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计 算 方 法

计 算 方 法. 第八章 线性方程组的解法. 计算方法课程组. 重要性 ：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和 科学计算中具有特殊的地位和作用。如 弹性力学、电 路分析、热传导和振动 、以及社会科学及定量分析商 业经济中的各种问题。. 假设 非奇异，则方程组有唯一解. §8.0 引 言. 求解线性方程组 的求解方法，其中 ， 。. 分类 ： 线性方程组的解法可分为 直接法 和 迭代法 两种方法。

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计 算 方 法

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  1. 计 算 方 法 第八章 线性方程组的解法 计算方法课程组

  2. 重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和 科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电 路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商 业经济中的各种问题。 假设 非奇异，则方程组有唯一解. §8.0 引 言 求解线性方程组 的求解方法，其中 ， 。

  3. 分类： 线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法。 直接法： 对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解。最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发。 计算代价高. 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题。简单实用, 诱人。 §8.0 引 言

  4. §8.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b) • 一、迭代法的基本思想 • 二、例题分析 • 三、 Jacobi迭代公式

  5. §8.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b) 迭代法的基本思想 与解f (x)=0 的不动点迭代相类似，将AX=b改写为X=BX+f的形式，建立雅可比方法的迭代格式： 其中，B称为迭代矩阵。其计算精度可控，特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的方程组。

  6. 问题: (a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{ x(k)}是否收敛以及收敛条件?

  7. 3.1Jacobi迭代法 2 例题分析: 考虑解方程组 (1) 其准确解为X*={ 1.1, 1.2, 1.3 }。

  8. 3.1Jacobi迭代法 2 例题分析: 考虑解方程组 (1) 其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。 建立与式(1)相等价的形式： (2)

  9. 取迭代初值 2 例题分析: 建立与式(1)相等价的形式： 考虑解方程组 其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。 据此建立迭代公式：

  10. 迭代结果如下表：

  11. §8.1 Jacobi迭代公式 设方程组 AX=b , 通过分离变量的过程建立Jacobi迭代公式，即 由此我们可以得到 Jacobi 迭代公式：

  12. A = B  雅可比迭代法的矩阵表示 写成矩阵形式： U L D Jacobi 迭代阵

  13. 这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽量利用最新的迭代值，得到这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽量利用最新的迭代值，得到 上式称为 Gauss-Seidel 迭代法. §8.2 高斯-塞德尔迭代法(AX=b) 注意到利用Jacobi迭代公式计算 时，已经计算好了 的值，而Jacobi迭代公式并不利用这些最新的近似值计算， 仍用

  14. B §8.2 高斯-塞德尔迭代法 … … … … 写成矩阵形式： Gauss-Seidel 迭代阵

  15. 高斯-塞德尔迭代法算例 考虑解方程组 其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。 高斯-塞德尔迭代格式

  16. 开始 T F T T F

  17. 逐次超松弛迭代法(Successive Over Relaxation Method，简写为SOR)可以看作带参数ω的高斯-塞德 尔迭代法，是 G-S 方法的一种修正或加速，是求解大 型稀疏矩阵方程组的有效方法之一。 §8.3 超松驰迭代法SOR方法 1. SOR基本思想

  18. 设方程组AX=b, 其中，A=(aij) 为非奇异阵， x=(x1, x2, …, xn)T, b=(b1, b2, …, bn)T. 假设已算出 x(k) ， §8.3 超松驰迭代法SOR方法 2. SOR算法的构造 利用高斯-塞德尔迭代法得: ω称为松弛因子

  19. §8.3 超松驰迭代法SOR方法 2. SOR算法的构造 (基于G-S迭代) 解方程组AX=b的逐次超松弛迭代公式： 显然，当取ω=1时，上式就是高斯-塞德尔迭代公式.

  20. §8.3 超松驰迭代法SOR方法 2. SOR算法的构造(基于Jacobi迭代) 得到解方程组 AX=b 的逐次超松弛迭代公式： 显然，上式就是 基于Jacobi 迭代的 SOR 方法.

  21. 其中ri(k+1) = 相当于在 的基础上加个余项生成 。 0 <  < 1 低松弛法  = 1 Gauss - Seidel 法 2> > 1 (渐次)超松弛法 SOR方法 3. SOR算法的进一步解释 下面令 ， 希望通过选取合适的  来加速收敛，这就是松弛法 。

  22. SOR例题分析: 利用SOR方法解方程组 其准确解为x*={1, 1, 2}. 建立与式(1)相等价的形式：

  23. 据此建立G-S迭代公式： SOR迭代公式为： ,ω=1.5,迭代结果如下表. 取迭代初值:

  24. GS迭代法须迭代85次得到准确值 x*={1, 1, 2};而 SOR方法只须55次即得准确值. 由此可见，适当地选择松弛因子ω，SOR法具有明显的加速收敛效果.

  25. 关于SOR方法的说明： 显然，当 时，SOR方法就是Gauss- Seidel方法。 SOR 方法每一次迭代的主要运算量是计算一次矩阵与向量的乘法。 时称为超松弛方法， 时称为低松弛方法。 计算机实现时可用 控制迭代终止，或用 SOR方法可以看成是Gauss-Seidel方法的一种修正。

  26. 8.4 迭代法的收敛性-充要条件 （迭代法基本定理） 设有方程组 ，对于任意的初始向 量 ，迭代公式 收敛的充要条件是迭 代矩阵 的谱半径 . 迭代法的基本定理在理论分析中有重要意义。

  27. 在具体使用上，由于 ，因此，我们利用范数可以建立判别迭代法收敛的充分条件。 则有 (1) (2) §8.4 迭代法的误差估计 定理2：设X*是方程组AX = b的同解方程X = BX + F 的准确解，若迭代公式中迭代矩阵B的某种范数，

  28. 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性 定义：(对角占优阵) 设 (1) 如果 元素满足 称 为严格对角占优阵 (2) 如果 元素满足 且上式至少有一个不等式严格成立， 称 为弱对角占优阵。

  29. 设 ，如果： 为严格对角占优，则解 的Jacobi迭代法， Gauss-Seidel迭代法均收敛。

  30. Seidel迭代格式为 从式中解出 故可得Seidel迭代矩阵为 从例中可以看出Jacobi迭代矩阵Bj的主对角线为零，而Seidel迭代矩阵Bs的第1列都是零，这对一般情况也是成立的。

  31. 举例检验Jacoai迭代的收敛性 已知线性方程组为： 首先将原方程组写为迭代形式的方程组，即： 求任一行之和的最大值<1,即： ||M||=max{5/8,5/11,9/12}=9/12<1 i 或求任一列之和的最大值<1,即： ||M||1=max{114/132,60/96,30/88}=114/132<1 结论：该方程组采用Jacobi迭代法计算是收敛的。

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