上页返回下页结束铃

例26． 解：首页上页返回下页结束铃

课堂小结： ①第一换元积分法则： ②掌握常见的六种凑微分类型首页上页返回下页结束铃

第六章不定积分 三分部积分法首页上页返回下页结束铃

复习引入 一.求下列不定积分：解：（公式法）（凑微分法） (公式法与凑微分法都不能直接运用) 二.函数积的微分法则 d(uv)=udv+vdu 移项得 udv=d(uv)-vdu 对上式两边求不定积分，得：首页上页返回下页结束铃

分部积分法 新课讲授如果函数uu(x)及vv(x)具有连续导数，则有 (uv)uvuv，或 uv(uv)uv。对上述等式两边求不定积分，得这个公式称为分部积分公式。分部积分的过程：首页上页返回下页结束铃

新课讲授 一.分部积分公式：二. 关键：恰当选取u和确定v. 如何选取u:(LIATE法) L-----对数函数 I-----反三角函数 A-----代数函数 T-----三角函数 E-----指数函数根据LIATE法，f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表前面就选谁为u. 即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv。v=∫g(x)dx、或v'=g(x). 注：使用分部积分公式，若选f(x)=u,则v≠g(x) 而v'=g(x). 首页上页返回下页结束铃

例题与练习 例1.求下列不定积分解：解：解：解：首页上页返回下页结束铃

例题与练习 解：练习1.求下列不定积分首页上页返回下页结束铃

常用解题技巧 (Ⅰ)多次使用分部积分法则例2. 解：练习2.求不定积分首页上页返回下页结束铃

常用解题技巧 (Ⅱ)还原法例3. 解：练习3：首页上页返回下页结束铃

第六章 不定积分