バリオン振動の非線形進化

1. 2007/5/10 WFMOS meeting バリオン振動の非線形進化 樽家 篤史

2. 今回の内容 1. 論文紹介 RPTに基づくバリオン振動の非線形進化 2. 研究の進捗状況 完結近似によるバリオン振動の非線形進化の記述

3. RPTに基づくバリオン振動の非線形進化 論文紹介

4. 紹介論文と参考文献 • Non-linear evolution of baryon acoustic oscillations Crocce & Scoccimarro, arXiv:0704.2083v1 [astro-ph] • Renormalized cosmological perturbation theory Crocce & Scoccimarro, Phys.Rev.D 73, 063519 (2006a) • Memory of initial conditions in gravitational clustering Crocce & Scoccimarro, Phys.Rev.D 73, 063520 (2006b)

5. 関連する文献 その他にも、 • Large-N expansions applied to gravitational clustering Valageas, A&A 465, 725 (2007) • Resumming cosmic perturbations Matarrese & Pietroni, astro-ph/0703563 • Baryon acoustic oscillations via the renormalization • group Matarrese & Pietroni, astro-ph/0702653 そのうち、時間をみつけて紹介します

6. 論文の内容 Renormalized Perturbation Theory (RPT) に基づく バリオン振動入りのP(k), ξ(r) の予言 N体シミュレーションとの比較 バリオン振動ピークのずれのモデル化 その前に… RPT についてレビュー

7. ねらい RPT とは？ Renormalized perturbation theory (RPT) ≒ Re-summation 微小量をもとに非線形項を展開し、各展開項を逐次的に足し上げる 通常の摂動論： 足し上げ方を変えることで、高次摂動の影響を系統的に取り込む （狭義の“くりこみ”） 非摂動的な効果を効率よく拾い出す 展開の収束性をよくする

8. Basic equations 流体近似にもとづく質量分布の重力進化 pressureless & irrotational fluid flow 基本変数： 基礎方程式

9. Standard PT を微小量として扱い、逐次展開して解を求める Gaussian variable Recursion formula 初期条件： Linear propagator

10. Diagrammatic representation 基本ダイアグラム : growing mode (1, 1) 摂動解のダイアグラム表現：

11. Power spectrum 定義 の統計性を通じて、 摂動論では、ガウス乱数 逐次的にパワースペクトルを評価

12. Diagrams for power spectrum tree ：摂動解の接続点 1次×1次 1-loop 2次×2次 3次×1次 1次×3次 2-loop (一部)

13. Non-linear Propagator 摂動の展開次数が上がるほど、たくさんの種類のダイアグラムが出てきて表記が大変になっていく ダイアグラムの系列をまとめて表記するため、新たな量を導入： (non-linear propagator) 摂動展開形： さらに、 も導入する (非線形な)頂点関数

14. Diagrams for Non-linear Propagator 2-loop オーダーまでのグラフ と記す 全てのダイアグラムを足し上げた結果を、

15. Renormalized Expression プロパゲーター を用いた、パワースペクトルのグラフ表現 2-loop オーダーまで

16. Further Re-summations 関数 に含まれるダイアグラムには、 さらに可約な部分グラフが存在する 例えば、 ・・・ の一部 （摂動の2次×2次） ・・・ の一部 （摂動の1次×2次） これら可約な部分グラフは全て足し上げると、結局は になる ※ さらに（非線形な）頂点関数の部分グラフも登場する

17. RPT: formal results up to 2-loop Non-linear propagator Non-linear power spectrum Full vertex function

18. RPT: Practical Application 形式的なダイアグラム表現を下に、パワースペクトルを具体的に評価 • Non-linear propagator 1-loop results 両者の極限を再現する プロパゲーターを構築 High-k limit of full propagators (Crocce & Scoccimarro 2006b) • Mode-coupling power 繰り込まれたダイアグラムを下に、 で近似 非線形P(k)を、 頂点関数は、最低次の表式で近似 ２ループまでの補正項を計算

19. Non-linear Propagator 関数の定義・詳細は Crocce & Scoccimarro (2006b) を参照 • 　指数関数の肩を展開すると、0次＋1次(1-loop)までの摂動論の結果を再現 • 　短波長極限(high-k)で、full propagatorsの表式に一致：

20. に対応する項 の一部に対応 Mode-coupling Power Spectrum

21. P(k) and x(r) in RPT

22. N体シミュレーション N-body code : Gadget2 Initial conditions : 2LPT @ zinit=49 ※ z=49の遷移関数を使う Cosmological parameters 50 realizations : Output: z=1, 0.5, 0 8 realizations : Output: z=2, 1, 0.3, 0

23. は、BBKSの線形P(k) BAOs in P(k) (1/3) z=0 z=0.3 8 realizations のN体計算と比較

24. は、BBKSの線形P(k) BAOs in P(k) (2/3) z=1 z=2 8 realizations のN体計算と比較

25. BAOs in P(k) (3/3) z=0 z=1 Linear 50 realizations のN体計算と比較 は、BBKSの renormalized P(k) (up to 2-loop MC)

26. Non-linear Effects on P(k) (1/2) • モード結合項の重要性 (low-z, high-k)： 2-loopオーダーが無視できなくなる k > 0.15 [h/Mpc] @ z=1 3-loopオーダーも効きはじめる k > 0.2 [h/Mpc] @ z=0 • 2-loop のモード結合項までだと、 k ≦ 0.2 [h/Mpc] @ z=0 の場合 k ≦ 0.3 [h/Mpc] @ z=1 なら、1パーセントレベルでシミュレーションと一致する

