1 / 376

Pilihan Topik Matematika

Sudaryatno Sudirham. Pilihan Topik Matematika. Fungsi dan Grafik Fungsi Linier Gabungan Fungsi Linier Mononom dan Polinom Bangun Geometris Fungsi Trigonometri Gabungan Fungsi Sinus Fungsi Log Natural, Eksponensial , Hiperbolik Koordinat Polar. Turunan Fungsi Polinom

sylvester-giles
Download Presentation

Pilihan Topik Matematika

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Sudaryatno Sudirham • PilihanTopikMatematika

  2. FungsidanGrafik • Fungsi Linier • GabunganFungsi Linier • MononomdanPolinom • BangunGeometris • FungsiTrigonometri • GabunganFungsi Sinus • Fungsi Log Natural, Eksponensial, Hiperbolik • Koordinat Polar

  3. TurunanFungsiPolinom • TurunanPerkalianFungsi, PangkatdariFungsi, FungsiRasional, FungsiImplisit • TurunanFungsiTrigonometri, TrigonometriInversi, Logaritmik, Eksponensial • Integral • Integral Tak-TentuFungsi-Fungsi • PersamaanDiferensial Orde-1 • PersamaanDiferensial Orde-2 • Matriks • BilangandanPeubahKompleks • PermutasidanKombinasi • Aritmatika Interval

  4. FungsidanGrafik

  5. Fungsi 1. PengertianTentangFungsi (PembahasanTentangFungsidanGrafik dibatasipadafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata) Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x maka dikatakan bahwa y merupakan fungsi x

  6. Contoh: panjang sebatangbatang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x) Secaraumumpernyataanbahway merupakanfungsix dituliskan ydisebutpeubahtakbebas nilainyatergantung x xdisebutpeubahbebas bisabernilaisembarang Walaupunnilaixbisaberubahsecarabebas, namunnilaixtetapharusditentukansebatasmanaiabolehbervariasi Dalampelajaraninikitahanyaakanmelihat x yang berupabilangannyata. Selainbilangannyatakitamengenalbilangankompleks yang dibahasdalampelajaranmengenaibilangankompleks.

  7. a b a b Domain Domain ialahrentangnilai (interval nilai) di manapeubah-bebasx bervariasi. Ada tigamacamrentangnilaiyaitu: rentang terbuka a < x < b a b a dan b tidak termasuk dalam rentang rentang setengah terbuka a x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak rentang tertutup a xb a dan b masuk dalam rentang

  8. Sistemkoordinat x-y ataukoordinatsudut-siku (koordinat Cartesian, dikemukakanolehdes Cartes) Bidangdibatasiolehduasumbu, yaitusumbumendatar yang kitasebutsumbu-x dansumbutegak yang kitasebutsumbu-y. y 3 Bidangterbagidalam 4 kuadranyaituKuadranI, II, III, dan IV Posisititikpadabidangdinyatakandalamkoordinat [x, y] sumbu-y 2 1 x 0 sumbu-x Q[-2,2] -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -1 II I P[2,1] -2 -3 -4 III IV S[3,-2] R[-3,-3]

  9. KurvadariSuatuFungsi Kita lihatfungsi: Setiapnilaixakanmenentukansatunilaiy 2,5 y Kurva 2 R 1,5 Q Δy Titik P, Q, R, terletak pada kurva 1 Δx 0,5 0 Kemiringankurva: x 0 1 2 3 4 P -0,5 -1 (kitabaca: “delta x per delta y”)

  10. Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai yang kita baca:limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c). Kekontinyuan Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut.

