Chapter 8 Group Velocity and Pulse Dispersion

1. Chapter 8Group Velocity and Pulse Dispersion

2. Group Velocity 考慮兩平面波沿 +z 軸傳播， 振幅相同，但頻率有少許差異，分別為  +  與  。 此二平面波疊加結果為 At t = 0

3. Group velocity 群速度 Phase velocity 相速度

4. 對一介質折射率為頻率的函數，n()，有 因此 代入 以真空中波長 Group index ng定義為

5. Negative dispersion vg (108 m/s) Positive dispersion 0 (m) Fig. 8.3 Variation of the group velocity vg with wavelength for pure silica.

6. Example 8.1對純 silca，在波長0.5 m < 0 < 1.6 m區間，折射率對波長的關係可近似為以下經驗式 其中C0 = 1.451, a = 0.003, 0 以m為單位。 當0＝1 m， 即群速度與相速度約有8%的差別。 對silca而言，當0 = 1.27 m，群速度為最高。小於1.27 m波長越短，群速度越小；反之，大於1.27 m，波長越長，群速度越小。

7. 對silca而言，當0 = 1.27 m，群速度為最高。小於1.27 m波長越短，群速度越小；反之，大於1.27 m，波長越長，群速度越小。 對一脈衝而言，由於其不同波長分量，群速度均有些微不同，因此一般在介質中行進之脈衝會變寬broadening。 考慮一脈衝在一色散介質中行進 L 長度，所花時間為 因此脈衝寬化可表為 脈衝時間寬度由0 增加至 f，其中

8. 由上式可知，脈衝寬化正比於行進長度L以及光源譜線寬度0。由上式可知，脈衝寬化正比於行進長度L以及光源譜線寬度0。 因此定義色散係數為， 其中0 單位為 m 若介質Dm > 0，稱為正色散positive dispersion 介質Dm < 0，稱為負色散negtive dispersion

10. Example 8.2在第一代光通訊系統中，以0 = 0.85 m LED， 0 = 25 nm 當0 = 0.85 m 0 = 25 nm Example 8.3在第四代光通訊系統中，以0 = 1.55 m laser diode ， 0 = 2 nm 當0 = 1.55 m 0 = 2 nm

11. Group Velocity of a Wave Packet 考慮一平面波沿 +z 軸傳播 n為介質折射率 A為振幅，一般而言可為複數，即 因為電場不可能分佈於整個空間(總能量趨近無窮大)，因此實際上，電場應表為波包

12. 顯然，E(z = 0, t)為A()的Fourier transform。因此A() 為E(z = 0, t)的逆轉換。 Example 8.4 Gaussian Pulse. 考慮一Gaussian pulse 利用 In general, A() 可為複數，因此定義power spectral density S() = |A()|2

13. 0 = 20 fs 0 = 1 m (0 = 61014)  稱為半高寬full width at half maximum (FWHM) 定義為當 = 0 /2， S()為其最大值之半。 此例中，FWHM滿足

14. Propagation in a Non-Dispersion Medium 在非色散介質中，如真空，所有頻率的電磁波以相同速度行進。在真空中 代入上式 將Gaussian pulse 當z ct = constant，則 E(z, t) = constant Gaussian pulse以速度c無變形的行進。

15. Fig. 8.5 Distortionless propagation of a Gaussian pulse in a non-dispersive medium.

16. Propagation in a Dispersion Medium 電磁波在折射率為n()的色散介質中行進， 若A()為非常尖銳的峰值函數， 以Taylor series對 = 0展開 k()

17. 若k()只考慮前兩項的貢獻(忽略)， 令 =   0 phase term envelope term envelope項，以群速度vg無變形的移動

18. 若將k() 近似式的三項全代入， 代入 將 Gaussian pulse 利用 where

19. corresponding intensity distribution where Define pulse broadening

20. Example 8.5 For pure silica，考慮 0 = 1.55 m的光線 對一100 ps的脈衝，在光纖中行進 2 km 對一10 fs的脈衝，在光纖中行進 4 mm a 10 fs pulse doubles its temporal width after propagating through a very small distance.

21. The Chirping of the Dispersed Pulse where

22. where The frequency chirp is

23. Example 8.6考慮0 = 1.55 m的100 ps的脈衝，在純 silica 光纖中行進 2 km。 At (在脈衝的前緣) 因此此脈衝前緣頻率較高，此稱為“blue shifted” ，稱為“red shifted” 相對在 down-chirped pulse：脈衝前緣藍移，後緣紅移。 up-chirped pulse ：脈衝前緣紅移，後緣藍移。

24. Fig. 8.7 The temporal broadening of a 10 fs unchirped Gaussian pulse (0 = 1.55 m) propagating through silica. Notice that since dispersion is positive, the pulse gets down chirped.

25. Fig. 8.8 If a down-chirped pulse is passed through a medium characterized by negative dispersion, it will get compressed until it becomes unchirped and then it will broaden again with opposite chirp.