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从「数学思考」 到「思考数学 」

勤益科技大学基础通识教育中心 刘柏宏 102 年 11 月 19 日于浙江师范大学. 从「数学思考」 到「思考数学 」. 数学解题. George Polya 的数学观. 大发现解决大问题，但并不是只有大发现才有存在的价值。每一个问题都必须要有某种 发现 才行。 数学有两面， ...... 以欧几里德的方式呈现的数学，看起来像是一门有系统的演绎科学；但 发展中的数学，又像是一门实验的归纳科学 。 --《 如何解题 》. 数学解题角色的演变 (NCTM). NCTM (1980) ：数学解题应当成为学校数学教学的中心焦点

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从「数学思考」 到「思考数学 」

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Presentation Transcript

  1. 勤益科技大学基础通识教育中心 刘柏宏 102年11月19日于浙江师范大学 从「数学思考」到「思考数学」

  2. 数学解题

  3. George Polya的数学观 • 大发现解决大问题，但并不是只有大发现才有存在的价值。每一个问题都必须要有某种发现才行。 • 数学有两面，......以欧几里德的方式呈现的数学，看起来像是一门有系统的演绎科学；但发展中的数学，又像是一门实验的归纳科学。 --《如何解题》

  4. 数学解题角色的演变(NCTM) • NCTM (1980)：数学解题应当成为学校数学教学的中心焦点 • NCTM (1989)：数学解题应为学校教学的主要目标，并整合所有的数学活动 • NCTM (2000)：数学解题应为学校数学的基石

  5. 数学解题角色的演变(ICME) • ICME-4 (1980):数学解题被分派在课程的独特面向项目之下 • ICME-5 (1984):数学解题为7个TSG之一 ...... • ICME-9 (2000):数学解题为23个TSG之一 • ICME-10 (2004):数学解题为29个TSG之一 • ICME-11 (2008):数学解题为38个TSG之一 • ICME-12(2012):数学解题为37个TSG之一

  6. 启发式教学(Heuristic Teaching) • 猜想与试验 • 利用变数 • 绘制图形 • 寻找模式 • 先解较简易题目 • 另解等价题目 • 从结果反推 ......

  7. 启发式教学之限制 垂直迁移脉络 新脉络 ? ? 旧有脉络 水平迁移脉络 ?

  8. 问题解决的网络 信念 beliefs 认知 cognition 后设认知 metacognition 解题 problem solving 问题情境 context 知识 knowledge 情绪 emotion

  9. 后设认知 • knowing about knowing(知道你知道什么) • thinking about thinking(思考你思考什么) • 和个人的认知管理 (cognitive management) 与自我修正(self-regulative)行为有关 • 在解题过程中如何有效地读取并配当相关的知识，决定在适当时机应用适当的解题策略

  10. 监控整个解题思考过程 我在思考我在思考什么…… 我在思考……

  11. 大脑如何运作？

  12. 你看到什么？ 12

  13. 信念 • Schoenfeld：信念系统包含自我概念、情境、主题、和数学知识本身 • 含括理性与非理性的心理层面 • 一个相当模糊的概念，缺乏明确的定义 • 后设认知和数学信念有着紧密的连结 • Schoenfeld：构成解题者的数学世界观，进而影响解题者所采取的策略

  14. Alan Schoenfeld获奖

  15. Alan Schoenfeld演讲 我在这里！

  16. 信念的分类区块 叙述性信念 评价型信念 指示型信念

  17. 信念如何影响行为 • 叙述性信念：教师培训几乎都在听演讲 • 评价型信念：演讲内容对我都是有用的 • 指示型信念：所以我乐意参加教师培训 • 叙述性信念：领导希望我参加教师培训 • 评价型信念：不参加培训领导会不高兴 • 指示型信念：所以我会在这边参加培训