  11. Contoh: y = u(x) y Terdefinisikan di x = 0 1 yaituy|x=0 = 1 (y untuk x = 0 adalah 1) 0 x 0 y 1 Takterdefinisikan di x = 0 y = 1/x (y untuk x = 0 tidakdapatditentukannilainya) x 0 -10 0 5 10 -5 y = 1/x -1

  12. Simetri • Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka • kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; • 2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva • fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. • 3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva • fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. • 4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, • kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

  13. Contoh: tidak berubah bila x diganti x y = 0,3x2 6 y (simetristerhadapsumbu-y) 3 tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y y = 0,05x3 (simetristerhadaptitik [0,0]) 0 x -6 -3 0 3 6 tidak berubah jika: x diganti x x dan y diganti dengan x dan y x dan y dipertukarkan y diganti dengan y -3 y2 + x2 = 9 -6

  14. 8 y 4 x 0 0 2 4 -4 -2 -4 -8 PernyataanFungsiBentuk Implisit Pernyataanfungsi • disebutbentukeksplisit. dapatdiubahkebentukeksplisit Pernyataanbentukimplisit Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y

  15. Fungsi Bernilai Tunggal Fungsibernilaitunggaladalahfungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas Contoh: 1,6 8 x 0 y y 0 1 2 0,8 4 -0,8 y x x 0 -1,6 0 0 0 1 2 -1 1 2 3 4 0,8 y 4 y 0 x 2 0 1 2 3 4 x 0 -0,8 -4 -2 0 2 4

  16. Fungsi Bernilai Banyak Fungsibernilaibanyakadalahfungsi yang memilikilebihdarisatunilaipeubah-tak-bebas untuksetiapnilaipeubah-bebas Contoh: 10 2 y y 5 1 x x 0 0 0 1 2 3 0 1 2 3 -5 -1 -2 -10

  17. Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

  18. y rcos P r rsin  x Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol  Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalahsebagaiberikut

  19. 3 y P[r,] 2 r 1  0 x -5 -3 -1 1 -1 -2 -3 Contoh: Bentukinidisebutcardioid

  20. P[r,] y = 2 2 y 1,5 r 1  0,5 0 -1 0 1 2 3 x -0,5 -1 Contoh:

  21. 2. Fungsi Linier Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari  sampai +. y 5 Contoh: y = 4 0 x - 5 0 5 - 4

  22. Persamaan Garis Lurusyang melalui[0,0] y garislurusmelalui [0,0] 2 kemiringangarislurus Δy 1 Δx 0 x 0 1 2 3 4 -1 Contoh: y 8 y = 2x 6 m > 0 y = x 4 y = 0,5x 2 0 x -1 0 1 2 3 4 -2 -4 y = -1,5 x m < 0 -6

  23. Pergeseran Kurva dan Persamaan GarisLurus pergeserankearahsumbu-x pergeserankearahsumbu-y 8 y y 10 y = 2x y 2 = 2x 6 8 4 6 y = 2x y =2(x–1) titikpotongdengansumbu-y 4 2 2 0 0 -1 1 2 3 4 x 0 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2 titikpotongdengansumbu-x -4 -4 Secaraumum, persamaangarislurus yang tergesersebesarbkearahsumbu-y positifadalah menunjukkanpergeseransebesarakearahsumbu-x positif menunjukkanpergeseransebesarbkearahsumbu-y positif Bentukumumpersamaangarislurus

  24. Contoh: y 8 6 memotongsumbuy di 4 4 2 memotongsumbux di 2 0 0 x -1 1 2 3 4 -2 -4 dapatdilihatsebagaigarismelalui (0,0) yaitu y = -2x yang tergeserkearahsumbu-y atautergeserkearahsumbu-x Persamaangaris: atau

  25. persamaangaris: atau Persamaan Garis Lurusyang melaluiduatitik Q 8 y P [x2,y2] 6 Persamaan garis lurusmelalui [0,0] yang sejajardengangaris yang melalui P dan Q [x1,y1] 4 2 0 0 -1 1 3 2 x Garisiniharusdigeserhinggamelalui P dan Q -2 -4 Contoh: [3,8] 8 y 6 4 [1,4] 2 0 0 -1 1 2 3 4 x -2 -4

  26. y1 30 y y2 20 P 10 0 x -10 -5 0 5 10 -10 -20 -30 Titik potong: Perpotongan GarisLurus dan Duagaris: Koordinat titik potong P harus memenuhi: Contoh: Koordinat titikpotongP harusmemenuhi persamaan y1maupuny2. xP yP

  27. anoda  katoda l Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata Contoh: Suatu benda dengan massa myang mendapat gaya F akan memperoleh percepatana Contoh: Beda tegangan antara anoda dan katoda dalamtabung katodaadalah V Kuatmedanlistrik: Gaya padaelektron: gayafungsi linier dariV Percepatanpadaelektron: percepatanfungsi linier dariFe Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?

