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向量在平面几何中解题的应用

向量在平面几何中解题的应用. 与 共线. 且方向相同。. 一、向量有关知识复习. ( 1 )向量共线的充要条件 :. ( 2 )向量垂直的充要条件:. ( 3 )两向量相等充要条件:. C. 如图所示,已知⊙ O , AB 为直径, C 为⊙ O 上任意一点。求证∠ ACB=90°. B. A. 分析 : 要证∠ ACB=90° ,只须证向 量 ,即 。. O. 解: 设

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向量在平面几何中解题的应用

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Presentation Transcript


  1. 向量在平面几何中解题的应用

  2. 与 共线 且方向相同。 一、向量有关知识复习 (1)向量共线的充要条件: (2)向量垂直的充要条件: (3)两向量相等充要条件:

  3. C 如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° B A 分析:要证∠ACB=90°,只须证向 量 ,即 。 O 解:设 则 , 由此可得: 即 ,∠ACB=90° 二、应用向量知识证明平面几何有关定理 例一、证明直径所对的圆周角是直角 思考:能否用向量坐标形式证明?

  4. 已知:平行四边形ABCD。 求证: D C 分析:因为平行四边形对边平行且相 等,故设 其它线段对应向 量用它们表示。 B A 解:设 ,则 ∴ 二、应用向量知识证明平面几何有关定理 例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和

  5. A A 思路一:设AD与BE交于H,只要证 CH⊥AB,即高CF与CH重合,即CF 过点H 分析: E E 只须证 由此可设 B B C C D D F 如何证 ? 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例一、已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证:AD、BE、CF交于一点 H 利用AD⊥BC,BE⊥CA,对应向量垂直。

  6. 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例一、已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证:AD、BE、CF交于一点 A H E B C D 解:设AD与BE交于H, 即高CF与CH重合,CF过点H,AD、BE、CF交于一点。

  7. A H E B D C 只要求出点H、F的坐标, 就可求出 、 的坐 标进而确定两向量共线,即三点共线。 F 可得: 可得: 即 而CF、CH有公共点C,所以 C、H、F共线,即 AD、BE、CF交于一点 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例一、已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证:AD、BE、CF交于一点 分析:如图建立坐标系, 设A(0,a) B(b,0) C(c,0) 再设H(0,m) F(x,y) 由A、B、F共线;CF⊥AB对应向量共线及垂直解得:

  8. P C 解:设 N 则 由此可得 B A M Q 即 故有 ,且它们有 公共点A,所以P、A、Q三点共线 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例二、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N, 在BN延长线上取点P,使NP=BN,在CM延长线上取点Q, 使MQ=CM。求证:P、A、Q三点共线

  9. F C D M N A E B 四、应用向量知识证明等式、求值 例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起, 使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64, 求△AEM的面积 分析:如图建立坐标系,设E(e,0)M(4,2), N是AM的中点,故N(2,1) =(2,1)-(e,0)=(2-e,1) 解得:e=2.5 故△AEM的面积为5

  10. F C D M N =(4,2)-(e,0)=(4-e,1) A E B 四、应用向量知识证明等式、求值 例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起, 使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64, 求△AEM的面积 解:如图建立坐标系,设E(e,0),由 正方形面积为64,可得边长为8 由题意可得M(8,4),N是AM的 中点,故N(4,2) 解得:e=5 即AE=5

  11. B Q · G O P A O分 的比为 ,O分 的比为 由此可设 由向量定比分点公式,可求 P、Q的坐标,而G为重心,其坐标也可求出,进而 由向量 ,得到 m n的关系。 四、应用向量知识证明等式、求值 例二、PQ过△OAB的重心G,且OP=mOA,OQ=nOB 求证: 分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分点,利 用向量坐标知识进行求解。 由PO=mOA, QO=nOB可知: -m -n ? ?

  12. B Q 证:如图建立坐标系, 设 · G 所以重心G的坐标为 O P A 由PO=mOA, QO=nOB可知: 即O分 的比为-m,O分 的比为-n 求得 由向量 可得: 化简得: 四、应用向量知识证明等式、求值 例二、PQ过△OAB的重心G,且OP=mOA,OQ=nOB 求证:

  13. 练习二:如图O为△ABC所在平面内一点,且满足练习二:如图O为△ABC所在平面内一点,且满足 A 求证:AB⊥OC O B C 五、巩固练习: 练习一:证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形

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