  18. 数学信念的阶层体系 综合信念 领域信念 学科信念

  19. 数学认识信念 • 探究特定信念比较可行也比较有收获(Pajares, 1992) • 数学认识信念(epistemological beliefs): 对于数学知识和数学认识本质的信念(beliefs about the nature of mathematical knowledge and knowing) • 宏观(macro-)和微观信念(micro-belief)

  20. 数学史和数学信念 • 数学是一种逻辑演绎的科学？ • 历史的进程显示，数学知识的发展先是直觉归纳，随后才继之以逻辑演绎。

  21. 历史导向微积分课程 • 以微积分概念的发展历程为主架构 • 以微积分历史上的关键问题为导向 • 比较历史上东西方数学家解题策略 • 了解数学概念发展过程的非逻辑性 • 认知数学社群间的自我修正与建构 • 观察学前学后学生数学信念的演变

  22. 如何打破既有信念 重新思考习以为常的观念！

  23. 圆面积为何是r2 解构再建构！ 圆可以细分成什么图形？

  24. 中国古代数学巨著

  25. 九章算术圆面积公式

  26. 刘徽，三国曹魏数学家 公元263年，为九章算术做注释 公元263年曹魏大举进攻蜀汉， 进逼成都，刘禅出降，蜀汉亡

  27. 刘徽割圆术 又按，为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣！

  28. 刘徽割圆术 半周半径相乘得积步 半 径 半圆周

  29. 密克罗尼西亚群岛邮票

  30. 《论圆的测量》：圆面积等于一个以此圆半径为高、圆周长为底之直角三角形的面积《论圆的测量》：圆面积等于一个以此圆半径为高、圆周长为底之直角三角形的面积 阿基米得求圆面积

  31. 阿基米得洋葱术 半 径 圆周

  32. 如何计算球的体积？

  33. 九章算术 开立圆术 今有积四千五百尺。问为立圆径几何？ 答曰：二十尺。 开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。 33

  34. 九章算术论圆球体积 • 《九章算术》一书中指出一圆球体积与其外切圆柱体之体积比为π:4。对不对？ 4r2 r2

  35. 刘徽与祖冲之祖暅父子的球体积 • 刘徽注解时说明九章算术的公式有误。 • 刘徽用了一个很特殊的立体「牟合方盖」但是未能找出正确的球体积公式。 • 200年之后的祖冲之与祖暅父子，才证明了正确的公式。

  36. 牟合方盖 牟合方盖 截面积比 =  : 4

  37. 牟合方盖

  38. 餐桌罩

  39. 祖冲之、祖暅父子求圆球体积 + = = + 蓝色面积 绿色面积 红色面积 修编自香港梁子杰老师档案

  40. 牟合方盖体积 牟合方盖体积 祖冲之、祖暅父子求圆球体积 + = = r 3 + = 修编自香港梁子杰老师档案

  41. 祖暅求圆球体积  牟合方盖体积 因此，球体体积

  42. 阿基米得杠杆法求圆球体积 2r h 圆锥薄片体积=  h2 h h a2= h(2rh) 2r 球体薄片体积=  h(2r  h) h h h a 圆球与圆锥挂于2r处之力矩 = 2r(h2+a2) h = 2r(h2 +h(2r–h)) h = (2r)2h h 2r-h =圆柱薄片挂于h处之力矩 h

  43. 阿基米得杠杆法求圆球体积 2r 2r 2r × (球体体积+圆锥体体积) = r×圆柱体体积 h 2r h 2r ×（球体体积+8r3/3） = r ×(2r)2 × 2r h a 2r-h 球体的体积为4r3/3

  44. 刘徽出入相补法证勾股定理 刘徽：「勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之羃。」

  45. 几何原本的勾股定理证明

  46. 体会东西方数学思考模式的异同

  47. 大破大立 数学是一门绝对严谨的科学吗？

  48. 芝诺悖论

  49. 数学家的困惑 • Guido Grandi 计算 • 算法一: • 算法二: • 算法三: 哪一个方法对？

  50. 莱布尼兹的观点 若我们随机地计算任意有限项之和，其值为0或1。因此就机率观点而言应取其平均值1/2。

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