  28. Contoh: Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikanmerupakanfungsi linier daripanjangtarikan. panjangtarikan gaya konstantapegas Contoh: Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arusmerupakanfungsi linier daritegangan. G dan R adalah tetapan konduktansi resistansi panjangkonduktor kerapatan arus resistivitas Luaspenampangkonduktor

  29. Contoh: Peristiwadifusi: materimenembusmateri lain Peristiwadifusimencapaikeadaanmantap,jikakonsentrasimateriCadi xadan Cxdi xbernilai konstan materimasuk di xa materikeluar di x Ca Cx gradienkonsentrasi xa x x Fluksimateri yang berdifusikearahx koefisien difusi Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi InilahHukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.

  30. 3. GabunganFungsi Linier Fungsi Anak Tangga Fungsianaktanggasatuan Fungsiinimemiliki nilai yang terdefinisi di x = 0 y 2 1 muncul pada x = 0 0 x 1 0 5 y 5 Secaraumum amplitudo 0 x 0 5 Contoh: - 4

  31. Fungsianaktanggatergeser Pergeseransebesarakearahsumbu-x positif Contoh: y 5 0 x 1 0 5 -4

  32. Fungsi Ramp Fungsiinibarumunculpadax = 0karenaadafaktoru(x) yang didefinisikanmunculpadax = 0 (fungsianaktangga) kemiringan Fungsi ramp satuan : kemiringana = 1 Fungsi ramp tergeser: Contoh: 6 y2 = 2xu(x) y 5 y1 = xu(x) 4 3 y3 = 1,5(x-2)u(x-2) 2 1 Pergeseransearahsumbu-x 0 -1 3 4 1 x 0 2

  33. perioda y x Pulsa Pulsamerupakanfungsi yang munculpadasuatunilaix1tertentudanmenghilangpadax2 > x1 Contoh: lebar pulsa y1=2u(x-1) 2 y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2) 1 0 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 y2 = 2u(x2) DeretanPulsa:

  34. Perkalian Ramp dan Pulsa pulsa hanyamempunyainilaidalamselanglebarnya makayjugaakanbernilaidalamselanglebarpulsasaja ramp Contoh: y3 = y1y2 10 y 8 6 y1=2xu(x) 4 y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)} 2 0 x -1 0 1 2 3 4 5

  35. Contoh: y3 = y1 y2 = mx{u(x)-u(x-b)} y1 = mxu(x) y2 = {u(x)-u(x-b)} 10 y y 8 6 4 2 0 b x -1 0 1 2 3 4 5

  36. GabunganFungsi Ramp y 12 8 Contoh: y3= 2xu(x)2(x2)u(x2) 4 y1= 2xu(x) 0 x 0 1 2 3 4 5 Kemiringan yang berlawananmembuaty3 bernilaikonstanmulaidarixtertentu -4 -8 y2= 2(x2)u(x2)

  37. Contoh: y3=2xu(x)4(x2)u(x2) y1=2xu(x) y2lebihcepatmenurundariy1 makay3menurunmulaidarixtertentu y2= 4(x2)u(x2) 15 y 10 5 0 x 0 1 2 3 4 5 -5 -10

  38. Contoh: Pulsainimembuaty3hanyabernilaidalamselang 1 x  3 15 y y3={2xu(x)4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)} 10 5 y1= 2xu(x) 0 x 0 1 2 3 4 5 -5 -10 y2= 4(x-2)u(x-2)

  39. 0 x - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 -20 -40 -60 -80 y -100 4. MononomdanPolinom Mononomadalahpernyataan tunggal yang berbentuk kxn Karenax2 0,maka jikak > 0  y > 0 jikak < 0 y < 0 Mononom Pangkat Dua: Contoh: y 10 y = 5x2 y = 3x2 9 8 7 6 5 4 y = x2 3 2 1 0 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y memiliki nilai maksimum y memilikinilai minimum

