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物理问题的拓展与演变 赵兴泗 QQ:773896259 tayzzxs@163.com

【题目】如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道与之相切的半圆形轨道连接而成，半圆形轨道的半径为R。一质量为m的小球从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿半圆形轨道运动。要求小球能通过半圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求小球初始位置相对于半圆形轨道底部的高度h的取值范围。【题目】如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道与之相切的半圆形轨道连接而成，半圆形轨道的半径为R。一质量为m的小球从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿半圆形轨道运动。要求小球能通过半圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求小球初始位置相对于半圆形轨道底部的高度h的取值范围。

x 初速度的提供方式 v0 F

E B 装置环境

出轨道后的运动 θ

圆弧轨道上的要求

A D E 37° B CD B C • **为了研究过山车的原理，物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0m的粗糙的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个小物块以初速度v0=4.0m/s，从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数μ＝0.50。（g取10m/s2，sin37°=0.60，cos37°=0.80） • （1）要使小物块 • 不离开轨道，并从水平 • 轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道 • 的半径应该满足什么条件？　 • （2）a.为了让小物块不离开轨道， • 并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖 • 直圆轨道的半径应该满足什么条件？ • b.按照“a”的要求，小物块进入轨道后第二次到达圆轨道的高度与第一次到达圆轨道高度有怎样的关系？

A D E 37° B CD B C • 解析： • （1）小物块做平抛运动， • 经时间 t 到达A处时，令下落 • 的高度为h，水平分速度为vx， • 竖直分速度为vy • 物体落在斜面上后，受到斜面的摩擦力 • 设物块进入圆轨道到最高点时有最小速度v1，此时物块受到的重力恰好提供向心力，令此时半径为R0 • 物块从抛出到圆轨道最高点的过程中 • 联立上式，解得：R0=0.66m 若物块从水平轨道DE滑出，圆弧轨道的半径有：R1≤0.66m

A D E 37° B CD B C • （2）a.为了让小物块 • 不离开轨道，并且能够滑回 • 倾斜轨道AB，则物块上升的 • 高度须小于或等于R0ˊ • 解得： R0ˊ=1.65m • 物块能够滑回倾斜轨道AB，则R2≥1.65m • b.物块冲上圆轨道H1=1.65m高度时速度变为0，然后返回倾斜轨道h1高处再滑下，然后再次进入圆轨道达到的高度为H2。有 • 得：

【练1】某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”，四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数宇均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以v=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进人轨道，依次经过“8002 ”后从p点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.3 ，不计其它机械能损失。已知ab段长L=1. 5m，数字“0”的半径R=0.2m，小物体质量m=0 .0lkg，g=10m/s2。求：( 1 ）小物体从p点抛出后的水平射程。( 2 ）小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。 x=0.8m F=0.3N 竖直向下

【练2】.过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形空心轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1=2.0m、R2=1.4m。一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字。试求【练2】.过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形空心轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1=2.0m、R2=1.4m。一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字。试求（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；（1）10.0N；（2）12.5m

v0 P C O R θ A B • 【练3】如图，一个质量为0.6kg 的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧（不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失）。已知圆弧的半径R=0.3m，θ=60°，小球到达A点时的速度v=4m/s。（取g =10 m/s2）求： • （1）小球做平抛运动的初速度v0； • （2）P点与A点的水平距离和竖直高度； • （3）小球到达圆弧最高点C时对轨道的压力。

C O F A B 【练4】如图所示，长为L=4m的一水平轨道AB，与一处于竖直面内的光滑半圆轨道的最低点B相接，半圆轨道半径为R=0.4m。在A点放置有质量为m=0.1kg的小物块，小物块与水平轨道AB间的动摩擦因数为μ=0.5。某时刻起对小物块施加水平向右的拉力F=4N，小物块从静止运动一段位移x后撤掉F。则x的不同，对应小物块的运动情况不同。现忽略空气阻力，g=10m/s2。（1）求小物块经过光滑的半圆轨道最高点C后，在水平轨道上的落D离B点的最近距离(D点在图中未画出) （2）求使小物块恰好能从C点飞出的x的值（3）要使小物块进入半圆轨道，并且不脱离轨道，求x的取值范围

C O F A B 解析：（1）小物块经过半圆轨道最高点C后做平抛运动。落至水平面时间一定，在水平轨道上的落点D离B点的距离最近时，物块在最高点C的速度最小，此时物块对轨道压力为零，重力提供向心力。从C点到落至水平轨道上D点的时间为t DB距离S=vt 解得：S=1.6m （2）小物块恰好从C点飞出时，速度为（1）中数值，对从A到C的过程，由动能定理可得联立得x=1.2m

C O F A B （3）要使小物块通过C点，应该4m≥x1≥1.2m 不脱离轨道也可以使小物块最高点不超过半圆圆心O点高度得x2≤0.6m 要使小物块能到达半圆轨道，应＞0 得x3＞0.5m 综合可得，要使小物块能到达半圆轨道，且不脱离轨道，x应满足的关系为 4m≥x≥1.2m或0.5m＜x≤0.6m

v0 h 问题情景一：小球从离地高为h的水平桌面以速度v0飞出。参考思路：（1）v0由不同的方式给出： ①碰撞；②斜槽轨道上下滑； ③1/4圆周上滑下； ④以一定初速度沿水平面滑动一段；…… （2）离开桌面后的运动环境与运动要求不同： ① 落地速度或位移有要求； ②垂直击中某斜面；③进入一个电场或磁场；④击中竖直墙面或落在斜面；……

问题情境二：飞机等时间间隔丢炸弹。 参考思路：（1）飞机飞行速度：①飞机水平匀速飞行； ②飞机斜向上匀速飞行；③飞机水平匀加速飞行；…… （2）炸弹：①炸弹的空中排列； ②炸弹坑的排列特点； ③ 空中存在水平的恒定风力；④炸弹落在斜山坡上；…… 问题情景三：某星球表面重力加速度g与星球的相关参量参考思路：（1）星球表面重力加速度g的给出：①利用自由落体； ② 利用竖直上抛； ③利用平抛； ④利用弹簧测力计及物体质量；⑤利用单摆；⑥利用星球表面的超重与失重系统；… （2）结合联系星球质量m、半径R、密度ρ、第一宇宙速度vⅠ……等与g及万有引力有关的问题。

问题情境四：闭合电路中的导体棒切割磁感线产生感应电动势问题情境四：闭合电路中的导体棒切割磁感线产生感应电动势参考思路： (1)导体棒的变化：棒长与导轨长度相同与不同；单棒与双棒；匀速；匀加速；变加速；恒拉力；向上运动与向下运动；…… (2)导轨：水平光滑导轨；水平粗糙导轨；倾斜导轨；竖直导轨；等宽导轨；变宽导轨；正弦波形导轨；平斜结合导轨；…… (3)磁场：恒定匀强磁场；随时间均匀变化的磁场；空间分布不均匀的磁场；…… (4)电路：外电路为纯电阻的电路；含电容器的电路；…… (5)初始状态：给导体棒通电；给导体杆一个初速度；给导体棒一个外力；…… (6)问题设置：某部分电压确定；运动状态讨论；功；热量；动能；功率；电荷量；画出各种图像(B—t图像或B—x图像、E—t图像或E—x图像、i—t图像或i—x图像、U—t图像、F—t图像、v—F图像、……)

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