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超静定结构

超静定结构. 超静定结构 与 静定结构 在 计算方面 的主要区别. 静定结构 的支座反力和内力只要根据静力平衡条件即可求出，而不必考虑其它条件，即： 内力是静定的 。 超静定结构 的支座反力和内力则不能单由静力平衡条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即： 内力是超静定的 。. 求解超静定结构的计算方法. 从方法上讲基本有两种： 力法和位移法。 从历史上讲分 传统方法和现代方法。 1 、传统方法： 精确法： (1) 力法 (Force method) ：取某些 力 作基本未知量。

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超静定结构

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Presentation Transcript

  1. 超静定结构

  2. 超静定结构与静定结构在计算方面的主要区别 • 静定结构的支座反力和内力只要根据静力平衡条件即可求出，而不必考虑其它条件，即：内力是静定的。 • 超静定结构的支座反力和内力则不能单由静力平衡条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即：内力是超静定的。

  3. 求解超静定结构的计算方法 • 从方法上讲基本有两种：力法和位移法。 • 从历史上讲分传统方法和现代方法。 • 1、传统方法： • 精确法： • (1)力法(Force method)：取某些力作基本未知量。 • (2)位移法(Displacement method)：取某些位移作 • 基本未知量。 • (3)混合法(Mixture method): 既有力的未知量,也有位移未知量。

  4. 渐近法 : （1）建立力学方程组，数学上渐近； （2）从结构的力学模型入手逐步逼近。 2、现代方法： 矩阵法 ： （1）矩阵力法； （2）矩阵位移法; （3）矩阵混合法 。

  5. 第 十 章 力 法 Force method

  6. §10-1 超静定结构的组成和超静定次数 FP1 FP2 一、超静定结构 1、几何组成 具有多余约束的几何不变体系。 静定结构是没有多余约束的几何不变体系。 FP2 FP1 FRB FRC FRD

  7. FP MA FxA A B 2、静力特性 超静定结构的反力和内力不能完全地由静力平衡条件唯一地加以确定。 未知力的数目>平衡方程的数目。 FyA FyB FP FxA FyA FyB

  8. 3、超静定结构的类型 （1） 超静定梁

  9. （3）超静定拱

  10. 二、超静定次数 1、超静定次数的确定及确定方法 超静定次数 n —— 多余约束的个数。 几何：n= - W （W为体系的计算自由度数） 静力：超静定次数=多余未未知力个数=未知力个数 - 平衡方程个数 n = 把超静定结构变成静定结构，所需撤除约束的个数。

  11. 撤除多余约束的方式与相应多余约束力之间的关系撤除多余约束的方式与相应多余约束力之间的关系 1 反力Fy X1 X1 X1 轴力FN 1 X1 反力Fx Fy 2 X2 X1 X1 轴力FN 2 剪力 FQ X2 X2

  12. X1 反力Fx,Fy,M X3 3 X2 轴力FN 剪力FQ 弯矩M X3 X1 3 X2 X1 1 反力偶 M X1 1 弯矩 M

  13. 在超静定结构上去掉多余约束的基本方式，通常有如下几种：     （1）断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联接、将一固定端改为固定铰支座，相当于去掉一个约束。     （2）断一根弯杆、去掉一个固定端，相当于去掉三个约束。     （3）开一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座，相当于去掉两个约束

  14. 2、基本体系（结构）与基本未知量 力法的基本结构：在超静定结构中，去掉多余约束所得的静定结构。 力法的基本体系：基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系。 原结构与基本体系的区别：在原结构中多余的约束反力是以被动力形式出现的，而在基本体系中，多余未知力是以主动力形式出现的。 几何可变或瞬变体系不能作基本体系。为计算简便，同一结构可选不同的基本体系。 力法基本未知量：与去掉的多余约束相应的多余未知力。

  15. 例： X1 n = 1 瞬变 X1 X1 X1

  16. X1 n = 1 X1 X1 瞬变 X1

  17. X1 X2 X3 X5 X4 n = 5 问：还可以选什么样的基本体系？ X3 X1 X2 X4 X5

  18. X1 X1 X1 n = 1 问：还可以选什么样的基本体系？

  19. n =3× 5=15 提问: 还可以选什么样的基本体系?

