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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Objetivo general: Proporcionar los conocimientos fundamentales Algebra Lineal Variable Compleja Transformadas Integrales Fourier Laplace y Zeta

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matem ticas avanzadas para ingenier a
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
  • Objetivo general:
    • Proporcionar los conocimientos fundamentales
      • Algebra Lineal
      • Variable Compleja
      • Transformadas Integrales
        • Fourier
        • Laplace y
        • Zeta
    • que dan las bases sólidas que más tarde le permita abordar problemas para distintas áreas de la Computación e Ingeniería tales como Control Digital, Teoría de Control, Telemática.
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
  • Las herramientas matemáticas como la transformada de Laplace,
  • la transformada de Fourier y la transformada z , permiten pasar funciones del dominio del tiempo a otros dominios donde las operaciones matemáticas resultan más simples

Resultados

  • Variable Compleja
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
  • Por ejemplo :
  • 1. Las transformada s de Laplace, y de Fourier permiten transformar Ecuaciones diferenciales lineales en Ecuaciones algebraicas , una vez que se han resuelto en el dominio correspondiente se encuentra la solución de las ecuaciones originales aplicando la transformada inversa .
  • 2. En resolución de integrales en variable real para predecir magnitudes en contextos ingenieriles, de arte y de diseño.

Resultados

  • Variable Compleja
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

Resultados

  • Variable Compleja
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

Douglas N. Arnold

Otros

Transformacionesconformes

http://www.ima.umn.edu/~arnold/complex-maps/index.html

  • Gráficode la función
  • f(z)=(z2-1)(z-2-i)2 / (z2+2+2i).
  • La coloraciónrepresenta el argumento de la función, mientrasque el brillorepresenta el módulo.
  • Variable Compleja
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

  • Transformadas Integrales

http://www.falstad.com/fourier/

http://www.falstad.com/mathphysics.html

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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

La mayoría de las señales se distorsionan cuando pasan a través de un dispositivo lineal e invariante en el tiempo, y la única señal que no sufre distorsión es una señal sinusoidal pura.

  • Transformadas Integrales

Sumando las primeras 40 componentes de

frecuencia de la señal periódica.

Las primeras componentes de frecuencia son:

Sumando las primeras 3 componentes de

frecuencia de la señal periódica.

Un ejemplo de una señal periódica y sus componentes de frecuencia.

slide17

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

Una señal sinusoidal pura no cambia su forma

perosicambian:

– Su amplitud.

– Su fase.

• En general, el cambio en la amplitud y en la

fasedependen:

– del sistema.

– de la frecuencia de la señal sinusoidal.

  • Transformadas Integrales
slide18

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

Para entender las causas que originan esta distorsión es necesario analizar el contenido de frecuencias de las señales utilizadas en ingeniería, el análisis de Fourier permite conocer el contenido de frecuencias de las señales y entender las razones para las cuales existe distorsión lineal.

  • Transformadas Integrales
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

Las funciones periódicas son ampliamente utilizadas en los sistemas de comunicación y su contenido de frecuencias se puede estudiar mediante las series de Fourier.

Para el caso de funciones no periódicas la herramienta que se utiliza es la transformada de Fourier la cual es una extensión a las series de Fourier para poder analizar el contenido de frecuencias de este tipo de señales.

  • Transformadas Integrales

Espectrode Fourier de una

abertura circular

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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

Las vibraciones en una membrana o un tambor o las oscilaciones inducidas en una cuerda de guitarra o violín son explicadas por una ecuación diferencial parcial llamada ecuación de onda .

Esta situaciones junto con condiciones iniciales y de frontera constituyen información para encontrar la solución única de la ecuación parcial. Pues bien la solución es una suma infinita de funciones seno, una forma de expresión de series de Fourier.

  • Transformadas Integrales

Las imágenes obtenidas por los investigadores revelan que las membranas de los glóbulos rojos pierden flexibilidad, lo cual acaba conduciendo a la aglomeración de las células, cuando éstas tratan de navegar por los diminutos vasos sanguíneos. Asimismo, se evidencia la destrucción de la hemoglobina, la molécula fundamental que los glóbulos rojos usan para el transporte de oxígeno

Imágenes en 3D de un glóbulo rojo invadido por el parásito de la malaria. (Foto: YongKeun Park, Michael Feld y SubraSuresh)

http://www.falstad.com/membrane/

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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

  • Transformadas Integrales

La transformadade Laplace posee propiedades que facilitan la solución de EcuacionesDierenciales

sistemas mec nicos y el ctricos

Sistemas Mecánicos y eléctricos

  • Transformadas Integrales
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

f(t)

x(t)

m

b

k

Fuerza de entrada

  • Transformadas Integrales

Desplazamiento, salida del sistema

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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

Suspensión de un automóvil

  • Transformadas Integrales

Función de transferencia

modelaci n matem tica circuito el ctrico
MODELACIÓN MATEMÁTICA Circuito eléctrico

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

  • Transformadas Integrales
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
  • Transformadas Integrales

La transformadaZ posee propiedades que facilitan la solución de ecuacionesendiferencias

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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
  • Transformadas Integrales

Señales en TiempoDiscreto

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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

Señales en TiempoDiscreto

La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o

ecuaciones recursivas con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales.

  • Transformadas Integrales

Señales en TiempoDiscreto

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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señalreal o compleja definida en el dominio del tiempodiscreto en una representación en el dominio de la frecuenciacompleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace.

Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent.

La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

  • Transformadas Integrales

Señales en TiempoDiscreto

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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
  • “ La mejor manera de predecir el futuro es inventarlo”