27. Non-linear Effects on P(k) (2/2) • 2種類の非線形効果： Damping of acoustic signature Peak minima (maxima): 小スケール（大スケール）へシフト ? Scale-dependence induced by mode-coupling power Peak minima (maxima): 大スケール（小スケール）へシフト 何で割るかに依るのだが… maxima minima maxima minima extrema: k= 0.05, 0.07, 0.1, 0.125 h/Mpc z=0 0.95, 0.25, -2.53, 2.8% ずれの割合 damping Mode-coupling

28. BAO in x(r) z=0 z=1 Linear 50 realizations のN体計算と比較

29. Shift of peak z=0 z=0.5 50 realizations のN体計算と比較 ピークは小スケールへずれる

30. Non-linear Effects on x(r) BAOピークに対する2種類の効果： broadening & shift 2％程度 “ずれ”は、２つの項からの足し算: z=0 でも 1% 以下 ただし、第２項からの寄与はかなり小さい 第2項によってピークがシフトする割合

31. Modeling peak shift in x(r) (1/2) モード結合項を無視したモデル： ただ、このままで観測とフィットしようとすると微妙なずれが残りうる (Smith, Scoccimarro & Sheth 2007) 部分のモデル化を考える： monopole quadrupole dipole

32. ともかく、これを参考にモデル化すれば （観測用の理論テンプレート） 5 5 ξMC(r)×10 ξMC(r)×10 Modeling peak shift in x(r) (2/2) このうち、ピークのシフトに一番効きそうな monopole×dipole の 寄与を取り出すと、 ピーク付近ではほぼ定数 大体これでOK ? z=0 z=1

33. まとめ RPT に基づくバリオン振動の非線形進化の記述 Ｎ体計算との比較 パーセントレベルで定量的に一致 ( k < 0.2－0.3 h/Mpc ) 非線形性の影響 振動ピークに対する非線形性（モード結合項）の影響は、 P(k) と ξ(r) で若干異なる（ξ(r) の方がややマイルド） 2点相関関数での振動ピークのモデル化： 議論 高次のループ補正、頂点関数のくりこみ、・・・ 赤方偏移ゆがみ、バイアスの影響をどう取り入れるか

34. 完結近似を用いたバリオン振動の非線形進化の記述完結近似を用いたバリオン振動の非線形進化の記述 研究の進捗状況

35. 直接相互作用分解 を摂動量として扱い、 モーメント方程式を直接相互作用分解し、 をガウス場とみなすことで、NDI場に対する閉じた方程式系を得る Closure Theory 非線形相互作用の影響を取り込みつつ、 モーメントに対して、閉じた方程式系を得る手法 ここで用いるのは、 “直接相互作用近似 （くりこみ展開）” （k0,p0,q0）以外の成分から 相互作用を受けた場 （NDI場） （k0,p0,q0）から直接 相互作用を受けた場 (DI場） 非線形性が強いと、

36. Operators: 基本変数 Closed Set of Moment Equations ：　相関スペクトル ※ 添字 1, 2 は、 ：　異時刻の相関スペクトル を表す = ：　プロパゲーター ( i, j =1,2 )

37. Fourier Kernels フーリエ核 の具体的表式：

38. 解の表現は、RPTの１ループレベルのくりこみ表現に対応解の表現は、RPTの１ループレベルのくりこみ表現に対応 • RPTとの大きな違いは、プロパゲーターのふるまい Integral Expressions 解の積分表現（厳密）：

39. 非線形領域： high-k limit での解析解 次ページ Non-linear Propagator 弱非線形領域： 摂動計算すると、1-ループレベルの プロパゲーターを再現 (by construction) 両者の極限を再現する近似解を構築

40. 解 High-k Limit of Propagator k→∞での頂点関数のふるまい： さらに、 と近似すると、 発展 方程式 減衰振動 c.f. 指数関数的減衰 Crocce & Scoccimarro (2006b)

41. 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 RPT Closure theory 1-loop PT “Renormalized” Propagator High-k 極限のふるまいと、1-loopの摂動解をつなぐ近似解を構成 k [h/Mpc] k [h/Mpc]

42. z=0 1.2 10000 0.1 1 0.3 0.4 5000 0.2 0.8 1000 0.6 500 0.4 減衰項だけを見ると、完結近似のP(k)の方が若干減衰が大きい 0.2 0.01 0.5 0.02 0.05 0.2 1 0.1 この減衰項に、モード結合項を加えればN体計算との比較ができる k [h/Mpc] 1.2 0.1 1 0.3 0.4 0.2 0.8 0.6 0.4 0.2 BAOs from Closure Theory preliminary k [h/Mpc] z=1 k [h/Mpc] モード結合項を除いた パワースペクトルのふるまい z=0 linear RPT Closure theory

43. まとめ パワースペクトルの完結近似によるバリオン振動の非線形進化 解の積分表現（厳密）の発見 プロパゲーターの近似解の構成 モード結合項を除いた減衰項を評価 引き続き、 モード結合項を評価、バリオン振動の非線形性について調べる もうすぐ、N体計算と比較できるようになる !

44. Appendix

45. simulation simulation 1-loop PT 1-loop PT “Renormalized” propagator “Renormalized” propagator “くりこまれた”プロパゲーターは、N体計算で求めた プロパゲーターのふるまいときわめてよく一致 N体計算で求めたプロパゲーターは、high-kで減衰してゼロに漸近するのに対し、摂動論では負になり発散 “Renormalized” Propagator Crocce & Scoccimarro (2006b)

46. Mode-coupling power シミュレーション k > 0.2 [h/Mpc] で、 N体計算からずれ始める 3-loopオーダーの寄与が効いている z=0

47. 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 RPT Closure theory 1-loop PT プロパゲーターの比較 Linear spectrum was calculated by CMBFAST. k [h/Mpc] k [h/Mpc]