  20. n = 2 X2 X1

  21. X1 X1 X2 X2 请考虑以上两个基本体系，哪一个计算起来更方便？

  22. X4 X1 X2 X3 n = 4 X1 X2 X3 X4 请考虑以上两个基本体系， 哪一个计算起来更方便？

  23. §10-2 力法基本概念 一、基本思路： 力法的三个基本概念（三要素） 1、力法的基本未知量(fundamental unknown)——（与多余约束相应的）多余力。 若与静定结构相比较，有一个多余力，只要能计算出X1(X1=YB)，其余的问题为静定结构问题。

  24. 2、力法基本体系（结构）——（去掉多余约束的）静定结构2、力法基本体系（结构）——（去掉多余约束的）静定结构 • 基本体系(fundamental system)的受力状态和变形状态与原结构完全相同。 • 基本体系所受荷载：原荷载+多余力X1。（本身是静定结构，又可代表原超静定结构，因此是过渡桥梁）。 3、基本方程(equation of force method) ——变形条件 • 与X1相应的位移条件，基本体系沿多余未知力X1方向的位移⊿1应与原结构沿X1方向的位移相等，即： ⊿1 =0。

  25. 基本思路 q MA q EI FxA l ⊿1P FyA FyB 原结构 ⊿11 q X1 X1 基本体系

  26. 变形条件： ⊿1 = 0 基本体系 原结构 由叠加原理： ⊿1 = ⊿11 + ⊿1P= 0 式中： ⊿11——基本体系在未知力X1单独作用下，沿 X1方向的位移⊿11 =δ11 X1。 ⊿1P——基本体系在荷载单独作用下沿X1方向 的位移。 ⊿1 、⊿11 、⊿1P 、δ11的方向与X1方向一致，规定为正，反之为负。

  27. δ11 X1=1 由 ⊿1 = ⊿11 + ⊿1P= 0 可知 δ11 X1 + ⊿1P= 0 上式为线性变形条件下一次超静定结构的力法基本方程。 至此力法的基本概念已建立。 其中系数δ11和自由项⊿1P都是基本体系即静定结构的位移，可用单位荷载法计算。

  28. l X1=1 M1图 ql2/2 MP 图

  29. 系数和自由项计算 代入变形条件， 得： X1= - ⊿1P/δ11= 3ql/8 (↑) 最后弯矩图可用叠加原理（也可将X1作用在基本体系上，用平衡条件求其余的反力内力） M= X1M1+MP • (图形自乘)

  30. M1——单位力X1=1在基本结构中任一截面上所产生的弯矩；M1——单位力X1=1在基本结构中任一截面上所产生的弯矩； MP——荷载在基本结构中相应截面上所产生的弯矩。 M= X1M1+MP ql2/8 ql2/8

  31. 力法的基本特点： （1）以多余未知力作为基本未知量。 （2）以去掉多余约束的静定结构（也可以是超静定结构）作为基本体系。 （3）基本体系在解除多余约束处的位移 =原结构在该处的位移，由此建立力法方程。 （注：请同学们自行与材料力学中用能量法求解超静定结构的方法作比较。）

  32. 二、多次超静定结构的计算 力法方程即位移条件方程： 基本体系在多余力和荷载（或其他因素）共同作用下，各多余未知力作用点的相应位移应与原结构相应点的位移相同。

  33. 1、以一个三次超静定结构为例 FP2 FP2 FP1 FP1 X1 X3 • 位移条件： ⊿1 = 0 ⊿2 = 0 ⊿3 = 0 X2

  34. 位移条件： ⊿1 = 0 ⊿2 = 0 ⊿3 = 0 ⊿1 = 0基本体系沿X1方向的位移=原结构B点的水平位移。 ⊿2 = 0基本体系沿X2方向的位移=原结构B点的竖向位移。 ⊿3 = 0基本体系沿X3方向的位移=原结构B点的转角位移。

