§2  3 常用的离散型分布

1. §23 常用的离散型分布 一、退化分布 二、两点分布 三、n个点上的均匀分布 四、二项分布 五、几何分布 六、超几何分布 七、泊松(Poisson)分布

2. 一、退化分布 退化分布 一个随机变量X以概率1取某一常数 即 P{Xa}1 则称X服从a处的退化分布 说明 由定理23的推论3知X服从退化分布的充要条件是DX0且若X服从a处的退化分布 则EXa 退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定的 即这样的随机变量退化成了一个确定的常数

3. 二、两点分布 两点分布 一个随机变量只有两个可能取值 设其分布为 P{Xx1}pP{Xx2}1p 0p1 (236) 则称X服从x1x2处参数为p的两点分布 两点分布的期望和方差 EXpx1(1p)x2 (237) DXp(1p)(x1x2)2  (238) 说明

4. 二、两点分布 特殊的两点分布 如果X只取0 1两个值 其概率分布为 P{X1}pP{X0}1p 0p1 (239) 则称X服从参数为p的01分布 也称X是参数为p的伯努利随机变量 此时 EXpDXp(1p)(240) 说明 在一次试验中 观察A是否发生 记A发生的次数为X则X要么取值为1要么取值为0于是X服从参数为p的01分布

5. 三、n个点上的均匀分布 n个点上的均匀分布 n个点上的均匀分布的期望和方差

6. 三、n个点上的均匀分布 n个点上的均匀分布 说明

7. 三、n个点上的均匀分布 n个点上的均匀分布 说明

8. 四、二项分布 二项分布 说明 设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数 事件A发生的概率为p(0p1) 则X~b(np)

9. 四、二项分布 二项分布 二项分布的期望和方差 设X~b(np)则 EXnp (247) DXnpq(249) 其中q1p

10. 例218一个袋子中装有N个球 其中N1个白球N2个黑球(N1N2N)每次从中任取一球 查看完其颜色后再放回去 一共取n次 求取到的白球数X的分布 每次取球看成是一次试验n次取球看成是n重伯努利试验 解

11. 五、几何分布 几何分布 如果随机变量X的概率分布为 P{Xk}qk1pk1 2 (2.50) 其中q1p 则称随机变量X服从参数为p的几何分布 记为X~g(kp) 说明 在独立重复试验中 事件A发生的概率为p设X为直到A发生为止所进行的试验的次数 则X~g(kp)

12. 五、几何分布 几何分布 如果随机变量X的概率分布为 P{Xk}qk1pk1 2 (2.50) 其中q1p 则称随机变量X服从参数为p的几何分布 记为X~g(kp) 几何分布的期望和方差

13. 例219设X服从几何分布 则对任何两个正整数mn有 P{Xmn|Xm}P{Xn} (254) 证明 同理 有 P{Xmn}qmn P{Xn}qn 于是得 说明 式(254)通常称为几何分布的无记忆性 意指几何分布对过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了

14. 六、超几何分布 超几何分布 一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球N2个黑球 从中不放回地抽取n个球X表示取到白球的数目 那么X的分布为 以(255)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布 在实际中 当N很大时 且N1和N2均较大 而n相对很小时 通常将不放回近似地当作放回来处理 从而用二项分布作为超几何分布的近似 即

15. 六、超几何分布 超几何分布 一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球N2个黑球 从中不放回地抽取n个球X表示取到白球的数目 那么X的分布为 以(255)为概率分布的随机变量通常称为服从超几何分布 超几何分布的期望和方差

16. 七、泊松分布 泊松分布(Poisson) 如果一个随机变量X的概率分布为 其中0为参数 则称X服从参数为的泊松分布 记作X~P() 泊松分布的期望和方差 EX(261) DX(262) 提示

17. 七、泊松分布 泊松分布(Poisson) 如果一个随机变量X的概率分布为 其中0为参数 则称X服从参数为的泊松分布 记作X~P() 泊松分布的期望和方差 EX(261) DX(262) 说明 电话交换台在一给定时间内收到用户的呼叫次数 售票口到达的顾客人数 保险公司在一给定时期内被索赔的次数等 均可近似地用泊松分布来描述

18. 解 例220某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用参数为10的泊松分布来描述 为了以95%以上的概率保证不脱销 问商店在月底应存多少件该种商品(设只在月底进货)？ 设该商店每月销售该商品的件数为X月底存货为a件 则当Xa时就不会脱销据题意 要求a使得 P{Xa}095 由于已知X服从参数为10的泊松分布 上式即为 由附录的泊松分布表知 于是 这家商店只要在月底保证存货不低于15件就能以95%以上的概率保证下个月该种商品不会脱销

19. 定理24(泊松定理) 在n重伯努利试验中 事件A在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验的次数n有关)如果n时npn (0为常数)则对任意给定的k有 说明 由该定理 我们可以将二项分布用泊松分布来近似 当二项分布b(np)的参数n很大 而p很小时 可以将它用参数为np的泊松分布来近似 即有

20. 例221纺织厂女工照顾800个纺锭 每一纺锭在某一短时间内发生断头的概率为0005(设短时间内最多只发生一次断头)求在这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率 设X为800个纺锭在该段时间内发生的断头次数 则X~b(800 0005)它可近似于参数为80000054的泊松分布 从而有 解 从而 P{X2} 1P{0X2} 10238107619