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Aula 03. continuação. Cap. I: Conceitos Preliminares. I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis I.2. Elementos Básicos I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas I.2.2. Esforços nas Estruturas I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Aula 03

continuação

slide2

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

I.2. Elementos Básicos

I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

I.2.2. Esforços nas Estruturas

I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais

I.3. Problemas e Métodos

slide3

área elementar

força elementar

momento elementar

(desprezível)

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

Reduzindo os esforços distribuídos ao longo de uma área elementar a um ponto qualquer desta área:

Tensão Média:

Tensão num Ponto:

A unidade de tensão é, portanto, unidade de “força / comprimento2 ”: N/m2, kN/cm2, MPa, GPa, etc.

slide4

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

A tensão num ponto pode ser decomposta em:

Tensão Normal sz, na direção normal z e Tensão de Cisalhamento tz, na direção tangencial (plano x-y, normal à direção z).

A Tensão de Cisalhamentotzpode ser decomposta em duas componentes: tzx, na direção x, e tzy, na direção y.

slide5

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

A tensão normal se opõe à força de coesão entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por afastamento ou esmagamento.

A tensão de cisalhamento se opõe à força de atrito entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por deslizamento ou cisalhamento.

slide6

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infinito de valores da tensão rou de suas componentes s e t. A este conjunto dá-se o nome de Estado de Tensão no Ponto.

slide7

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

O Estado de Tensão Num Ponto pode, no entanto, ser definido a partir do conhecimento das componentes s e t em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto.

Se dx, dy e dz são as distâncias infinitesimais entre planos paralelos que isolem um ponto P, o paralelepípedo resultante da interseção destes planos entre si pode ser utilizado para representar este ponto.

representação do ponto P

slide8

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

As componentes de tensão nas facetas deste paralelepípedo elementar são: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy. As forças resultantes nes-tas facetas constituem um sistema em equilí-brio estático.

Em um plano inclinado em relação aos planos das facetas do paralelepípedo agem as compo-nentes sn e tn. Este plano também contém o ponto.

slide9

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

sn é a tensão normal e tn a tensão de cisalha-mento neste plano (n é o eixo normal ao plano e t é um eixo tangente).

A partir das condições de equilíbrio estático, SFn= 0 e SFt= 0 obtém-se as componentes sn e tn em função de sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx, tzy e dos cossenos diretores da normal n.

slide10

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

Assim, conhecendo-se as componentes de tensão em três planos arbitrários, ortogonais entre si, pode-se conhecer as componentes em qualquer outro plano que contenha o ponto, por meio de fórmulas de recorrência obtidas a partir das citadas condições de equilíbrio estático das forças elementares que atuam nas facetas do tetraedro infinitesimal indicado.

slide11

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto pode ser representado, como dito, pelas com-ponentes em três planos ortogonais arbitrá-rios: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy.

Da condição de equilíbrio de momentos em torno do eixo x indicado, tem-se:

SMx= 0 a (tyzdxdz)dy – (tzydxdy)dz = 0

slide12

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

Logo, tyz= tzy .

Analogamente,

txy = tyx e tzx = txz.

Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos”

Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão Num Ponto: sx, sy, sz, txy, tyz, e tzx.

slide13

_

_

+

+

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

Logo, tyz= tzy .

Analogamente,

txy = tyx e tzx = txz.

Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos”

Convenção de Sinais:

slide14

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

Relações entre Esforços Internos e Tensões

Se sz,tzx etzy são as componentes de tensão num ponto qualquer do plano x-y, os esforços elementares correspondentes são:

Integrando estes esforços elementares:

esforço cortante na direção x

esforço cortante na direção y

esforço normal

slide15

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

Relações entre Esforços Internos e Tensões

Os momentos elementares em torno dos eixos de referência são:

Integrando estes momentos elementares:

momentos fletores em torno de x e de y

momento torsor

slide16

B

A

q

C

plano indeformado

B’

A’

q’

C’

plano deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Sejam AB e AC dois segmentos de reta defi-nindo um plano do corpo e formando um ân-gulo q entre si.