  35. 应用叠加原理把位移条件分解为： FP2 FP1

  36. 应用叠加原理把位移条件写成展开式： （1）X1 =1单独作用于基本体系，分别沿X1、 X2、 X3方向的相应位移 δ11 δ21 δ31 未知力X1单独作用于基本体系，相应位移 δ11 X1 δ21 X1 δ31 X1 （2）X2 =1单独作用于基本体系，相应位移 δ12 δ22 δ32 未知力X2单独作用于基本体系，相应位移 δ12X2 δ22 X2 δ32X2

  37. （3）X3=1单独作用于基本体系，相应位移 δ13 δ23 δ33 未知力X3单独作用于基本体系，相应位移 δ13 X3 δ23 X3 δ33 X3 （4）荷载单独作用于基本体系，相应位移 ⊿1P ⊿2P ⊿3P

  38. X1方向的位移⊿1 ⊿1=δ11X1+δ12X2+δ13X3+ ⊿1P X2方向的位移⊿2 ⊿2=δ21X1+δ22X2+δ23X3+ ⊿2P X3方向的位移⊿3 ⊿3=δ31X1+δ32X2+δ33X3+ ⊿3P

  39. 三次超静定结构的力法方程： δ11 X1+δ12 X2+δ13 X3+ ⊿1P= 0 δ21 X1+δ22 X2+δ23 X3+ ⊿2P= 0 δ31 X1+δ32 X2+δ33 X3+ ⊿3P= 0 注:方程左边是基本体系的位移 。 方程右边是原结构的相应位移 。

  40. 讨论： • （1）力法方程（典型方程）的物理意义：基本体系中，由全部未知力和已知荷载共同作用，在去掉多余约束处的位移应等于原结构相应位移。

  41. （2）同一结构可取不同的力法基本体系和基本未知量，但力法基本方程的形式一样，由于基本未知量的实际含义不同，则位移（变形）条件的实际含义不同。（2）同一结构可取不同的力法基本体系和基本未知量，但力法基本方程的形式一样，由于基本未知量的实际含义不同，则位移（变形）条件的实际含义不同。 • （3）方程中δij和⊿iP是静定结构的位移，这样超静定结构的反力、内力计算就转化为静定结构的位移计算问题。

  42. FP2 FP2 FP2 FP1 FP1 FP1 A A B B B A X1 X1 X3 X3 X2 X2 原结构 基本体系Ⅰ X1 X3 X2 力法方程在形式上相同。

  43. 2、n次超静定结构的力法典型方程 δ11X1+δ12X2+ ……+δ1nXn+ ⊿1P = 0 δ21X1+δ22X2+ ……+δ2nXn+ ⊿2P = 0 ……………… δn1X1+δn2X2+……+ δnnXn+ ⊿nP = 0 (n次超静定结构在荷载作用下的力法典型方程） 基本未知量：n个多余未知力X1 、X2、…Xn； 基本体系：从原结构中去掉相应的n个多余约束后所得的静定结构； 基本方程：n个多余约束处的n个变形条件。

  44. 力法典型方程的讨论： （1）上式可写成矩阵形式: [δ]{X} + {⊿P } = {0} [δ]——系数矩阵、柔度矩阵 （2）力法方程主系数： δii≠0,恒为正 . 因为δii是Xi=1作用在自身方向上，所产生的位移，所以不为零，恒为正。

  45. (3) 副系数δij(i≠j)可正、可负、可为零。 由位移互等定理可知： δij =δji δij—由单位力Xj=1作用产生的沿Xi方向的位移。 （4）自由项⊿iP可正、可负、可为零。 ⊿iP—由荷载单独作用产生的沿Xi方向的位移。 （5）计算出X1 、X2、…Xn后，由静力平衡条件或叠加原理计算各截面内力的公式为：

  46. §10-3 超静定梁、刚架和排架 一、超静定梁和刚架 类型：单跨超静定梁、多跨超静定梁、单层单跨超静定刚架、多层多跨超静定刚架。 计算特点：通常忽略剪力和轴力对位移的影响，一般只考虑弯曲变形。

  47. 力法方程中的系数和自由项的表达式为： 例如P171例10.1

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