复习： 1. 矩阵三个初等行变换 2. 逆矩阵的概念 3. 可逆矩阵的逆矩阵的求法 —— 初等行变换法

1. 复习： 1.矩阵三个初等行变换 2.逆矩阵的概念 3.可逆矩阵的逆矩阵的求法——初等行变换法 (1)互换矩阵某两行的位置 (2)用非零常数乘矩阵的某一行的所有元素 (3)将矩阵的某一行乘一常数后加到另一行

2. 第三课时 线性方程组

3. 预备知识： 1.阶梯形矩阵的概念 P86 定义（P86) 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵： （1）如果矩阵有0行，0 行在矩阵的最下方。 （2）各个非0 行的首非0元素前的0的个数随着行的增加 而增加；(即每一行最前面连续0的个数比前一行多) 下列矩阵中哪几个是阶梯形矩阵?哪几个不是? (1)(3)(4)(5)是

4. 定理 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为 阶梯形矩阵。

6. 2.行简化阶梯形矩阵 P127 若阶梯形矩阵进一步满足： （1）各个非零行的首非零元素都是1； （2）所有首非零元所在列的其余元素都是 0。 则称该矩阵为行简化阶梯形矩阵。 （1）（2）（3） （1）（3）

7. 任意矩阵都可以用初等行变换化成行简化阶梯形矩阵，具体做法是：任意矩阵都可以用初等行变换化成行简化阶梯形矩阵，具体做法是： （1）用初等行变换将任意矩阵化成阶梯形矩阵； （2）从阶梯形矩阵的最后一个非0 行的首非 0 元开始， 用初等行变换将其化为 1，并将其所在列的其余 元素化为 0，依次类推，就得到行简化阶梯形矩 阵。

10. 线性方程组 定义:所有未知量的次数都是一次的方程组， 称为线性方程组。 我们在中学时，曾学过二元一次方程组就是 二元线性方程组 它的解有且只有三种情况：唯一解，无穷多解，无解。 而在许多实际问题中，经常要遇到未知量个数超过 三个或方程个数与未知量个数不等的线性方程组，其是 否有解？在有解的情况下，是有唯一解，还是有无穷多 解？如何求解？这些都是本章要讨论的问题。

11. 定义1 含有 n 个未知量、m 个方程的线性方程组 n 元线性方程组 线性方程组分两类：

12. 显然 齐次线性方程组 定义2：使方程组各等式都成立的未知量的一组 取值称为该方程组的一个解。 问题: (1)非齐次线性方程组有解吗?有几解?如何求出解？ (2)齐次线性方程组在什么情况下有非 0 解(未知量取值不全为 0 的解）？如何求非零解？

13. (未知量矩阵) (常数项矩阵) (系数矩阵)

15. (增广矩阵) (系数矩阵) (未知量矩阵) (常数项矩阵)

16. 所以方程形式:

17. 用矩阵方法解线性方程组的方法步骤： 第一步：写出线性方程组的增广矩阵（Ab） 第二步：用初等行变换把增广矩阵（Ab）化为阶 梯形矩阵 第三步：再用初等行变换把阶梯形矩阵化为行简化 阶梯形矩阵 第四步：从最后的行简化阶梯形矩阵中读出方程组 的解

21. 例2.解线性方程组

22. 例3.解线性方程组

23. 这个行简化阶梯形矩阵所对应的线性方程组含有三个方程、四个未知数，且不含有“矛盾”方程，因此它有无穷多个解。我们将各行首非 0 元所在的列对应的未知量称为主元(或基本未知量)，而将其余未知量称为自由元(或自由未知量)，用自由元来表示主元的解的表达式称为方程组的一般解。 结论：把增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵后非零行行数少于未知数的个数，且不含有“矛盾”方程时，原方程组有无穷多个解。将各行首非 0 元所在的列对应的未知量称为主元(或基本未知量)，而将其余未知量称为自由元(或自由未知量)，用自由元来表示主元的解的表达式称为方程组的一般解。

24. 例4. 求线性方程组AX=b的解，其中

25. 07.6

26. A=

27. 练习 P130 3（1，3） 作业 P130 3（4，7） 4（2）

28. 2.矩阵的秩的定义 定义2.10 矩阵A对应的阶梯形矩阵所含非0行的行数 称为矩阵A的秩，记作秩(A) 或 r(A)。 矩阵秩的求法：用初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵， 化后的阶梯形矩阵的非零行的行数就是矩阵的秩。 P86

29. 秩（A）= 3

32. 练习：