O corpo se deforma após a ação dos esforços e, consequentemente, os pontos A, B e C se deslocam para as posições A’, B’ e C’, respec-tivamente.

slide17

B

A

q

C

plano indeformado

B’

A’

q’

C’

plano deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Deformação Linear Média:

slide18

B

A

q

C

plano indeformado

e

B’

A’

q’

C’

plano deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e y o eixo orientado que define a direção do segmento AC,

Deformação Linear de um Ponto:

O conceito de deformação linear de um ponto pressupõe a direção na qual é medida.

slide19

B

A

q

C

plano indeformado

B’

A’

q’

C’

plano deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

exé a deformação linear do ponto A na direçãox e eyé a deformação linear do ponto A na direçãoy.

Deformação Linear é uma grandeza adimensional. Pode ser expressa em %.

slide20

B

A

q

C

plano indeformado

B’

A’

q’

C’

plano deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Deformação Angular Média:

slide21

B

A

q

C

plano indeformado

B’

A’

q’

C’

plano deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e y o eixo orientado que define a direção do segmento AC,

Deformação Angular de um Ponto:

O conceito de deformação angular de um ponto pressupõe o plano na qual é medida.

slide22

B

A

q

C

plano indeformado

B’

A’

q’

C’

plano deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

gxyé a deformação angular do ponto A no planox-y.

Deformação Angular é uma grandeza adimensional. Deve ser expressa em rd.

slide23

B

A

q

C

plano indeformado

B’

A’

q’

C’

plano deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infini-to de valores das deformações e e g. A este conjunto dá-se o nome de Estado de Defor-mação no Ponto.

slide24

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Analogamente ao Estado de Tensão, o Estado de Deformação Num Ponto também pode ser definido a partir do conhecimento das deformações e e g em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto.

Representado o ponto pelo paralelepípedo elementar, as deformações em suas facetas são: ex, ey, ez, gxy, gyz e gzx.

slide25

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

ex: deformação linear na direção x, ey: deformação linear na direção y, ez: deformação linear na direção z, gxy: deformação angular no plano x-y, gyz : deformação angular no plano y-z, gzx : deformação angular no plano z-x.

slide26

Seja o deslocamento do ponto A após a deformação do corpo solicitado.

y

x

A’

u

v

A

w

z

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Relações entre Deslocamentos e Deformações

A’

A

Decompondo este deslocamento em direções x, y e z tri-ortogonaias arbitrárias:

plano deformado

u: deslocamento do ponto A na direção x

v: deslocamento do ponto A na direção y

w: deslocamento do ponto A na direção z

slide27

: projeção do ponto A’ no plano x-y

: projeção do ponto B’ no plano x-y

y

x

A’xy

A’

u

v

A

w

z

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Relações entre Deslocamentos e Deformações

Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma-ção, este ponto se deslocará para uma posição B’.

A’

A

plano deformado

slide28

y

x

A’xy

A’

u

v

A

w

z

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Relações entre Deslocamentos e Deformações

xB: coordenada do ponto B segundo o eixo x

A’

A

u: deslocamento do ponto A na direção x

DxB = u + Du : deslocamento do ponto B na direção x

plano deformado

slide29

y

x

A’xy

A’

u

v

A

w

z

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Relações entre Deslocamentos e Deformações

Por definição, a deformação linear média do segmento AB é:

A’

A

plano deformado

slide30

Logo,

y

x

A’xy

A’

u

v

A

w

z

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Relações entre Deslocamentos e Deformações

Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é:

A’

A

plano deformado

slide31

: projeção do ponto C’ no plano x-y

y

x

A’xy

A’

u

v

A

w

z

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Relações entre Deslocamentos e Deformações

Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma-ção, este ponto se deslocará para uma posição C’.

