2 変数多項式の絶対因数分解とナップザック問題

1. 2変数多項式の絶対因数分解とナップザック問題2変数多項式の絶対因数分解とナップザック問題 岩手大学情報システム工学科 A-08 千葉　健志 計算機システム学講座・鈴木研究室

2. 発表構成 • はじめに • 因数分解アルゴリズム • 和零関係の見つけ方 • 計算量の削減方法 • まとめ

3. 1. はじめに • 今までの因数分解の計算アルゴリズムでは、組み合わせ問題によりその次数が80次程度までしか計算することができない 目的 組み合わせ問題の解決により制限を引き上げることである

4. 2. 因数分解アルゴリズム

5. 2変数多項式P(X,Y)の定義 • Y の最大次数の項の係数は1 • 有理数体２変数多項式 Xの1次式 Xの2次式 例）

6. P(x0,Y)の根 • 実数である を任意に選ぶ • の根を計算する 　　　　　　　　　　 • 根とは　　　　　　の解 - と記述

7. Mapleの計算例-1

8. 因数分解と根 • P(X)=0の解（根）から因数分解因子を構成できる - 例） 　 の解は 　　　　　　　 から となる 因数分解因子 因子は( X- 根 )の形

9. 解析関数 • 　　　　　　　　　　を用いて 　次のような解析関数を利用 - はべき級数の形 二つ目の式、因数分解と根の関係より 次のように因数分解できる

10. 解析関数の定義

11. Mapleの計算例-2

12. Mapleの計算例-3

13. 和零関係-1 • の因数分解は が無限級数の形 無限級数を有限の多項式へ 方法 をいくつか掛け合わせて べきの部分を打ち消す

14. 和零関係-2 Xの3次以降の部分も全て足し合わせて零になる →因子は有限の多項式 bi間を足し合わせて零→因数分解因子 この関係を和零関係という

15. Mapleの計算例-4

16. Mapleの計算例-5

17. 和零関係-2 • 和零関係が見つかった その の添え字を用いて因子を構成 例）b1, b2が和零関係の場合 　　　　　 と を組み合わせて展開したものが因子となる

18. Mapleの計算例-5

19. ナップザック問題 • 与えられたn 個の の中から、部分集合を選び、その集合内の数の和が零に等しくなるようにできるかどうかという問題 • n=60に対しては の全検索が必要 • ここでは、n≧100 について考える この組み合わせ問題の解決が必要

20. 3. 和零関係の見つけ方

21. LLLアルゴリズム • 格子に含まれる最短ベクトルの近似解を求めるアルゴリズム(基底変換アルゴリズム) • 格子上の最小ベクトルを求められる

22. 例1-LLLアルゴリズム

23. 例1の結果 LLLアルゴリズム

24. 4. 計算量の削減方法

25. が複素数の場合 • の中に複素数があれば、その共役な複素数もまた存在する 1. の実数部の全ての和零関係を推定する 2. 間の和零関係を推定する 　 例) ・上記の集合は和零関係を満たす ・共役関係から虚部の情報は必要ない の部分のみでその共役なものも和零関係に含まれる

26. ソート を次のようにソート • 実数である部分　　　: • 虚部が正である部分: • 虚部が負である部分: 実際に和零関係を考えるのは 間だけで済み、 格子の次元が下がる

27. 4. まとめ 200次の多項式の因数分解が可能 結果 課題 500次以上の多項式の因数分解