  40. Pergeseran kurva mononom pangkat dua y3= 10(x2)2 + 30 y Pergeserankearahsumbu-y positif 100 y1= 10x2 50 y2= 10(x2)2 Pergeserankearahsumbu-xpositif 0 x -5 -3 -1 1 3 5

  41. y 3 y1= 2x2 2 1 y2= 2x4 y3= 2x6 0 x 1.5 0 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 8 y y = 6x2 6 4 y = 3x4 2 y = x6 0 x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Mononom Pangkat Genappadaumumnya Contoh: Padamononomberpangkatgenap, makinbesarpangkatmakinmelandaikurva di sekitartitikpuncak Jikakurva-kurvainimemilikinilaik yang samamakamerekaberpotongan di titik P[1,k] Koordinattitikpotongantarakurva Kurvamononompangkatgenapsimetristerhadapsumbu-y

  42. y y = 2x y = 2x5 y = 2x3 3 x 2 1 0 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1 -2 -3 MononomPangkatGanjil Pangkatganjilterendah: linier Makin tinggipangkatmononom, makinlandaikurva di sekitartitik [0,0] yaitutitik yang merupakantitikbelok Jikakurva-kurvainimemilikinilaik yang samamakamerekaberpotongan di titik P[1,k] Kurvamononompangkatganjilsimetristerhadaptitik [0,0]

  43. Mononom Pangkat Tiga Pergeserankearahsumbu-y positif y = 10(x2)3 + 100 y 500 600 y = 10x3 400 y 300 400 200 200 100 0 0 x -5 -3 -1 1 3 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -100 x -200 -200 -400 -300 -400 -600 y = 10(x2)3 -500 Mononompangkattiga Simetristerhadap [0,0] Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu-x positif

  44. Polinom PolinomPangkatDua y y 150 150 y1=2x2 y1=2x2 y2=15x y4=2x2+15x 0 0 y3=13 x 10 -10 0 x 10 -10 0 -150 -150 x = 15/2 y2=15x Kurvamasing-masingkomponen (mononom) daripolinom: Penjumlahanmononompertamadanke-dua: Perpotongandengansumbu-x

  45. y 150 sumbu simetri 15/4 y4 =2x2+15x 0 x 10 -10 0 15/2 -150 y 150 y5 = 2x2+15x+13 sumbu simetri y4 = 2x2+15x 0 x -10 0 10 -150 Sumbu simetri dari Penambahankomponeny3 = 13 memberikan: memotongsumbu-x di: Koordinattitikpuncak:

  46. PolinomPangkatDuasecaraumum y = ax2 +bx +c y x1 x2 y = ax2 0 x 0 Pergeseran ke arah kiri sumbu-x Sumbusimetri: Pergeseran ke arah negatif sumbu-y

  47. y y 2000 2000 y2 0 0 x x -10 0 10 -10 0 10 y1 y1=4x3 -2000 -2000 Polinom Pangkat Tiga: mononompangkattiga + polinompangkatdua Penjumlahan: y3 =y1 + y2 Mononompangkattiga (y1) Dan Polinompangkatdua (y2) y3 memotongsumbu-x di 3 titik Hal initidakselaluterjadi Tergantungdarinilaikoefisieny1

  48. 2000 y2 y2 y3 = y1 + y2 2000 -10 10 y1 y3 = y1+y2 y1 -2000 -10 15 -2000 Kasus:a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif sangat tajam Takadatitikpotongdengansumbu di daerahx negatif Hanyaadasatutitikpotong di xpositif Kasus:a kurang positif Penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam Kurvaterlihathanyamemotongsumbu-x di 2 titik Titikpotong ke-3 jauh di sumbu-x negatif

  49. 2000 2000 y3 = y1 + y2 0 0 15 -10 0 15 0 -10 -2000 -2000 y2 y1 y3 = y1 + y2 a < 0 Kurva y3berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat

  50. 5. BangunGeometris Simetri • jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; • jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. • jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. • jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

More Related