A’

A

plano deformado

slide32

y

x

A’xy

A’

u

v

A

w

z

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Relações entre Deslocamentos e Deformações

yC: coordenada do ponto C segundo o eixo y

A’

v: deslocamento do ponto A na direção y

A

DyC = v + Dv : deslocamento do ponto C na direção y

plano deformado

slide33

y

x

A’xy

A’

u

v

A

w

z

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Relações entre Deslocamentos e Deformações

Por definição, a deformação angular média do plano ABC é:

A’

A

plano deformado

slide34

y

x

A’xy

A’

u

v

A

w

z

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Relações entre Deslocamentos e Deformações

A’

A

plano deformado

slide35

y

x

A’xy

A’

u

v

A

w

z

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Relações entre Deslocamentos e Deformações

A’

A

plano deformado

slide36

Logo,

y

x

A’xy

A’

u

v

A

w

z

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Relações entre Deslocamentos e Deformações

Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é:

A’

A

plano deformado

slide37

y

x

A’xy

A’

u

v

A

w

z

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Relações entre Deslocamentos e Deformações

Finalmente, as relações entre deslocamentos e deformações são:

A’

A

deformações lineares

plano deformado

deformações angulares

slide38

Estado Triplo ou Triaxial

Estado Triaxial Uniforme

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Tensão:

slide39

Estado Plano

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Tensão:

notação alternativa

slide40

Estado Duplo ou Biaxial

Estado Biaxial Uniforme

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Tensão:

slide41

Estado Simples

Estado de Cisalhamento Puro

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Tensão:

slide42

Estado Triplo ou Triaxial

Estado Triaxial Uniforme

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Deformação:

slide43

Estado Plano

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Deformação:

notação alternativa

slide44

Estado Duplo ou Biaxial

Estado Biaxial Uniforme

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Deformação:

slide45

Estado Simples

Estado de Cisalhamento Puro

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Deformação:

slide46

elemento indeformado

elemento indeformado

elemento deformado

elemento deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei de Hooke:

“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”

Às tensões normais correspondem deformações lineares

Às tensões tangenciais correspondem deformações angulares

slide47

elemento indeformado

elemento deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei de Hooke:

“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”

Constantes de Proporcionalidade:

E: Módulo de Young ou Módulo de Deformação Longitudinal

n: Coeficiente de Poisson

slide48

elemento indeformado

elemento deformado

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei de Hooke:

“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”

Constantes de Proporcionalidade:

G: Módulo de Deformação Transversal

slide49

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei de Hooke:

“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”

Constantes de Proporcionalidade:

EeGsão também chamados de Módulos de Elasticidade Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke só é válida no regime elástico.

slide50

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei de Hooke:

“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”

Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE):

“Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se-paradamente”

slide51

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei Generalizada de Hooke:

Utilizando o PSE, as somas das defor-mações decorrentes de cada componen-te de tensão, no ca-so geral de Estado de Tensão em um ponto, serão:

slide52

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei Generalizada de Hooke:

Resolvendo para obter as tensões :

le G são as Constantes de Lamé

slide53

Estado Simples de Tensão

Estado Triplo de Deformação

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Observações:

A um estado simples de tensão corresponde um estado triplo de deformação

slide54

Estado Simples de Deformação

Estado Triplo de Tensão

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Observações:

A um estado simples de deformação corresponde um estado triplo de tensão

slide55

Como os esforços são aplicados lentamente, e

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto, realizam TRABALHO.

onde W é o trabalho realizado pelos esforços,

U é a energia potencial do corpo deformado e

K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo.

slide56

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw.

O esforço N é proporcional ao deslocamento w.

slide57

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw.

O esforço N é proporcional ao deslocamento w.

é a variação da energia que se acumula no corpo durante o processo de deformação.

slide58

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dU = Ndw.

O esforço N é proporcional ao deslocamento w.

slide59

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Como a energia é uma grandeza escalar,

é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento de volume infinitesimal dV=dx.dy.dz.

slide60

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Seja o estado de cisalhamento puro. Em um plano inclinado de 45º, tem-se:

slide61

45º

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Repetindo o raciocínio para um plano perpendicular ao plano inclinado considerado (-45º):

e

Logo, são equivalentes os seguintes estados de tensão:

cisalhamento puro

biaxial

slide62

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é:

Para o estado biaxial é:

slide63

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é:

Para o estado biaxial é:

Igualando as duas expressões:

slide64

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Em suma, as constantes de Lamé podem ser escritas em função do Módulo de Elasticidade e do Coeficiente de Poisson como:

e